1、四 渐开线与摆线,参数方程中曲线欣赏-渐开线与摆线,教学目标: 1.了解圆的渐开线的参数方程 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤,1、渐开线的定义,探究：,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？,动点（笔尖）满足什么几何条件？,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，,相应的定圆叫做渐开线的基圆。,2、渐开线的参数方程,以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。,设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x
2、，y）。 显然，点M由角 唯一确定。,这就是圆的渐开线的参数方程。,3、渐开线的参数方程,渐开线的应用：,由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。,在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。,4、摆线的定义,同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。,我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。,上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 上一个定点的轨迹是什么？,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,5、摆线的参数方程,根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。,设圆的半径为r。,所以，摆线的参数方程为：,6、摆线的参数方程,小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程,
