1、,第六章 简单的超静定问题,材料力学,6-1 超静定问题,约束反力可由静力平衡方程全部求得,静定结构：,约束反力不能全部由平衡方程求得,超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高,超静定次数：,约束反力多于独立平衡方程的数,独立平衡方程数：,平面任意力系：3个平衡方程,平面共点力系：2个平衡方程,平面平行力系：2个平衡方程,共线力系：1个平衡方程,变形图精确画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,一、小变形放大图与位移的求法。,6-2 拉压超静定问题,AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
2、,解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象,2、根据胡克定律计算杆的变形。,斜杆伸长,水平杆缩短,例1,3、节点A的位移（以切代弧）,图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移B。,例2,B1,1、列出独立的平衡方程,超静定结构的求解方法：,2、变形几何关系,3、物理关系,4、补充方程,5、求解方程组得,二、拉压超静定问题解法,平衡方程； 几何方程变形协调方程； 物理方程弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,拉压,超静定问题的方法步骤：,例题3,变形协调
3、关系:,物理关系:,代入数据，得,根据角钢许用应力，确定F,根据木柱许用应力，确定F,许可载荷,例4,AB为刚性梁，1、2两杆的横截面面积相等。求1、2两杆的内力。,解,由平衡方程得,3P-2N2cosa-N10,由变形协调条件得,由物理关系,3P-2N2cosa-N10,最后解得,列静力平衡方程,变形协调方程,图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2，ACE=400mm2，其许用应力=170MPa，试校核钢杆的强度。,3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2
4、，若F=30kN，试计算各杆的应力。,列出平衡方程：,即：,列出变形几何关系,例题6,即：,列出变形几何关系,将A点的位移分量向各杆投影.得,变形关系为,代入物理关系,整理得,联立，解得：,（压）,（拉）,（拉）,二、装配应力,由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，称装配应力。装配应力仅存在于静不定结构中。,例7,吊桥链条的一节由三根长为 l 的钢杆组成。截面积相同，材料相同，中间一节短于名义长度。加工误差为d=l/2000，求装配应力。,三、温度应力工作在温度变化范围较大的构件，由于温度变化而引起杆件内的应力，称温度应力。温度应力也仅存在于静不定结构中。 发电机输热管道 化工管道
5、桥梁 裸露的输气管及水管,由平衡方程得,RA RB,由温度引起的伸长为,DlT aDTl,由于基座的约束，AB杆其实并无伸长,DlT Dls,温度应力的解法,可解得,碳钢的温度应力,碳钢的a=12.5x10-6/C，E=200GPa。sT = E aDT =12.5x10-6x200x103DT=2.5DT (MPa)当DT80 C时， sT高达200MPa，而低碳钢的ss仅235MPa，许用应力s通常仅120MPa 。所以应力是非常大的。,伸缩节,波纹管伸缩节,伸缩缝,火车钢轨伸缩缝,梳状伸缩缝,叠合伸缩缝,拉压,a,a,例8 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积
6、分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=200GPa),、几何方程：,解：、平衡方程：,、物理方程,解平衡方程和补充方程，得:,、补充方程,、温度应力,拉压,扭转,6-3、扭转超静定问题,解扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得到；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,材料力学,例题9 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G, 试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大切应力。,解：,（1）静力学关系,（2
7、）变形协调条件,扭转的静不定问题,材料力学,（3）物理关系：,（4）代入变形协调方程，得补充方程,（5）补充方程与静力平衡方程联立，解得,材料力学,（6）最大切应力,杆1：,管2：,扭转,例10长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用， 如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固定端的反力偶。,解： 杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,扭转,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,6-4 简单超静定梁,处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程，求全部未知力。,
8、解：建立基本静定系,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构基本静定系。,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,A,B,例11 画梁的剪力图和弯矩图,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,另解,即,得,图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100MPa.试校核该梁的强度.,列静力平衡方程,变形协调方程,试求图示梁的支反力,在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.,结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.,将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。,本章结束,
