1、证明:三角形内角和等于 180在几何证明中, “三角形内角和等于 180”这个定义十分常用,但这个定义的得出原因值得探讨。我们可以随意作一个三角形,为ABC AB C方法一:可以添加一条平行线,得到相等的同位角和内错角,然后进行等量代换。 证明:如图,延长 BC 到 D,再过点 C 作 ABCDAB C DE图 图 ABCD(已知)BECD(两直线平行,同位角相等)AACE(两直线平行,内错角相等)ACB ECD ACE180(平角为 180)ACB BA180(等量代换)方法二:证明:如图,过点 A 作 ADBCAB CDEADBCDACACBEABABCEABBACDAC 180 (平角为
2、 180)ABC BACACB180(等量代换)方法三:证明:如图,过点 A 作 ADBC图 AB CD图 ADBC C=DAC(两直线平行,内错角相等) DAB+B=180(两直线平行,同旁内角互补) DAB=DAC+CAB DAC+CAB+B=180 C=DAC C+CAB+ B=180方法四:如图,过 A 点作 DEBC,延长 BA、CA 交DE 于 A 点F GAB CED图 图 DEBC C=FADB=GAE (两直线平行,同位角相等) D,A,E 三点共线 DAE=180 DAE=DAF+FAG+ GAE DAF+FAG+GAE=180 GAF=BAC(对顶角相等) BAC+C+B
3、=180方法五:如图,作直线 DEAC ,FEAB 交 BC 于 EAB C图 D F图 图 DEAC AFE+DEF=180(两直线平行,同旁内角互补) C=DEB(两直线平行,同位角相等) FEAB AFE+A=180(两直线平行,同旁内角互补) B=FEC(两直线平行,同位角相等) A=DEF B,C,E 三点共线 BEC=180 EBEC=DEB+DEF+FEC DEB+ DEF+ FEC =180 A+C+B=180方法六:证明:如图,作 DEAC,FGAB,MNBC,都交于点 OAB CD FM ONGE图 图 DEAC AFO+FOD=180(两直线平行,同旁内角互补) FGAB
4、 AFO+A=180 (两直线平行,同旁内角互补) A=FOD MNBC C=FNO(两直线平行,同位角相等) DEAC FNO=DOM(两直线平行,同位角相等) C=DOM MNBC B=DMO(两直线平行,同位角相等) FGAB DMO=FON(两直线平行,同位角相等) B=FNO M,O,N 三点共线 MON=180 MON=DOM+DOF+FON DOF+DOM+FON=180 A+B+C=180方法七:证明:如图,作 DEAC,FGAB,MNBC,都交于点 O 延长 AC 交 FG 于点 K,延长 AB 到点 L,延长 BC 交 FG于点 P AB CF LKNHGPOM DE MNBC ABC=AHNACB=ANM(两直线平行,同位角相等) ABFG AHN=FONBAC=AKO (两直线平行,同位角相等) ABC=FON DEAC ANM=DOM (两直线平行,同位角相等) OKA=DOF (两直线平行,内错角相等) ACB=DOM FGAB BAC=OKA(两直线平行,同位角相等) BAC=DOF M,O,N 三点共线 MON=180 MON=DOM+DOF+FON DOM+DOF+FON=180 BAC+CBA+ACB=180