1、1第 4 章 一 元 一 次 方 程4.1 从 问 题 到 方 程知 识 点 一 方 程 与 一 元 一 次 方 程 的 有 关 概 念1. 方 程 的 定 义 ：含 有 未 知 数 的 等 式 叫 做 方 程 。 方 程 是 表 达 数 量 之 间 相 等 关 系 的 “天 平 ”， 因 此 ， 方 程 首 先 是 等式 ， 但 它 又 是 特 殊 的 等 式 ， 是 含 有 未 知 数 的 等 式 。2. 一 元 一 次 方 程 的 概 念 ：只 含 有 一 个 未 知 数 （ 元 ） ， 并 且 未 知 数 的 次 数 是 1（ 次 ） ， 这 样 的 方 程 叫 做 一 元 一 次方
2、程 。 一 般 形 式 ： a b 0（ a 0） 。3. 判 断 一 个 等 式 是 否 是 一 元 一 次 方 程 ， 必 须 满 足 下 列 条 件 ：（ 1） 等 号 两 边 都 是 整 式 ；（ 2） 有 且 只 有 一 个 未 知 数 ；（ 3） 化 简 后 未 知 数 的 次 数 是 1， 且 系 数 不 为 零 。知 识 点 二 列 方 程 表 达 实 际 问 题从 问 题 到 方 程 的 主 要 思 想 ： 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 模 型 ， 即 方 程 。4.2 解 一 元 一 次 方 程知 识 点 一 方 程 的 解 和 解 方 程1. 能 使 方 程 两
3、 边 的 值 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 做 方 程 的 解 。2. 求 方 程 的 解 的 过 程 叫 做 解 方 程 。 求 方 程 的 解 就 是 将 方 程 变 形 为 a 的 形 式 。注 ：（ 1） 方 程 的 解 与 解 方 程 是 两 个 不 同 的 概 念 ，要 注 意 它 们 的 区 别 与 联 系 。（ 2） 方 程 的 解 不 一 定 只 有 一 个 ，有 些 方 程 的 解 有 多 个 ，有 些 方 程 的 解 甚 至 有 无 数 个 ，但 是也 有 方 程 无 解 。知 识 点 二 等 式 的 性 质列 方 程 表 达实 际 问 题 的一 般 步 骤第 一
4、步 ： 分 析 问 题 ， 理 解 题 意第 二 步 ： 把 问 题 中 的 某 个 未 知 量 设 为 ， 看 成 “已 知 量 ”，并 用 含 的 代 数 式 表 示 其 他 的 未 知 量 ， 同 时 还 要找 出 相 等 关 系第 三 步 ： 根 据 题 意 ， 用 代 数 式 表 示 出 相 等 关 系 ， 即 得 方 程2等 式 的 两 条 性 质 是 等 式 变 形 的 依 据 。等 式 的 性 质 1： 等 式 两 边 都 加 上 （ 或 减 去 ） 同 一 个 数 或 同 一 个 整 式 ， 所 得 结 果 仍 是 等 式 。等 式 的 性 质 2： 等 式 两 边 都 乘
5、（ 或 除 以 ） 同 一 个 不 等 于 0 的 数 ， 所 得 结 果 仍 是 等 式 。【 特 别 提 醒 】 （ 1） 在 等 式 的 性 质 1 中 ， 等 式 两 边 不 能 随 便 加 上 同 一 个 分 式 ， 否 则 有 可 能 出 错 。例 如 ：若 3，则 3 ，就 是 错 的 。 1（ 2） 在 运 用 等 式 的 性 质 2 进 行 等 式 变 形 时 ， 除 数 不 能 等 于 0。例 如 ：若 a b， 则 是 错 误 的 ；m反 过 来 ，若 ， 则 a b 是 正 确 的 。a知 识 点 三 解 一 元 一 次 方 程1. 移 项方 程 中 的 某 些 项 改
6、 变 符 号 后 ， 可 以 从 方 程 的 一 边 移 到 另 一 边 ， 这 样 的 变 形 叫 做 移 项 。移 项 的 依 据 是 等 式 的 性 质 1， 移 项 必 须 改 变 符 号 。2. 解 一 元 一 次 方 程 的 步 骤一 般 地 ， 解 一 元 一 次 方 程 的 步 骤 ： 去 分 母 、 去 括 号 、 移 项 、 合 并 同 类 项 、系 数 化 为 1。以 上 步 骤 不 是 一 成 不 变 的 ， 在 解 方 程 时 要 根 据 方 程 的 特 点 灵 活 运 用 这 些 步 骤 。注 意 ： （1）去 分 母 ，就 是 方 程 两 边 同 乘 各 分 母
7、的 最 小 公 倍 数 ；（2）去 分 母 时 ，注 意 不 要 漏 乘 不 带 分 母 的 项 ；（3）带 分 数 先 化 为 假 分 数 后 再 去 分 母 ；（4）分 数 线 既 具 有 除 号 的 作 用 ，又 具 有 括 号 的 作 用 ，当 分 子 是 多 项 式 时 ，去 分 母 后 ，原 先 的 括 号 要 补 上 ；（5）移 项 时 特 别 要 注 意 改 变 符 号 。4.3 用 一 元 一 次 方 程 解 决 问 题知 识 点 一 用 一 元 一 次 方 程 解 决 问 题 的 一 般 步 骤（ 1） 弄 清 题 意 和 题 目 中 的 已 知 量 、 未 知 量 、 用
8、 字 母 表 示 题 目 中 的 一 个 适 当 的 未 知 量 ；（ 2） 找 出 能 够 表 示 应 用 题 全 部 含 义 的 一 个 相 等 关 系 ；（ 3） 根 据 这 个 相 等 关 系 列 出 方 程 ；（ 4） 解 这 个 方 程 ， 求 出 未 知 数 的 值 ；（ 5） 写 出 答 案 （ 包 括 单 位 名 称 ） 。【 领 悟 整 合 】 （ 1） 解 答 应 用 题 的 过 程 就 是 把 实 际 问 题 抽 象 成 数 学 问 题 并 进 行 求 解 的 过 程 ， 如 何3挖 掘 问 题 中 的 相 等 关 系 是 关 键 。（ 2） 未 知 数 的 设 法 有
9、 多 种 ， 有 直 接 设 法 和 间 接 设 法 。知 识 点 二 列 一 元 一 次 方 程 解 决 实 际 问 题 的 常 见 类 型（ 1） 利 息 问 题 ： 本 金 利 率 期 数 利 息 （ 未 扣 税 ） ； 本 息 和 本 金 利 息 。（ 2） 利 润 问 题 ： 利 润 率 利 润 进 价 ； 利 润 售 价 进 价 ； 售 价 进 价 （ 1 利 润 率 ） 。（ 3） 行 程 问 题 中 最 基 本 的 等 量 关 系 ： 路 程 时 间 速 度 。（ 4） 工 程 问 题 ： 工 作 量 工 作 时 间 工 作 效 率 ；总 工 作 的 量 各 部 分 工 作 量
10、 的 和 。（ 5） 数 字 问 题 ： 熟 悉 两 位 数 和 三 位 数 的 表 达 方 式 ， 百 位 上 的 数 字 100 十 位 上 的 数 字 10个 位 上 的 数 字 。 数 字 问 题 常 常 设 间 接 未 知 数 。4附 ：追 及 问 题 等 量 公 式 ： 路 程 速 度 时 间等 量 关 系 ：同 时 不 同 地 出 发 ： 慢 者 所 走 路 程 起 始 时 两 者 的 距 离 追 者 所 走 路 程同 地 不 同 时 出 发 ： 慢 者 所 走 路 程 追 者 所 走 路 程环 形 道 路 ： 同 时 同 地 同 向 出 发 ：追 者 所 走 的 路 程 慢 者 所 走 路 程 一 圈 路 程 n（ n 表 示 第 n 圈 追 上 ）注 意 ： 一 般 情 况 下 ， 行 程 问 题 中 找 出 的 等 量 关 系 是 路 程 相 等 。
