1、2017-2018 学年第一学期高二数学期末考试试卷试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共 150 分.考试时间 120 分钟.第卷（选择题 共 60 分）1、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知命题 p： xR，sinx1，则( C )A p： xR，sinx1 B p： xR，sinx1C p： xR，sinx1 D p： xR ，sinx12等差数列a n中，a 1a 2a 324，a 18a 19a 2078，则此数列前 20 项和等于( B )A160 B180 C200 D2203ABC 中，A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c若 a3
2、，b4，C 60 ，则 c 的值等于( C )A5 B13 C D13374若双曲线 1 的一条渐近线经过点(3，4) ，则此双曲线的离心率为 ( D )x2a2 y2b2A. B. C. D. 73 54 43 535在ABC 中，能使 sinA 成立的充分不必要条件是( C )32AA BA CA DA (0，3) (3，23) (3，2) (2，56)6 ABC 中，如果 ，那么 ABC 是( B )atnbtctanA直角三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形7. 如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点， F 是 AD 上一点，当 BF
3、PE时，AFFD 的值为( B )A12 B11 C3 1 D218如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA 1B1C1，CA CC 12CB，则直线 BC1 与直线 A B1 夹角的余弦值为( A )A. B. 55 53C. D. 255 359当 x1 时，不等式 x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是( D )1A(，2 B2 ，) C3，) D(，310若不等式组 ，所表示的平面区域被直线 y kx 分为面积相等的两部分，则 k 的值4 30 yx 34是( A )A 73B 37C 43D 4 11若关于 x 的不等式 2x28x 4a0 在 1x4 内有解，则实数 a
4、的取值范围是( A )Aa4 Ba4Ca12 Da1212定义域为 R 的偶函数 f(x)满足：对x R，有 f(x2)f (x)f(1)，且当 x2,3 时，f (x)2(x 3)2，若函数 yf( x)log a(x1)在(0，) 上至少有三个零点，则 a 的取值范围为 ( B )A. B. C. D. (0，22) (0，33) (0，55) (0，66)解析 由于定义为 R 的偶函数 f(x)满足：对x R，有 f(x2) f (x)f(1)，得 f(12) f (1)f(1)0，即 f(1)0，故 f(x2) f (x)，可知 f(x)的周期 T2，图象以 x2 为对称轴，作出 f(
5、x)的部分图象，如图，y loga(x1)的图象与 f(x)的图象至少有三个交点，即有 loga(21)f(2)2 且 0a1，解得 a 。(0，33)第卷（选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置13已知某抛物线的准线方程为 y1，则该抛物线的标准方程为_。x 24y14.若 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是_ _。7515过椭圆 内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被点 M 平分，则这条弦所在直线2164xy的斜率等于_ 1216已知函数 f(x)x 的图象过点(4,2)
6、，令 an ，nN *。记数列a n的前 n 项和为 Sn，则1fn 1 fnS2 016_。 12 017三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17(12 分) 已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A，B，C 的对边， sin2B2sinAsin C。(1)若 ab，求 cosB；(2)设 B 90，且 a ，求ABC 的面积。2解 (1) 由 sin2B2sinAsinC 及正弦定理，得 b22ac，ab，a2c。由余弦定理，得cosB 。a2 c2 b22aca2 14a2 a22a12a 14(2)由(1)
7、得 b22ac。B90，a ，a 2c 22ac ，ac ，S 2 2ABC ac 1。1218设 p：实数 x 满足 x24ax 3a 20，其中 a0，q：实数 x 满足Error!(1)若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。解 (1) 由 x24ax3a 20，得：(x3a)( xa) 0，当 a1 时，解得 1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x 3。由Error!解得：2x 3，即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x 3。若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是
8、2x 3。(2)p 是 q 的必要不充分条件，即 q 推出 p，且 p 推不出 q，设集合 Ax|p( x)；集合 Bx|q(x) ，则集合 B 是集合 A 的真子集，又 B (2,3，当 a0 时，A( a,3a)；a0 时，A (3a，a) 。所以当 a0 时，有Error!解得 1a2，当 a0 时，显然 AB，不合题意，19(本小题满分 12 分)已知动圆经过点 F(2,0)，并且与直线 x2 相切。(1)求动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程；(2)经过点(2,0)且倾斜角等于 135的直线 l 与轨迹 M 相交于 A，B 两点，求|AB| 。解 (1) 设动圆圆心 P(x，y)。因为动
9、圆经过点 F(2,0)，并且与直线 x2 相切，所以点 P 到定点 F(2,0)的距离与到定直线 x2 的距离相等，故点 P 的轨迹是一条抛物线，其焦点为 F，准线为 x2，设轨迹方程为 y22px( p0)，则 2，p2所以轨迹 M 的方程为 y28x 。(2)轨迹 M 的焦点(2,0)，直线 l 的斜率 ktan 1351，于是其方程为y( x2)。由Error!消去 y 得 x212x 40。设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1x 212，于是|AB |x 1x 2p12416。20(12 分) 如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABC 是直角三角形，且
10、PAABAC。又平面 QBC 垂直于底面 ABC。(1)求证：PA平面 QBC；(2)若 PQ平面 QBC，求锐二面角 QPBA 的余弦值。解 (1) 证明：过点 Q 作 QDBC 交 BC 于点 D，因为平面 QBC平面 ABC。所以 QD平面 ABC。又 PA平面 ABC，所以 QDPA。而 QD平面 QBC，PA平面 QBC，所以 PA平面 QBC。(2)因为 PQ平面 QBC，所以PQBPQC90 。又 PBPC，PQ PQ，所以PQBPQC，所以 BQCQ。所以点 D 是 BC 的中点，连接 AD，则 ADBC，因此 AD平面 QBC，故四边形 PADQ 是矩形。分别以 AC，AB，
11、AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设 PA2a，则 Q(a，a,2a) ，B(0,2a,0)，P(0,0,2a) 。设平面 QPB 的法向量为 n(x，y ，z)，因为 (a，a,0)， (0,2a，2a)，PQ PB 所以Error!取 n(1 ，1，1)。又平面 PAB 的一个法向量为 m(1,0,0)，设锐二面角 QPB A 的大小为 ，则 cos|cosm，n| ，mn|m|n| 33即锐二面角 QPB A 的余弦值等于 。3321(本小题满分 12 分)若 的前 n 项和为 ，点 均在函数 y 的图像上。anS),(n x213（）求数列 的通项
12、公式; =3n-2nn（） ， 是数列 的前 n 项和，13abTb(1) 点 均在函数 y 的图像上,),(nSx213= , n23故 ,1n )1()()n从而当 - =3n-2,即 =3n-2, nS1na又当 n=1 时 , ,满足上式11S=3n-2 na(2) , =3n-2,13nbna=)3(2n 132=.07141nTn.131n22(本小题满分 12 分)已知椭圆 x22y 2a 2(a0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4。(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 yk( x1)与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在 x 轴上的点 M(m,0)，使得对任意
13、的kR， 为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。MA MB 解 (1) 设椭圆的短半轴为 b，半焦距为 c，则 b2 ，由 c2a 2 b2，得 c2a 2 ，a22 a22 a22由 b2c4 解得 a28，b 24，则椭圆方程为12 1。x28 y24(2)由Error!得(2 k21)x 24k 2x2k 280，设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，由根与系数的关系，得x1x 2 ，x 1x2 ，4k22k2 1 2k2 82k2 1则 (x 1m ，y 1)(x2m，y 2)MA MB x 1x2m (x1x 2)m 2k 2(x11)( x21)(k 21)x 1x2( mk 2)(x1x 2)k 2m 2(k 21) (mk 2) k 2m 22k2 82k2 1 4k22k2 1 m 2，5 4mk2 82k2 1当 54m16，即 m 时， 为定值，114 MA MB 716故存在点 M ，使得 为定值。(114，0) MA MB
