1、例1,已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其中 a 0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分布的随机变量。 求随机过程 X (t), t (0, ) 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。,2随机过程的基本概念,例2,设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)，,则 W (t) 的均值函数为,其相关函数为,2随机过程的基本概念,例 求在0, 1区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。,解：,Xi 的一维概率密度函数为：,Xi 的均值：,Xi 的自相关函数：,均值向量,自
2、相关阵,协方差阵,2随机过程的基本概念,例3,设复随机过程 ，其中A1, A2, , An 是相互独立且服从 N(0, )的随机变量，1, 2, , n 为常数，求 Zt , t 0 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。,2随机过程的基本概念,例1,设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。,解,因此 X (t)是平稳随机过程。,3平稳过程,例2（白噪声序列）,设 Xn , n = 0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且 EXn = 0，DXn = 2 ，
3、试讨论随机序列的平稳性 。,解,因为: (1) EXn = 0,故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。,3平稳过程,例3,设有随机相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是否为各态历经过程。,故 X (t) 是为各态历经过程。,3平稳过程,例4 设有两个随机过程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。,解,故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。,
4、所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。,3平稳过程,解,例1 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率： (1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量； (2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。,(1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，,相关函数：,平均功率：,(2),平均功率：,X (t) 是非平稳过程,4谱分析,例2,解,已知平稳过程的相关函数为 ，其中 a 0, 0 为常数，求谱密度 GX () .,4谱分析,解,例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)
5、，其中W(n)是高斯随机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关函数和谱密度 GX () .,4谱分析,例4 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。,解,4谱分析,例1 （h(t) 的估计）,设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则,通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。,假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，,5随机信号通过线性系统的分析,例2 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为 RX (
6、) = N0 ( ) ，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。,解,5随机信号通过线性系统的分析,例3 如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？,解,互不相关 协方差为零,当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t) 和Y2(t) 互不相关。,5随机信号通过线性系统的分析,例1 已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作
7、的概率。,解,故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:,故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ，服从 分布:,6泊松过程,参数为 n 和 s/t 的二项分布,例2 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 0 , s 内事件A发生 k 次的概率。,6泊松过程,例3 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。,Beta分布,6泊松过程,例4 某电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次数X(t)是一个泊松过程，平均每分钟2次。 (1) 求 3分钟内接到5次呼叫概率；(2) 若3分钟内已接到5次
8、，求前2分钟收到4次呼叫的概率，以及第2次呼叫发生在第1分钟内的概率。,6泊松过程,马尔可夫链的几个简单例子,例1 二进制对称信道模型是常用于表征通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设某级信道输入0, 1数字信号后，其输出正确的概率为p，产生错误的概率为q，则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。,一步转移概率矩阵：,二步转移概率矩阵：,7马尔可夫链,例2 具有吸收壁和反射壁的随机游动,设质点在线段1,4上作随机游动。假设它只能在时刻 nT 发生移动，且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移到2,3点时，它以1/3的概率向左或向右移动一格，或停留在原处。当质点移
9、动到点1时，它以概率1停留在原处。当质点移动到点4时，它以概率1移动到点3。若以Xn 表示质点在时刻 n 所处的位置，则 Xn , n T 是一个齐次马尔可夫链。,7马尔可夫链,7马尔可夫链,解：,二步转移概率矩阵：,7马尔可夫链,例4 设马尔可夫链的状态空间 I = 0, 1, 2, ，其转移概率为,分析各状态的类型。,解：,先考查状态0，,可见状态0是非周期的，因而状态0也是遍历的。,由归纳法可知，,(根据pij(n)来判断), 状态0为常返态, 状态0为正常返态,因为 其它i 0 ，故所有 i 也是遍历的。,7马尔可夫链,例5 设马氏链 Xn 的状态空间 I = 1, 2, 3, 4, 5 ，转移矩阵为 试分析其闭集及不可约性。, 3 , 1, 4 , 1, 4, 3, 1, 4, 2, 3 都是闭集； 其中 3 和 1, 4 是不可约闭集；,7马尔可夫链,例6 设状态空间 I = 1, 2, , 6 ，转移矩阵为 试分解此链，并指出各状态的常返性及周期性。,7马尔可夫链,例7 （例4.16）设马尔可夫链的转移概率矩阵为P，求马氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。,解：,因为该马氏链是不可约的非周期有限状态，所以存在平稳分布。,各状态的平均返回时间分别为：,平稳分布为：,7马尔可夫链,
