1、一次数学竞赛出了 10 道选择题，评分标准为：基础分 10 分，每道题答对得 3 分，答错扣1 分，不答不得分问：要保证至少有 4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【答案】 由题目条件这次数学竞赛的得分可以从 10-10=0 分到 10+310=40 分，但注意到 39、38、35 这 3 个分数是不可能得到的，要保证至少有 4 人得分相同，至少需要3（41-3）+1=115 人难度：对一块 37 的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色求证：对任意的染法，棋盘上至少有一个长方形，它的四个角着色相同【答案】因为只有两种颜色，所以第一行的 7 个格中至少有 4 个格着色相同，为确定起见，不妨设前
2、4 个格着白色如果第二行的前 4 格有 2 个着白色，则四个角同色的矩形已经存在，所以我们假定第二行的前 4 格中至少有 3 个着黑色，不妨假定前三个格着黑色又第四行的前 3 个格至少有 2 个同色，当有 2 个白色时与第一行构成四角同色的矩形，当有 2 个黑色时与第二行构成四角同色的矩形有 2 个砝码，一个重 5 克，另一个重 7 克，能用这两个砝码称出 9 克沙子吗？怎样称？【答案】可以先用 7 克的砝码称出 7 克沙子；再从中称出 5 克沙子，还剩 (克)；再称取 7 克沙子，与刚才剩下的 2 克一起，共是 (克)难度：一个圆周被任意地分成 101 段，甲、乙两人轮流对它进行涂色，每人每
3、次可以涂染一段或相连的两段，谁涂完最后一段，谁就获胜如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？【答案】若甲先涂 1 段，则乙涂圆周上对面的 2 段，则剩下的 98 段可均匀分成 2 部分，以后甲涂几段，乙就对应涂几段，所以乙必胜；若甲先涂 2 段，则乙涂圆周上对面的 1 段，则剩下的 98 段可均匀分成 2 部分，甲涂几段，乙就对应涂几段，所以乙也必胜综上，乙有获胜的策略难度：难度：甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分钟甲车超过了一名长跑运动员，2 分钟后乙车也超过去了，又过了 2 分钟丙车也超了过去.已知甲车每分钟走 1000 米，乙车每分钟走 800 米，丙车每分钟走多少米?解答 长跑运动员的速度为：800(6+2)-100062=200(米/分)，三辆车与长跑运动员的初始距离为(1000-200)6=4800(米)，丙车的速度为：4800(6+2+2)+200=680(米/分).难度：小学五年级奥数天天练客车、货车、小轿车在公路上同向行驶，客车在前，货车在中，小轿车在后.在某一时刻，客车与货车、货车与小轿车的距离相等.从这一刻起，10 分钟后小轿车追上货车，又过 5 分钟，小轿车又追上客车.再过多少分钟货车能追上客车?
