1、- 1 -圆的方程复习教案知识梳理1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的标准方程：以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程是 .),(baCr 22)()(rbyax特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： .2ryx3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 dr； (3)点在圆内 dr 2.给定点 及圆 .),(0yxM22)()(:rbyaxC 在圆 内 0 在圆 上 220)()rbyax（ 在圆 外C03.涉及最值：（1）圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值BPB
2、minNCraxMB（2）圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值APAminNrACaxMMM- 2 -4、圆的一般方程： .02FEyDx当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 .02FED2,EDC24FEDr当 时，方程表示一个点 .422,当 时，方程无图形（称虚圆）.0注：（1）方程 表示圆的充要条件是： 且 且 .022 FEyDxCyBxA 0B0CA042AFED圆的直径或方程：已知 )()(),(),( 212121 yx5、直线与圆的位置关系： 直线 与圆 的位置关系有三种0CByAx 22)()(rbyax（1）相离 没有公共点dr（2）相切 只有一个公共点 （3）相交
3、 有两个公共点相离 相切 相交（其中： ）2BACbad还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解的个数来判断：02FEyDxCBA（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点） ，直线与圆相交；（2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点） ，直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点） ，直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为 ，圆心 C 到直线 的距离为 d,则直线l与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切 d=r 0（ 2）相交 d0； （3）相离 dr 0。- 3 -6、两圆的位置关系设两圆圆
4、心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， 。dO21（1） ；交交421rd（2） ；3（3） ；交交22121rr（4） ；d（5） ；交210r外离 外切 相交 内切 内含7、圆切线：切线条数：点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点（点在圆外）如定点 ，圆： ， 0,Pxy22xaybr2200xaybr第一步：设切线 方程l00k第二步：通过 ，从而得到切线方程dr特别注意：以上解题步骤仅对 存在有效，当 不存在时，应补上千万不要漏了！k如：过点 作圆 的切线，求切线方程.1,P24612xy答案： 和340xy求切线方程的方法及注意点（点在圆上）1）
5、若点 在圆 上，则切线方程为0， 22xyr20xyr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2） 若点 在圆 上，则切线方程为0y， 22abr0xab碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的- 4 -位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用基本图形， 2 22APCrAPCr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 1ACPk8、直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式： （暂作了解，无需掌握）2221114lkxkxx（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）
6、：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为 1，则半径 的取值范围是2235xyr320xyr_. 答案： 4,6（*）9、圆的参数方程， 为参数22cos0inxrxyry， 为参数22 cosinarabrb例题精讲基本圆方程：【题型一、圆方程判断】【例 1】 表示圆，则 的取值范围 20xyaa变式训练：方程 表示一个圆的充要条件是（ ）022 FEyDxCyBxA(A) (B) (C)0,C, 04, ,2FEDBCA(D) 4,2- 5 -【题型二、几种基本求圆方程的方法】1、简单圆方程求法：【例 2】方程 x2+y2+2ax-b
7、y+c=0 表示圆心为 C（2，2） ，半径为 2 的圆，则 a、b、c 的值依次为( ) （A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2、圆心在某直线上：【例 3】过点 A（1，-1） 、B （-1 ，1）且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( )A、(x-3) 2+(y+1)2=4 B、(x+3) 2+(y-1)2=4 C、(x-1) 2+(y-1)2=4 D、(x+1) 2+(y+1)2=4（答案：） 3、过三点：【例 4】求下列各圆的 方程：（1）圆心为点 ，且过点 （2）过三点(5,3)M(8,1)A(2,)(,32,6)ABC【题
8、型三、点圆关系】【例 5】点 的内部，则 的取值范围是（ ）4)()()1,( 22ayx在 圆 a(A) (B) (C) (D) a101或 【题型四、线圆关系】类型一：【例 6】若圆 上有且只有两点到直线 的距离为 1， 则半径 的取值范围是22)5()3(ryx234yxr（ ） A B C D ,46,46,6,【例 7】能够使得圆 x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线 2x+y+c=0 的距离等于 1 的 c 的一个值为（ ）A.2 B. C.3 D.3 55【例 8】圆 上到直线 的距离等于 1 的点的个数有（ ）9)3()(22y0143yx(A)1 (B)2 (C
9、)3 (D)4 类型二：【例 9】直线 与圆 无公共点的充要条件是（ ）0534yx 0242myxA. B. C. D. 0m11变式训练1. 若圆 与两坐标轴无公共点，那么实数 的取值范围是（ ）)0(22kk kA B C Dk22. 直线 与圆 总有两个交点，则 应满足（ ）034yx 014222 ayxyx a(A) (B) (C) (D) 7a6a3719- 6 -类型三：【例 10】圆 上的动点 Q 到直线 距离的最小值为 .（配方：0122yx 0843yx12yx【题型五、与圆有关的交线问题】知直线求弦长：【例 11】直线 xy +3=0 被圆（x+2） 2+（y2） 2=
10、2 截得的弦长等于（ ）A. 26 B. 3 C.2 D. 6 知弦中点求直线：【例 12】若 为 圆的弦 的中点，则直线 的方程是（ ） P(,-1)25yx2ABABA. B. C. D. 03yx0301yx052yx知弦长求直线：【例 13】求过点 P（6，4）且被圆 2截得长为 6的弦所在的直线方程 涉圆交线综合分析：1、经过两点 ，且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆的方程。 已知圆心在 轴上，半径是 5，且以点(2,)(3,1)Q x为中点的弦长为 ,则这个圆的方程是_ A(5,4)52、已知圆 C 与 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截得的弦长为 ，求圆的方程。 y30xyy
11、x273、已知直线 与圆 ： .03:kxlM09282x4、求证：直线 与圆 M 必相交； 当圆 截直线 所得弦长最小时，求 的值.（配方： ； lk81-y4)-(x22【题型六、与圆有关的切线问题】判断圆切线：【例 14】圆 与两坐标轴都相切的条件是（ ） )0()()(22rbyaxA、 B、 C、 D2rb22rbarba|或求切线方程：- 7 -【例 15】自点 的切线，则切线长为（ ） ，切线方程为： 。1)3()2()4,1( 2yxA作 圆涉圆切线综合分析：1、一个圆经过点 P(2，1)和直线 xy=1 相切且圆心在直线 y=2x 上，求它的方程。2、求过点 和 且与直线 相
12、切的圆的方程。,2A1,0B012y3、由直线 ， 及 轴围成的三角形的内切圆的圆心是 （ ）xy4xy(A) (B) (C) (D) ,13 , 23 ,23 ,14、若过点（1，2）总可以作两条直线和圆 相切，则实数 的取值范围052kyxk是_5、已知圆 C 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为（ 2x43yx）A. B. C. D.032xy042y 022042xy【题型七、圆圆关系】【例 16】圆 x2y 22x6y90 与圆 x2y 26x2y10 的位置关系是（ ）A相交 B相外切 C相离 D相内切 变式训练1、圆 和 的位置关系是 （ ）
13、242A 相离 B 外切 C 相交 D 内切2、若圆 C1的方程是 ，圆 C2的方程为 ，则两圆的公切线072yx 01342yxy有（ ） A、2 条 B、3 条 C、4 条 D、1 条对称：1、圆 关于直线 ： 对称的圆方程是_022yxl01yx2、圆 关于 A(1,2)对称的圆的方程为 1)()(3、圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为 ( ) 2yxxyA. B. C. D.)1(21)(22122yx- 8 -【题型八、数形结合就范围】类型一：1. 已知点 在直线 上，则 的最小值为 的最小值(,)Mab1543yx2ba221ba为 2. 点 在直线 上，则 的最小值
14、是 _(,)Pxy02xy3. 若实数 、 满足方程 ，则 的最大值是_01682yx 2yx类型二：4. 实数 满足 ，则 的最大值为( )； 的最大值为( )。yx, 62yx已知实数 满足 ，求 的取值范围。 1yx2x5. 若 在圆 上运动，则 的最大值是_),(yxP)3()(2 xy类型三：6. 若直线 与曲线 有交点，则（ ） )(k21xyA 有最大值 ，最小值 B 有最大值 ，最小值 33k21C 有最大值 0，最小值 D 有最大值 0，最小值k7. 若曲线 与直线 始终有交点，则 的取值范围是_；若有一个交点，则 的取值21xybxyb b范围是_；若有两个交点，则 的取值范围是_； 8. 直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围是 （ ）kxy21yxkA. B. C. D. 或2k, , 2,21 ,k
