1、第四章 计算机图形处理技术 一、窗口与图形剪裁技术 二、图形变换 二、计算机辅助绘图 三、曲线和曲面,第一节 窗口与图形剪裁技术,一、窗口与视区 二、直线段剪裁 三、多边形剪裁,一、窗口与视区,1.窗口 矩形观察框，用以显示感兴趣的图形内容。,窗口一般用矩形对角坐标表示。涉及图形剪裁技术。 窗口也可定义为圆形、多边形等异型窗口。窗口可以嵌套。,窗口,2.视区 在图形设备上定义的矩形区域。,视区同样用矩形对角坐标表示。视区应小于等于屏幕区域，可在同一屏幕上定义多个视区。,3.窗口与视区的变换,若将窗口内容在相应视区上显示，必须进行坐标变换。其变换归结为坐标点的变换。,窗口与视区的变换,窗口与视区
2、坐标点的变换：,可见：若视区大小不变，窗口缩小或放大，会使图形放大或缩小。若窗口大小不变，视区缩小或放大，则图形会跟随缩小或放大。若窗口与视区大小相同时，则图形大小比例不变。 若视区与窗口纵横比不同时，则图形会产生伸缩变形。,二、直线段剪裁 剪裁：保留窗口内的图形，裁去窗口之外图形的处理技术。 直线段与窗口间的关系： 1) 整条线段在窗口内，显示整条线段，无须剪裁； 2) 整条线段在窗口外，不需显示该线段，无须剪裁； 3) 部分在窗口内，部分在窗口外，需将窗口外部分剪裁掉。 Sutherland剪裁算法： 区域码：左域0001；右域0010；下域0100；上域1000；内域0000。,线段与窗
3、口关系,Sutherland区域编码,Sutherland区域编码优点：1）易于剔除不需剪裁线段，两端点在同一区域线段不需剪裁；2）可减少对剪裁线段与边框求交计算，如：某线段一端在上域，则需 将该线段与上边框求交，删去上边框以外部分。 剪裁计算步骤如下：1）线段P1P2两端点分别编码：C1= a1, b1, c1, d1、C2= a2, b2, c2, d22) C1=C2=0000，则不需剪裁，计算结束，否则进入步骤3)。3)若|a1 - a2|=1，则对线段与上边界求交点；若|b1 - b2|=1，则对线段与下边界求交点；若|c1 - c2|=1，则求线段与右边界求交点；若|d1 - d2
4、|=1，则求线段与左边界求交点。4）将所求交点作为新端点，返回1）再次编码，继续剪裁作业。,三、多边形剪裁 SutherlandHodgman多边形剪裁思想：1）将多边形各顶点按顺时针走向进行排序（P1、P2、Pn）；2）将各条边分别与窗口上边界求交，删去上边界以外部分，插入边界线和延长线与多边形交点间连线，形成新多边形；3）以相同方法与窗口其它边界剪裁，直至得到最终剪裁图形。,第二节 图形变换 一、二维图形的几何变换 二、三维图形的几何变换 三、三维图形的投影变换和透视变换,1.工程图形的齐次坐标矩阵表示,齐次坐标：将一个n维向量用n+1维向量表示 。例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示,若图形
5、A经过某种变换后得到图形B，则有：B=AT T称为变换矩阵。二维：T为3x3矩阵，三维：T为4x4矩阵。,A,一、二维图形的几何变换,（1）比例变换,变换矩阵为：,坐标点(x,y,1)变换运算：,若a=d=1，为恒等变换，变换后的图形不变； 若a=d1，1时为等比例放大，1时为等比例缩小； 若ad，图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。,2.二维图形的基本几何变换,（2）对称变换,根据a b c d不同的取值情况，可以获得不同的对称变换。,y轴对称变换,x轴对称,对原点对称,45线对称,-45线对称,（3）旋转变换(绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负,（4）错切变换,其中：c为x方向错
6、切系数，b为y方向错切系数。当b=0, x=x+cy, y=y。y坐标不变,c0沿+x方向错切； c0沿+y方向错切；b0沿-y方向错切。,（5）平移变换,其中：l为x方向平移量，m为y方向平移量。,二维图形基本变换矩阵讨论：,3.复合变换 由多种基本变换的组合实现。复合变换矩阵：各基本变换矩阵的有序乘积。,例：三角形abc绕任意点A旋转角，步骤： 旋转中心A平移到坐标原点（T平）； 绕原点旋转角（T转）；旋转中心平移到原来位置（T-平）。 复合变换矩阵T为：,绕任意点A旋转角的点坐标计算,坐标点变换：X Y 1=X Y 1T,#include #include #include #defin
7、e PI 3.1415926 main() float degree=90,x3=40,90,40,y3=40,40,60;float x13,y13;int i,m,n,xa=20,ya=30;m=DETECT;initgraph( ,三角形绕任意点A旋转C语言程序：,已知条件 A点坐标（20，30） 旋转角90度 三角形（40，40）（90，40）（40，60）,三维图形变换矩阵T：44矩阵,左上角子矩阵：图形的比例、对称、错切和旋转变换； 左下角子矩阵：平移变换； 右上角子矩阵：透视变换； 右下角子矩阵：比例变换。,二、三维图形的几何变换,1、比例变换,变换矩阵为：,其中，a，e，j分别
8、为x，y，z方向的比例因子。,2、对称变换,XOY平面对称,YOZ平面对称,XOZ平面对称,3、错切变换,变换矩阵为：,d、h：沿x方向的错切系数； b、i：沿y方向的错切系数； c、f：沿z方向的错切系数。,4、平移变换,变换矩阵为：,l，m，n: 为x，y，z三个坐标方向的平移量。,5、旋转变换,（1）绕x轴旋转a角的变换矩阵：（平行于yoz平面）,（2）绕y轴旋转a角的变换矩阵：（平行于xoz平面）,（3）绕z轴旋转a角的变换矩阵：（平行于xoy平面）,三、三维图形的投影变换和透视变换,投影变换（三视图）,主视图：变换矩阵中坐标y0，其它坐标不变：,俯视图 令z0，绕x顺时针旋转90，再
9、在负z方向平移，其变换矩阵为：,左视图：令x0，绕z轴逆时针转90，再沿负x方向平移，变换矩阵为：,透视变换：通过视点将三维形体投影到投影面的变换。如视点E 位于Y 轴上，投影面垂直于Y 轴，则A即为形体上某点A在投影面（XOY）的透视变换坐标点：,a)一点透视 b)二点透视 c)三点透视,灭点不平行于投影面的平行线的汇聚点。透视投影的灭点有无穷多个。 主灭点为与坐标轴平行的平行线灭点。主灭点最多为三个。 一点透视一个主灭点，即投影面与一坐标轴正交，与另两坐标轴平行。 二点透视两个主灭点，即投影面与两坐标轴相交，与另一坐标轴平行。 三点透视三个主灭点，即投影面与三坐标轴相交。,第三节 计算机辅
10、助绘图,1、交互式绘图 2、程序参数化绘图 3、尺寸驱动式参数化绘图 4、参数化图库使用与建立 5、工程图自动生成,3.2.1 交互式绘图,交互式绘图：在交互式绘图系统的支持下，使用键盘、鼠标等输入设备通过人机对话进行工程绘图。 特点：绘图过程直观、灵活，效率不高。 常用绘图软件系统：AutoCAD 、高华CAD、开目CAD、 PICAD等，其中以AutoACD最为普及。,例：使用AutoCAD绘制固定钳身零件图步骤：,1)设置图幅 选择GB_A3为样板建立clamp图形文件，用LIMITS命令设置绘图范围（594420）。 2)设置图层 建立CENTER、HIDDEN、DIM、HATCH四个
11、图层，并设置各图层颜色和线型。 3)设置绘图辅助状态 设置捕捉方式END、INT、CEN，用F8设置正交绘图。,视图布置与俯视图的绘制,4)设置当前层 置CENTER为当前层，并在当前层画各视图中心线。5)执行UCS命令 设定俯视图上中心线的交点为当前用户坐标系的原点，绘制俯视图轮廓线。,6)作视图间对齐辅助线，确定主视图及左视图的轮廓。,通过对各视图的倒角、圆角、剖面线绘制，标注尺寸，最终得到完整的工程图。,3.2.2 程序参数化绘图,原理：用一组变量记录图形的几何参数和结构参数，用程序表示图形的拓扑关系和结构信息，最终将图形信息记录在程序中。 步骤： 确定参数变量，包括形状参数、位置参数和
12、方位（旋转）参数； 通过参数变量计算各图形实体的坐标参数； 调用图形函数，编制绘图程序。,如：一简单板金件绘制C语言程序 ：,draw(x1,y1,a,b,c,d) float x1,y1,a,b,c,d; int i,j,n, m=DETECT;float x6,y6;initgraph( ,图形元素拼装：用C语言编制一个个图形元素程序(如图4.25），通过编程拼装如轴类零件的复杂零件图。 特点：绘图效率高；可与分析程序结合，实现规则产品自动化设计。,尺寸驱动参数化绘图是目前计算机绘图普遍采用的一种绘图技术。 绘制步骤：草图绘制图形规整添加约束生成准确图形。 原理：通过几何约束和尺寸约束，按
13、所给尺寸参数驱动图形绘制。 几何约束：平行、垂直、相切、相等、对齐、对称等拓扑关系。 尺寸约束：各图元长度、角度、半径及相对位置等。 全约束：若施加的约束正好可以唯一确定图形的结构和大小。 欠约束：若施加的约束小于所需约束。 过约束：若施加的约束大于所需约束。欠约束和过约束，可通过增加或删除适当尺寸标注加以解决。,3.2.3 尺寸驱动式参数化绘图,草图规整,尺寸驱动参数化绘图实例一,尺寸驱动参数化绘图实例二,3.2.4 参数化图库的使用与建立,参数化图库应用：用于螺栓、螺母、轴承等标准件，常见绘图系统均附有常用标准件参数化图库。 参数化图库建立方法： 用AutoCAD形（Shape）、块（Bl
14、ock）功能建立图形符号库； 用程序化参数绘图方法，编制参数化绘图程序，组成图形程序库；利用绘图系统提供的参数化图库管理工具建立参数化图库。,PCCAD参数化图库管理系统,PCCAD系统标准件参数化图库的调用,3.2.5 工程图的自动生成,利用三维实体模型，通过投影、剖切功能自动生成二维工程图，通过参数关联，三维实体模型的修改立即关联到对二维工程图的修改，彻底解决了图档更新问题。目前，CADCAM软件均具有该功能等。,Solidworks环境下建立零件三维模型,步骤： 1）建立零件三维模型 2）设置绘图环境 3）生成三视图,Solidworks工程图绘制环境设置,Solidworks环境下三视
15、图生成,第三节 曲线曲面 3.3.1曲线曲面的数学表示形式,1）显式表示 y=f(x) y=a+bx 2）隐式表示 F(x,y,z)=0 3) 参数表示 x=x(u) y=y(u) z=z(u) p=(1-t)p1+tP2 (0t 1) 参数表示法优越性：可方便表示三维曲线，有更多自由度控制曲线曲面形状；所表示的曲线曲面与坐标系选择无关；使用切矢来代替斜率，便于处理斜率无穷大的问题；有明确的定义域，使其对应的几何量都是有界的；易于用矢量和矩阵表示几何量，便于计算机计算与编程。,曲线的连续性：连接点处光滑程度，有参数连续、几何连续。 n阶参数连续Cn：曲线连接点处相对于参数u具有n阶连续导矢。
16、n阶几何连续Gn：曲线连接点处相对于弧长参数s具有n阶连续导矢.C0连续-表示连接点处位置矢量相同；C1连续-表示连接点处切矢方向相同，大小相等；C2连续-表示连接点处二阶导矢相同。G0连续含义同C0；G1连续表示曲线在连接点切矢方向相同， 但大小可能不等；G2连续表示曲线在连接点处具有相同的曲率。,曲线段间连续性定义：,1.Bezier曲线的定义,其中：Bi,n(u)为伯恩斯坦（Bernstein）基函数：,若给定n+1个控制顶点Pi(i=0,1,.,n)，可定义一条n次Bezier曲线：,3.3.2 Bezier曲线曲面,0u1 显然，一次Bezier曲线是一条连接起点P0和终点P1的直线
17、段。,2.几种常见的Bezier曲线,1)一次Bezier曲线 当n=1时：,其中： B0,1=C01u0(1-u)1-0=1-uB1,1=C01u1(1-u)1-1=u,其矩阵表示为：,P0,P1,2)二次Bezier曲线 当n=2时:,其中:,可见，二次Bezier曲线是一条以P0和P2为端点的抛物线。,端点特性：,P(0)=p0 P(1)=p2 P(0)=2(p1-p0) P(1)=2(p2-p1),3)三次Bezier曲线 当n=3时：,其中：,三次Bezier曲线几何特性：端点特性凸包性 曲线落在控制顶点所构成的最小凸多边形内。几何不变性 与坐标选择无关 。全局控制性 缺乏局部修改能
18、力 。,4) Bezier曲线 的拼接 若给定两条三次Bezier曲线段P(u)和Q(u)，使P(u)终点p3和Q(u)的始点q0重合.G0连续条件： P(1)=Q(0)G1连续条件： p(1)= q (0) 由于：p(1)=3(p3-p2) q(0)=3(q1-q0)则： 3(p3 - -p2)=3(q1-q0)表明：若三次Bezier曲线G1连续，需p2、p3(q0)、q1三点共线。G2连续条件：要求特征多边形p1p2、p2p3、q0q1、q1q2共面。,Bezier曲线的拼接,5） Bezier曲面,设有pij(i=0,1,2,.,m; j=0,1,2,.,n)为（m+1)（n+1）个空
19、间点列，则可定义一张mn次Bezier曲面：,Bezier曲线不足：特征多边形顶点数决定曲线的阶次，当阶次较高时，求解困难， 特征多边形对曲线的控制能力将削弱；局部控制性差，改变任一顶点位置，会对整条曲线产生影响；分段曲线连接要求高，扩展不易。,3.3.3 B样条曲线曲面,1、B样条曲线定义已知n+1个控制顶点pi(i=0,1,2,.,n)可定义n-k+1段k次B样条曲线表达式为：其中，Ni,k(u)为k次B样条基函数，由以下递推关系得到：,节点矢量 节点个数： U=u0,u1,.,un+k+1有n+k+2个。 均匀B样条曲线： ui+1-ui=常数。 非均匀B样条曲线：ui+1-ui常数。例
20、如：n=5, k=3的均匀B样条曲线共有n-k+13段3次B样条节点矢量个数：n+k+2=5+3+2=10节点矢量： U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2. B样条曲线的节点矢量由定义可见，B样条与Bezier样条区别：由n+1个控制顶点可生成n-k+1段k次B样条曲线段，每曲线段由k+1个顶点所控制;引入了节点矢量U。,准均匀B样条：节点矢量中两端节点具有k+1个重复度，即：u0=u1=uk， un+1=un+2=un+k+1 例：n=6,k=2准均匀B样条节点矢量：U=0,0,0,1,2,3,4,5,5,5 共10个；n=6,k=3准均匀B样条节点矢量： U=0,0,0,0,1,
21、2,3,4,4,4,4共11个；若n=3,k=3，U=0,0,0,0,1,1,1,1， 转化为三次Bezier样条。,3、均匀B样条曲线段,1)一次B样条曲线段,=(1-u)P0 + uP1,一次B样条曲线段是一条连接起点和终点的直线段 。,2)二次B样条曲线,3)三次B样条曲线,= (-u33u2-3u+1) P0+(3u3-6u2+4) P1+(-3u33u2+3u+1) P2+ u3P3,端点位置矢量,= (P0+4P1+P2)+(-3P0+3P2)u+(3P0-6P1+3P2)u2+(-P0+3P1-3P2+P3)u3,= (P0+4P1+P2)+(-3P0+3P2)u+(3P0-6P
22、1+3P2)u2+(-P0+3P1-3P2+P3)u3,4. B样条曲线的几何性质局部性 改变一个顶点坐标，仅对k+1个曲线段产生影响；连续性 k次B样条曲线具有k-1阶连续；几何不变性 曲线与坐标系选择无关；凸包性 比Bezier曲线更贴近特征多边形；造型的灵活性,四点共线 形成直线段,P0 P1,P2,P3,两顶点重合 与边相切,P0,P1 P2,P3,三顶点重合 形成尖点,4. B样条曲线反算,正算：由控制顶点构造B样条曲线。 反算：通过给定曲线上一些型值点构造B样条曲线。 反算方法：由给定的曲线上型值点反算曲线的控制顶点， 再由控制顶点来构造B样条曲线。 例:已知型值点Qi(i=1,2
23、,.,n)，求经过型值点Qi的均匀三次B样条曲线。 根据三次B样条型值点和控制顶点间的关系： (Pj-1+4Pj+Pj+1)/6 =Qj (j=1,2,.,n) 使P1=Q1、Pn=Qn，构造方程组：,采用追赶法便可求出控制顶点Pj(j=1,2,.,n),5. B样条曲面,给定(m+1)(n+1)个控制点pij(i=0,1,.,m; j=0,1,.,n），则可定义kl次B样条曲面：,其中，Ni,k(u)和Nj,l(v)分别为k次和l次B样条基函数.,例如:k=l=3 双三次B样条曲面片：Uk=u3 u2 u 1 =v3 v2 v 1T,=,1、NURBS曲线的定义：,n+1个控制顶点pi(i=0,1,n)可构成一条分段的k次NURBS曲线：,其中：wi称为权因子，反映各控制顶点对曲线的影响程度； 称为NURBS曲线有理基函数:,3.3.4 NURBS曲线曲面（非均匀有理B样条）,图中：i 曲线通过Pi点； i 0 曲线通过B点；i 1 曲线通过N点； d为曲线变化动点. 由此可见： 1）随i 增/减，曲线被拉向/拉开Pi点； 2）随i 增/减，在i影响范围内，被拉开/拉向其余控制顶点， i 影响区域为ui，ui+k+1,权因子i 对NURBS曲线形状的影响,
