1、1,4.1 应力和应变,4.2 拉压杆的应力与变形,4.3 拉伸或压缩时材料的力学性能,4.4 拉压杆的强度设计,4.5 拉压超静定问题,第四章 拉压杆的强度设计,2,1. 应力 内力连续分布在截面上， 截面法确定的是内力的合力。,p是矢量，法向分量称正应力；切向分量称切应力。,3,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、切应变分别与s、t的作用相对应。,2. 应变,4,先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。,A3A1=A2；L1L2=L3；,3.胡克定律,得到最简单的物理关系-Hooke定律： =E注
2、意：-关系与试件几何（L、A）无关。,5,4.2.1轴向拉压杆横截面上的应力：,截面上只有轴力，故应力为正应力。假设材料是均匀连续的，杆件各纵向线段的伸长都相同，故在横截面上均匀分布。,因为 s=const. 故有：,4.2 拉压杆的应力与变形,6,沿aa上各点测得的应变如图。 非均匀分布，孔边 =max。 由虎克定律,应力分布也非均匀，孔边最大应力为 max=ktave。 (max1, 称为弹性应力集中系数。,应力集中的概念,7,应力集中： max=ktave 构件几何形状改变的局部出现应力增大的现象。,应力集中发生在截面几何发生突然改变处，如孔、缺口、台阶等处。应力集中系数，可由应力集中手
3、册或图表查得。,8,4.2.2 杆件的拉压变形,（1）绝对变形在弹性范围内，在整个杆件总的伸长量为设一长度为l,横截面积为A的等截面直杆，在弹性范围内，l与杆所承受的轴向载荷成正比。 (力与变形的胡克定律) EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,9,4.2.2 杆件的拉压变形,（2）杆件任一横截面的轴向位移 C为积分常数，由杆件的约束条件确定。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,10,例: 悬臂吊车的斜杆AB为直径=20mm的钢杆，载荷F=15kN。试求当F移动到点A时，斜杆AB横截面上的应力。,解：当载荷F移到点A时，斜杆AB受到的拉力最
4、大，此时杆AB和杆BC的轴力与载荷F组成一汇交力系。,取节点A作为研究对象，列平衡方程解得：,11,例：水轮发电机主轴AB为一空心圆截面等直杆,轴的外径D=500mm，内径d=340mm，材料为合金钢，E=200GPa。已知P1=1300kN, P2=700kN,不计轴的自重，试求轴AB的总伸长量。,外力分析,内力计算,求伸长量,12,例：一线弹性等直杆受自重和集中力作用，杆的长度为l；抗拉刚度为EA，材料的体积质量为。试求（1）杆中间截面C以及自由端截面B的位移（2）杆CB段的伸长量,首先求任一横截面的轴力。将杆沿截面x处截开，并研究下边部分的平衡,杆沿轴线方向的位移,边界条件:固定端处的位
5、移=0,X=0,C=0,13,2)求各段应力：AB=FNAB/A1 =40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6) =50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)= 60MPa,解：1)求内力(轴力)，,例 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2， BD段 为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa； l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,14,4)杆的总伸长为： lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变：eAB=sAB/
6、E钢=125/(210103) 0.610-3,3)求各段伸长： 注意: l=el=sl/E=FNl/AE lAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm； lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103) =0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,15,例：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图。,有： D=lAD=lAB+lBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA,注意：固定端A处位移为零。,16,例：零件
7、受力如图。其中Fp=38KN。求零件横截面的最大正应力，并指出发生在哪一横截面上。,解：零件各横截面上的轴向力都是相同的，即FN=Fp;又因为开孔使截面积减小，所以最大正应力可能发生在孔径比较大的两个横截面1.2上。A1=5.6*10-4 m2 A2=8.4*10-4m2 所以最大正应力发生在1截面上。,17,例：刚性杆（不变形）上连接有三根杆子，其长度分别为l,2l,3l。若已知力Fp及杆1的应变值x1,求2，3两杆的应变值。,解：利用三根杆变形之间的关系确定2、3两杆的变形量，进而求得二者的应变。,18,“材料的力学性能实验室”电子拉力试验机,4.3 拉伸或压缩时材料的力学性能,1 常温静
8、载拉伸试验,19,常用拉伸试样(圆截面):标距长度： l =10d 或5d 施加拉伸载荷F，记录 Fl曲线; 或(=F/A)(=l /l )曲线。,颈缩阶段：到k点发生断裂。,四个阶段：,弹性阶段：卸载后变形可恢复。,屈服阶段：变形迅速增大，材料 似乎失去抵抗变形的能力。,强化阶段：恢复抵抗变形的能力。,2 低碳钢拉伸应力应变曲线,20,21,由-曲线定义若干重要的,22,总应变是弹性应变与塑性应变之和。,弹性应变和塑性应变,s,屈服后卸载，卸载线斜率为E。,残余的塑性应变为p；恢复的弹性应变为e，则有： =e+p .,23,塑性和脆性：,伸长率:,断面收缩率：,度量材料塑性性能的重要指标。,
9、低碳钢，约 25%左右，约为 60%。,24,材料的力学性能（或机械性能）指标为：,弹性模量E: 材料抵抗弹性变形的能力,25,1) 不同材料的拉伸曲线,3 不同材料拉伸压缩时的机械性能,26,16Mn、A3钢 拉伸曲线,27,2) 压缩时的机械性能,28,29,3) 泊松(Poisson)比,沿载荷方向（纵向）的应变: 1=L/ L0 ;垂直于载荷方向（横向）的应变： 2=(d-d0)/d0=-d/d0,材料沿加载方向伸长/缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。,30,例：直径d0=20mm, 长L0=300mm的杆，受力F=6.28kN作用后，长度增加 0.03mm, 直径减小
10、0.0006mm；试计算材料的弹性模量E和泊松比。,31,例：铝块( E=70GPa、=0.3 )如图，力F=200kN通过刚性板均匀作用于上端横截面上。试计算其尺寸改变。,32,4 真应力、真应变,33,低碳钢拉伸s-e曲线,小 结,34,脆性材料: 拉、压缩性能常有较大的区别。 一般：抗压极限强度bc抗拉极限强度bt。,塑性材料: 压缩与拉伸有基本相同的E、s。,（ 1=/E； 2=3=-1）,泊松比: =-2/1.,35,4.4 拉压杆件的强度,为保证完成其正常功能，所设计的结构或构件 必须具有适当的强度和刚度。,结构和构件既要满足强度要求，也要满足刚度要求。工程中一般以强度控制设计，然
11、后校核刚度。,1 强度条件和安全系数,36,结构/构件强度的控制参量是应力。,37,依据强度判据，将工作应力限制在极限应力内，还不足以保证结构或构件的安全。因为还有误差：,38,安全系数 n 的确定：,显然，安全系数越大越安全；但是， n大, 小，F降低或A增加。经济效益下降。在安全性、经济性和轻量化的要求中寻求优化。n的选取，取决于对问题的认识程度，已往的经验。,注意：杆中任一处均应满足强度条件。,39,强度设计的一般方法：,初步设计,设计目标,40,依据强度条件，进行强度设计，包括：,2 拉压杆件的强度设计,41,例：蒸汽机汽缸的内径D，汽缸工内的工作压力p，汽缸盖和汽缸用螺纹根部直径为d
12、2的螺栓来连接。已知活塞杆材料的许用应力为1 ，螺栓材料的许用应力 2.试求活塞杆的直径及所需螺栓个数。,42,例：三铰屋架,屋架承受长度为l的铅垂均布载荷作用，沿水平方向的集度为q。屋架中的下旋钢拉杆的直径d，许用应力,试校核拉杆的强度。,43,例：跨度l=18m的三角拱屋架结构简图如图所示，屋架上承受均布载荷按水平单位长度计算，其载荷集度q=16.9KN/m。C处为铰链，AB两处用拉杆连接。若拉杆为圆截面Q235钢杆，许用应力=160MPa,试设计：1.拉杆AB的直径d;2.拉杆材料改用16Mn钢，其许用应力为=240MPa,拉杆直径应为多大？,44,讨论：已经设计出Q235钢杆的直径后，
13、如果改用16Mn钢，杆件的直径也可以利用下面的关系式计算：这表明两种情形下，杆件中的最大拉力都达到了同一数值FNAB.于是，由上述关系得到,45,例：挡水墙示意图中AB杆支撑着挡水墙。各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其许用应力=11MPa，试设计AB杆的直径。,解：1）计算简图挡水墙下端近似为铰链约束。AB杆上下端简化为铰链约束,2）计算AB杆内力每根支撑杆所承受的总水压力,3）设计直径根据强度条件,46,危险截面：,CD与BC材料同, FN小；面积ACD也小； CD可大； 故各段均可能为危险截面，都需要校核。,BC段：与AB段同面积， FNBC FNAB ， BC AB
14、 ；但铜钢；,如：杆AB段为钢制，BC和 CD为铜制。轴力如图。,AB段：轴力最大，AB大；,47,例：杆钢段AB ，钢=200MPa, 铜段BC和CD， 铜=70MPa；AC段截面积 A1=100mm2 , CD段截面积 A2=50mm2 ；试校核其强度。,48,例：简易吊车由工字钢梁AB和拉杆BC组成，工字钢梁为16号型钢，长l,拉杆直径d。梁AB和杆BC的材料均为Q235钢，许用应力.当载荷F沿水平梁移动到点B时，试求吊车的许可载荷。不计梁和杆的自重。,最薄弱构件,49,例 图中杆1为钢杆，截面积 A1=6cm2, 钢=120MPa; 杆2为木杆， A2=100cm2, 木压=15MPa
15、; 试确定结构许用载荷Fmax,50,2）几何关系,A,B,C,D,K,45,F,l,1,2,3,45,解：1)静力平衡关系,利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。,3）物理关系,4.5 拉压静定与超静定问题,51,求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。,52,静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形。,若去掉杆1，成为静定结构，则： F2=3F/2； FAy=-F/2。,3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力问题是一次超静定的。,超静定问题，反力、内力、应力均与材料有关。,53,解：温度升高时，杆BC要伸长。二 端约束限制伸长，引起约
16、束反力。 约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短， 故二端约束力如图。,无外力作用时，温度变化在静不定构件内引起的应力。,轴力FN=F，故杆的缩短为： LR=FL/EA,温度应力,54,约束使杆长不变，必有： LT=LR,3) 变形几何协调条件：,即： TL=FL/EA,故得到二端约束反力为： F=TEA 杆内的应力（压应力）为： =F/A=TE,55,由于尺寸误差而强迫装配时，在结构内 引入的应力。,解：强迫安装时，杆2受拉伸长，杆1、3受压缩短。,装配应力,56,3)力与变形的关系:,1=F1L/EA； 2=F2L/EA 即有：F1L/EA+F2L/EA= 注意 F2=2F1 解得： F1
17、=EA/3L (压力) F2=2EA/3L (拉力),各杆应力为： 1=F1/A=E/3L=0.510-3200109/31 =33.3106 Pa =33.3 MPa (压应力) 2=N2/A=2E/3L=66.7MPa (拉应力),57,静定和静不定问题解题方法的同异：,基本方程都是平衡方程、物理方程和几何方程。,58,讨论1：图示结构中，AB为刚性梁，二杆E、A相同。 变形后欲使AB保持水平，求F力作用位置x。,由(3)、(4)式得： F1=2F2 -(5)代入(1)、(2)式得： F1=2F/3; F2=F/3; x=L/3.,解：,59,讨论2: 截面积A=200 mm2的杆，距右端
18、刚性支承有间隙=0.025mm，E=200GPa。求受力F=20kN后二端的支承反力。,2) 力的平衡： FA+FB=F -(1),60,讨论3: 求图中各杆内力。,变形协调条件,61,讨论4: 复合材料柱由铝板和钢板组成，纵向载荷Fp通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试导出复合材料柱截面上正应力与Fp、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；,解：1)平衡方程,2）变形协调方程：,3）物理方程：,联立求解得：钢板中应力 铝板中应力,62,例: 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为3080mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。,63,由力与变形间的物理关系知各杆变形为： lBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.34410-3 m lCD=FNCDlCD/EACD=-0.137510-3 m,故变形后D点的位移为： 水平位移：u=DD2=lCD=0.137 mm () 垂直位移：v=D2H+HD=DD1/cosa+DD2 =lBD+lCD =2.038 mm (),3)变形几何协调条件：(求位移),变形后D点应移至以B、C为圆心，以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D处。变形量与原尺寸相比很小，用切线代替圆弧。几何关系如放大图。,
