1、1椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆 （ 0）中，焦点分别为 、 ，点 P 是椭圆上任意一点，12byaxab1F2，则 .21PFtn21SPF证明：记 ，由椭圆的第一定义得2|,| rr.4)(,2121 aar在 中，由余弦定理得：PF .)2(cos2121rr配方得： .4cos2)(11r即 .4cos422a.1)(21br由任意三角形的面积公式得：.2tan2cosincos1insi22211 bbbrSPF.ta21PF同理可证，在椭圆 （ 0）中，公式仍然成立.12bxya典题妙解例 1 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，求16402yx1F2 602
2、1PF 的面积.21F解法一：在椭圆 中， 而 记16402yx,68,0cba.0.|,| 21rr点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.221r在 中，由余弦定理得：21F .)2(cosrPy F1 O F2 xP2配方，得： .143)(221rr从而.434056.342sin211 rSPF解法二：在椭圆 中， ，而16402yx6b.0.3tan2t21 bSPF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若1925yx1F2，则 的面积为（ ）1|21PF21FA. B. C. D. 3333解
3、：设 ，则 ，21PF21|cos1PF.60.30tan9t21 bSF故选答案 A.例 3（04 湖北）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 P 在椭圆上. 若 P、1962yx1F2、 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 轴的距离为（ ）1F2 xA. B. C. D. 或59749497解：若 或 是直角顶点，则点 P 到 轴的距离为半通径的长 ；若 P 是直角顶点，1F2 x2ab设点 P 到 轴的距离为 h，则 ，又x 945tan2t21 bSF ,7)(121 hcSF， 故答案选 D.97h.73金指点睛1. 椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点 、 的连线互相垂直，则
4、的面积为（ 1249xy 1F2 21PF）A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积为 1 时，142yx12 21的值为（ ）21PFA. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积最大时，42yxF2 21PF的值为（ ）21PFA. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆 （ 1）的两个焦点为 、 ，P 为椭圆上一点，且 ，2yaxa1F2 6021PF则 的值为（ ）|21PFA1 B C D313435. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 、 为焦点，点 P
5、 在椭圆上，直线 与 倾1F2 1PF2斜角的差为 ， 的面积是 20，离心率为 ，求椭圆的标准方程.9021PF356已知椭圆的中心在原点， 、 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且 ，12 21|12PF的面积是 ，准线方程为 ，求椭圆的标准方程 .21PF334x参考答案1. 解： ， .24,9021b245tan2t21 bSPF故答案选 D.2. 解：设 ， ， ， .21PFtant21PF 90,021PF4故答案选 A.3. 解： ，设 ， ，3,12cba21PF2tant21 bSPF当 的面积最大时， 为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点， ，1PF 10.0coss| 2
6、212 a故答案选 D.4 解： ， ， ，6021PF1b30tan2t21 bSPF又 ，|43sin| 212121SPF ，从而 .3|4321 |21PF故答案选 C.5. 解：设 ，则 . ，21PF902045tant221 bbSPF又 ，35abce，即 .9512b9201解得： .4a所求椭圆的标准方程为 或 .12045yx12045x6解：设 ， .21PF,|cos21PF， .360tant 221 bbSPF b又 ，即 .34ca 342 cc或 .当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；3c22cba 12yx5当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；3c322cba 1342yx但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时， 为最大， ，不合题意.60故所求的椭圆的标准方程为 .142yx
