数学建模阶梯问题.doc

1、2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果

2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由.赛区组委会评阅前进行编号）：2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1阶梯电价问题摘要阶梯问题共分为三问：问题一：保证 80%的居民家庭电价平稳。对北京市进行研究，通过查找相关信息现在居民用电即为

3、 2760 度，而当阶梯电价改革后，草案一即以 80%的居民用电量为第一档的标准电价，草案二的用电标准高于草案一第一档的用电量。所以，能够保证 80%的居民用电平衡。问题二：评判一个好电价。我们用五个因素进行论证：一.与现在相比，阶梯电价对居民的用电支出影响大小。 以北京市的阶梯电价进行研究，我们通过对现在的电价标准与阶梯电价进行比较得出表格。利用excel画出饼图。同时我们利用一家庭进行举例说明，得出结论。二.阶梯电价与地区经济发展的关系。通过利用 GDP，恩格尔系数作为经济水平的指标。利用 EXCEL 画出电量与两指标和年份的曲线图，同时利用 SPSS 的 Bivariate 过程用电量和

4、两个指标进行相关性检验 ，得出阶梯电价与地区经济发展水平成正相关。 三. 同一地区不同方案进行比较。我们通过两个方面进行分析，一个就是通过居民的角度进行分析，同时我们从环境的角度从北京市两草案进行比较，从而分析两草案在不同的角度的差别。其中从居民的角度考虑，方案一更符合民意，从环境的角度我们通过高收入家庭与低收入家庭的对比，从而更加证明方案二的正确性。四分析目前的草案可以延续实行多长时间 。我们建立两个模型进行探讨其问题。我们以北京市为研究对象，通过查找相关信息，得出北京市近年的居民生活总用电，画出表。通过利用SPSS模拟出随时间变化的北京市用电量的函数。方案一：维持所需要的时间即为在方案二达

5、到83%所需要的时间。则通过比例关系计算出达到83%时的居民用电量，之后利用利用函数代入达到83%时的居民用电量，可得时间。模型二：是把平均用电量作为达到80%的居民用电量，通过利用MATLAB模拟出今年北京市人口。求出函数。通过居民用电量的函数和人口的函数进行作比可得出北京市平均用电量的函数，代入平均用电量为2880度，可得出时间。五阶梯电价对于中等收入的用户个人经济影响。以四川省仁寿县为研究对象进行讨论，通过利用最小二乘法得出线形回归模型，应用 F 检验来分析假设显著。问题三：建议与评价。我们通过两个因素进行分析。1.用电量分档不能照顾家庭差距。 2.阶梯式电价不能完全体现公平性原则。通过

6、提出意见，得出相应的建议。21、问题重述1.1 涉及的材料背景：2012 年 3 月 28 日, 中国国家发展和改革委员会确认, 居民阶梯电价在将今年上半年推出。居民阶梯电价的改革, 体现了资源性产品价格的市场化改革的方向, 体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。 居民阶梯电价的草案已于去年拟定，并进行了公示以广泛征求社会意见。在公示过程中草案为应对新一轮物价上涨做了进一步调整。政府要求各地可结合各自情况进行抉择一到三档的标准。 我国居民用电中, 大约 5%的高收入家庭消耗了 24%左右的居民用电, 10%的高收入家庭消耗 33%的居民用电。阶梯电价在电量分档上做了长期论证

7、, 计划“一档“电价覆盖的 80%的居民家庭, 这档标准的用户电价收费保持平稳, 特别地，对于一定比例的困难群体给予一定的免费电量；对于超出这档标准的电量开始实施“二档“ 和 “三档“的不同电价： “二档“每度电价提高 5 分钱, “三档“提高 3 毛钱。标准的拟定后通过听证会听取群众意见后实行。 1.2问题提出：1. 根据某地居民家庭用电情况并选择附录中相应的草案分析, 该草案的阶梯电价是否能保证 80%居民家庭的电价保持平稳? 2. 怎样的电价才是一个“好“的电价, 如何评判? 具体地讲, 你可以讨论(但不限于)下面的问题: 与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价? 这

8、些政策和地区的经济发展水平有何相关关系? 同一地区的不同草案哪一个更好? 随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间? 3. 针对目前各省市的阶梯电价, 你有何完善的建议或者意见? 二、问题分析阶梯问题共分为三问：问题一：保证 80%的居民家庭电价平稳。对北京市进行研究，通过查找相关信息现在居民用电即为 2760 度，而当阶梯电价改革后，即以 80%的居民用电量为第一档的标准电价。所以，能够保证 80%的居民用电平衡。问题二：评判一个好电价。我们用五个因素进行论证：一.与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价? 以北京市的

9、阶梯电价的两个方案进行研究，我们通过对现在的电价标准与阶梯电价进行比较得出表格。利用excel画出饼图。同时我们利用一家庭进行举例说明，得出结论。二.这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系?衡量地区的经济水平指标通过上网查询由三大指标，我们通过利用GDP，恩格尔系数作为经济水平的指标。利用EXCEL画出曲线图，通过曲线图建立电量与经济发展的关系。同时利用SPSS的Bivariate过程用电量和两个指标进行相关性检验。 3三. 同一地区的不同草案哪一个更好? 我们通过两个方面进行分析，一个就是通过居民的角度进行分析，同时我们从环境的角度从北京市两草案进行比较，从而分析两草案在不同的角度的差别。

10、其中从环境的角度我们通过高收入家庭与低收入家庭的对比，从而更加证明方案二的正确性。四.随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间? 我们建立两个模型进行探讨其问题。我们以北京市为研究对象，通过查找相关信息，得出北京市近年的居民生活总用电。通过利用 SPSS模拟出随时间变化的北京市用电量的函数。维持所需要的时间即为在方案二达到 83%所需要的时间。则通过比例关系计算出达到 83%时的居民用电量，之后利用利用函数代入达到 83%时的居民用电量，可得时间。模型二是把平均用电量作为达到 80%的居民用电量，通过利用 MATLAB 模拟出今年北京市人

11、口。求出函数。通过居民用电量的函数和人口的函数进行作比可得出北京市平均用电量的函数，代入平均用电量为 2880 度，可得出时间。五阶梯电价对于中等收入的用户个人经济影响。以四川省仁寿县为研究对象进行讨论，通过利用最小二乘法得出现行回归模型，建立模型 Y=a+bX。应用 F 检验来分析假设显著。问题三：建议与评价。我们通过两个因素进行分析。1.用电量分档不能照顾家庭差距。 2.阶梯式电价不能完全体现公平性原则。通过提出意见，得出相应的建议。三、模型假设（1）：中等收入人群年收入即表 1 中年人均纯收入。（2）：中等收入人群总支出占年人均纯收入 72(通过发放问卷及实地进行调查得到的)。（3）：用

12、电量多少会影响电价高低；第四：用电量多少会影响总支出，且两者之间存在一元线性回归关系。（4）：80%的居民用电量用平均用电量进行。四、符号说明（1）a：低收入家庭月用电量。（2）b：高收入家庭月用电量。（3）y：年用电量。（4）M：M=168*108 为 2011 年北京市居民总用电量（5）F：人均用电量。五、模型的建立与求解5.1 保证 80%居民家庭的电价保持平稳由题中可知，我们选择北京作为研究对象，对北京的居民家庭的电价进行统计，并搜集相应信息如下表：月用电量比例项目240 度以下 240 度400 度 400 度以上居民用电 80% 15% 5%4由表中可知，在居民月用电量 240 度

13、以下的约占 80%，在居民月用电量 240400 度的约占 15%，在居民月用电量 400 度以上的占 5%，由题中所给附录中得：第一档 第二档 第三档年用电量 4800 度方案一电价（元/度） 0.4883 0.5383 0.7883年用电量 4800 度方案二电价（元/度） 0.4883 0.5383 0.7883在上表中可知所处第一档是在 2760 度以下，第二档为 27614800 度，而第三档为大于 4800 度。要保证 80%的居民家庭的电价保持平衡，由题中背景可知，第一档的用户电价收费保持平稳，所以由上两个表可知，正好满足：方案一：第一档年用电量为 2760 度，若一年 12 个

14、月计算第一档月用电量为 230度。则正好满足上表 80%人群中人均月用电量为 230 度。方案二：第一档中 2880 度以下，若一年 12 个月计算第一档月用电量为 240 度，而北京市月用电量第一档为小于 230 度所以若按方案二计划将超出 80%的人群在第一档中。有搜集信息可知，若按照方案二进行，则享受基准电价的居民将增加约 18 万户。同时我们根据计算，由搜集信息可得，政府就是根据北京市在本年中的人均年用电量为 2760 进行划分的，则月用电量=2760/12=240 度。所以 该北京市两草案的阶梯电价是能保证 80%居民家庭的电价保持平稳。5.2 评判一个好电价有问题中提示可知，评判一

15、个好电价，可以讨论：一.与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价? 二.这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系? 三. 同一地区的不同草案哪一个更好? 四.随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间? 五.阶梯电价对于中等收入的用户个人经济影响。5.2.1 与现在相比，阶梯电价对居民的用电支出影响大小若以北京市进行研究和探讨对于现在居民用电始终保持以月用电量 0.4883 元为电价，在实行阶梯电价后，如表格所示：分档 电量 电价第一档 不超过 230 度 不变（0.4883 元/度）第二档 231-400 度 每度提高

16、0.05 元（0.5383 元/度）第三档 超过 400 度 每度提高 0.3 元（0.7883 元/度）注：平均调价水平为 0.0225 元/度按方案一测算：580%的居民用户：电费不会增支。15%用电较多的居民用户：月电费增支最多不超过 8.5 元。5%用电最多的居民用户：月用电超过 400 度后，每多用 1 度电，电费多支出 0.3元。分档 电量 电价第一档 不超过 240 度 不变（0.4883 元/度）第二档 241-400 度 每度提高 0.05 元（0.5383 元/度）第三档 超过 400 度 每度提高 0.3 元（0.7883 元/度）注：平均调价水平为 0.022 元/度。

17、按方案二测算：83%的居民用户：电费不会增支。12%用电较多的居民用户：月电费增支最多不超过 8 元。5%用电最多的居民用户：月用电超过 400 度后，每多用 1 度电，电费多支出 0.3 元。方案一在饼图结果如下：电费不增支, 80%多支出0.05, 15% 多支出0.3, 5%电费不增支多支出0.05多支出0.3方案二在饼图结果如下：83%12%5%电费不增支不增支8元多用1度电，电费多支出0.3元6假设一户家庭共 4 人，年用电量为 4000 度按照目前的电价，年电费为 40000.4883 元/度=1953.2 元按照方案一 年电费为 230120.4883+4000-（23012）0

18、.5383=2015.2 元按照方案二 年电费为 240120.4883+4000-（24012）0.5383=2009.2 元另外,月用电超过 400 度后，每多用 1 度电，电费将多支出 0.3 元。这次全国非居民销售电价每千瓦时平均提价约分钱，如果按此标准调整居民电价，所有居民家庭电费支出都将增加，但如果实行阶梯电价，用电量不同的居民用户用电负担有所差异。月用电量在第一档以内的居民家庭，电费支出相对减少；月用电量超过一定数量后，用电量越多，增加电费相对越多。不论是方案一还是方案二，对居民来讲影响都不太大。如实行方案一，北京可同全国其他城市“统一步伐”，有利于阶梯电价机制尽快形成。如今能源

19、压力如此严重，实行阶梯电价有必要。5.2.2 阶梯电价与地区经济发展的关系衡量地区经济发展的指标经过查找资料得出有:GDP,恩格尔系数.由附录中的地区通过查找信息,列出了各地区的经济发展指标如图：各地区的经济水平 GDP 数值 地区 北京 上海 天津 重庆 四川 广东GDP 12153.03 15046.45 7521.85 6530.01 14151.28 39482.56恩格尔系数 32.18 35.5 35.33 37.15 41.19 35.27人均电量 230 260 200 200 170 210地区 江西 广西 山东 甘肃 贵州 宁夏GDP 7655.18 7759.16 338

20、96.65 3387.56 3912.68 1353.31恩格尔系数 40.87 41.69 32.9 35.86 40.24 35.32人均电量 150 130 190 140 150 120由上表可画出电量，GDP 随地区变化的曲线图：70501001502002503000 2 4 6 8 10 12 14电量与地区的关系地区电量 系列10500010000150000 5 10 15地区与GDP的关系地区GDP 系列1由 GDP 与地区的图形与电量和地区的图形对比可得，利用 SPSS 程序进行相关分析得：相关性VAR00001 VAR00002Pearson 相关性 1 .503显著性

21、（双侧） .080平方与叉积的和 1.695E9 3050717.885协方差 1.413E8 254226.490VAR00001N 13 13Pearson 相关性 .503 1显著性（双侧） .080平方与叉积的和 3050717.885 21707.692协方差 254226.490 1808.974VAR00002N 13 13电量与 GDP 两两对应的相关系数及其双侧检验的概率 P=0.08，r =0.503所以电量与 GDP 成呈正相关。8010203040500 5 10 15恩格尔系数与地区地区恩格尔系数系列1相关性VAR00004 VAR00005Pearson 相关性 1

22、 -.578*显著性（双侧） .038平方与叉积的和 148.402 -1038.131协方差 12.367 -86.511VAR00004N 13 13Pearson 相关性 -.578* 1显著性（双侧） .038平方与叉积的和 -1038.131 21707.692协方差 -86.511 1808.974VAR00005N 13 13*. 在 0.05 水平（双侧）上显著相关。电量与 GDP 两两对应的相关系数及其双侧检验的概率 P=-0.038，r =-0.578所以恩格尔系数与电量呈负相关。由图中的地区与电量，恩格尔系数，GDP 的关系知：电量与地区的，GDP 呈正相关，而与地区的恩

23、格尔系数呈负相关。通过对以上 13 个城市通过恩格尔系数，GDP 进行其经济水平的计算可知第一档的用电范围与地区的经济发展有关，经济发展越好的地区其第一档的电价越高。我 国 目 前 较 低 的 居 民 电 价 主 要 通 过 提 高 工 商 业 用 电 价 格 分 摊 成 本 实 现 的 。 他 认为 ， 如 果 不 逐 步 理 顺 电 价 ， 长 期 下 去 ， 既 加 重 工 业 和 商 业 企 业 的 用 电 负 担 ， 影 响 我国 的 经 济 竞 争 力 ， 又 导 致 经 济 条 件 好 、 用 电 越 多 的 家 庭 补 贴 越 多 ， 经 济 条 件 差 、 用电 较 少 的

24、家 庭 补 贴 越 少 的 不 合 理 分 配 。 这 种 暗 贴 是 不 合 理 ， 不 公 平 的 。 也 有 分 析 认为 ， 近 期 经 济 复 苏 而 PPI、 CPI 尚 处 低 位 ， 是 推 进 资 源 产 品 价 格 改 革 的 合 适 时 间 窗口 。 目 前 较 低 的 价 格 指 数 水 平 给 资 源 产 品 提 价 留 下 了 空 间 。 良 好 的 经 济 增 长 形 势 和较 低 的 通 胀 压 力 ， 无 疑 是 推 进 资 源 价 格 改 革 的 好 时 机 。5.2.3 同一地区不同方案进行比较对于同一地区的不同方案的好坏，我们可以从两个因素进行讨论，第一

25、：在居民的角度考虑问题；在环境的角度考虑问题。两种因素我们都从从北京市的两种方案入9手：在居民的角度考虑问题：北京“方案一”规定的首档电量为年用电 2760 度以下。据北京市发改委的数据显示，2011 年，北京市执行居民电价的用户 616.24 万户，居民用电量 168 亿度，计算可知，去年北京平均每户用电量在 2720 度左右。对于方案一来说年用电量小于 2760 度为第一档，方案二年用电量小于 2880 度。对于第二档和第三档，方案一和方案二大致相同。从居民的角度来看，当然第一档的电量越高越好，这样居民的用电范围就可以扩大，从上述叙述中可知对于第一档与往常电价相同，而第二档与第三档却使居民

26、的用电电总费用上涨。由于家庭人口数处于变动中，把人口数考虑进来会比较复杂，执行起来有困难。尤其对于一些低收入家庭往往是好几代住在一起，虽然人均用电量有限，但整体用电量较大，实行阶梯电价有可能造成低收入家庭人均用电成本升高。这样方案二更适合于他们。从环境的角度考虑问题：对于环境的角度考虑，用电需要用煤进行发电，提供居民用电，这样使环境遭到了破坏，当 1 度电进入高收入家庭，或许它会被用于豪华吊灯（豪华吊灯的功率在400W 左右） ，那么它只能持续 2.5h；或许它会被用于烤箱烤制精致的食品（烤箱功率在 3kW 左右） ，那么它只能持续 20min；或许它会被用于家用中央空调（这样的空调功率在 6

27、kW 左右） ，那么它只能持续 10min然而，这 1 度电进入低收入家庭，却是全然不同的一副景象：或许它会被用于日光灯的照明（日光灯的功率在 20W 左右） ，那么它可以持续 50h；或许它会被用于抽油烟机的日常煮饭中（抽油烟机的功率在 180W左右） ，那么它可以用接近 6 个 h；或许它会被用于家用电扇的送凉中（电扇的功率在80W 左右） ，那么它可以用 7.5 个 h对应来看，这是多么惊人的差别啊！所以尽量减少居民用电的方案可以使环境的治理更好。在北京市的两个方案中:在这里，假设低收入家庭月用电量为 a，a 230 或 240 度，那么他们所要缴纳的电费为 0.4883a.这样的用电量

28、保证了他们日常的生活质量，同时也不会对他们造成过大的经济影响。同样，假设高收入家庭月用电量为 b，b230 或 240 度，那么他们所要缴纳的电费为 0.5383 (b-230（或 240）)+ 0.4883230（或 240），这样的收费在经济层面上促使他们停止不必要的电浪费，从而达到了我们“绿色消费”的目的。让我们直观的看一下他们在电资源上的消费情况：低收入家庭 高收入家庭用电量/度 a230 或 240 b230 或 240所缴电费/元 0.4883a 0.5383 (b-230（或240）)+ 0.4883230（或240）对于方案一来说年用电量小于 2760 度为第一档，方案二年用电

29、量小于 2880 度。对于第二档和第三档，方案一和方案二大致相同，所以当用电量小于 2760 度时，对环10境的影响最小，对于低用电量的居民来说其变化很小，但对于那些高用电的居民来说和以往相比费用自然增加，这样就使这些高用电量的家庭更加珍惜用电，从而使环境更加环保，用电更加珍惜。由此一些电资源被节约下来，我们将数学用在电力的销售中，从而鼓励了居民们对电力的“绿色消费”。更有意义的是，这一部分被节约出来的成本，可以用来制造生产并普及更低能耗的民用和工用设备，促进了生产力的发展，更促进了我们的绿色生活。5.2.4 分析目前的草案可以延续实行多长时间以北京市为研究对象进行探讨和研究。 按照规定，月日

30、起施行阶梯电价新规后，前面几个月，大部分居民用电量不会超出第一档规定，与过去每月千瓦时的“起步档”相比，电费将普遍下降，但越往后，随着半年千瓦时指标逐渐用完，不少居民用电量将逐步进入第二档或第三档阶梯用电量范围，特别是到年底冬季用电高峰，居民的电费支出将会大幅增加。按照根据电力部门绘制的年度费用增减情况表，年用电量在千瓦时以内的，年度电费支出不变；年用电量在千瓦时至千瓦时之间的，年度电费支出减少量呈逐步增加趋势，达到千瓦时时年电费支出减少的钱最多达元；年用电量千瓦时至千瓦时之间，年度电费支出减少量逐步缩小，至千瓦时时，正好处于新旧政策的平衡点，年度电费支出不变，超过千瓦时时，年度电费支出将会逐

31、步增多。为了验证草案可以延续实行多长时间，我们以北京市市委研究对象，通过查找相关信息，得出北京市近年的居民生活总用电，列表如图得：年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987用电量(度)21267 24395 24465 30078 38199 48858 58570年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994用电量(度) 75434 84383 94924 110745 126238 145018 165791年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001用电量(度) 181022 217551 2646

32、59 294045 356576 476475 539314年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008用电量(度) 626042 702921 805335 889210 958731 1066759 1163091由上图居民用电量与你年份的关系可以利用 EXCEL 得出关于图标的的离散图：11有离散图可知，该图所形成的曲线与指数函数相类似，所以可以用 SPSS 对散点图来拟合得：模型汇总和参数估计值因变量:VAR00002模型汇总 参数估计值方程R 方 F df1 df2 Sig. 常数 b1 b2二次 .844 14ktbeay0.2571 26 .000

33、-3.941E7 .000 9.992指数 .994 4638.782 1 26 .000 1.903E-129 .155Logistic .994 4638.782 1 26 .000 5.254E128 .857自变量为 VAR00001。利用 SPSS 分别对指数函数，二次函数，Logistic 进行拟合的其拟合性指标的：12其中指数函数，Logistic，的 R 方值最大则说明拟合程度最好。我们选取指数函数作为年份与用电量的模型：设 ktbeay由 SPSS 中拟合的数据得： t15.0129*9.1模型一：因为在北京的阶梯电价的两个草案标准中，第一档的用电范围要达到80%，所以根据以

34、上函数可知： %830XMM=168*108 为 2011 年北京市居民总用电量，可求出 X=174.3*108 度电。当 y=174.3*108 时：T=2016即：当时间为2016年时，需要提高第一档的电价。故可持续至2016年为止。模型二：利用 MATLAB 进行运算，程序为：X=1948 1949 1958 1960 1970 1978 1988 1990 1998 2004 2008 2009;Y=203 420 660 740 784 872 1061 1086 1246 1493 1695 1972;A=polyfit(X,Y,3);Z=polyval(A,X); plot(X,

35、Y,k+,X,Z,r)A得出方程的图形为一次函数图形，如图：得出方程为：13则该方程即为年份和北京市人口的关系。则列出方程：F= py人 数电 量人 均 用 电 量由公式得出：5231.0.1*9.09teFt当人均达到用电 240 度时，即 F=240 时：T=2017即当时间为 2017 年时，草案需要修改。所以应用时间长的电价才是好电价。5.2.5 阶梯电价对于中等收入的用户个人经济影响以四川省仁寿县为研究对象进行讨论知：从目前国家发改委所公布的阶梯电价改革征求方案，分为每月超过 110 度与 140度将涨价两种方案，结合视高镇居民用电的实际情况，假定以第一种方案为标准，考虑电费(用电量

36、)在中等收入人群总支出中所占比例分析阶梯电价改革对其经济利益的影晌。通过建立回归模型，采用最小二乘法计算模型参数并进行检验，得出结论。建立模型：Y=a+bXxbynyaxnb22计算得 a=1417 b=12.62因此回归方程为：Y=1417+12.62X根据计算出来的模型方程，每增加一个单位用电数量，其总支出会增加 12.62 元。模型方程的检验：将回归方程离差平方和同剩余离差平方和加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著。检验的具体步骤如下：提出假设线形关系不显著。即 H 0： 计算检验统计量 F54362.92/)(1nyc确定显著性水平以及临界值 F。设 =0.05，f 1

37、=1，f 2=n-2=3，查 F 分布得临界值：F0.05（1，3）=5.99做出判断。由于 F=92.54362F 0.05（1，3）=5.99，所以拒绝原假设 H0 ，表明回归效果显著。144 得出结论通过以上计算我们可以看出，用电量的多少会增加中等收入人群的总支出，虽然增加的幅度不大，但是如果按照第一种方案，中等收入人群适用第二档，即超出部分电价上涨幅度不低于 O05 元，即最低限 O05 元，则每个月需要多支出电开支 005100=5 元，一年则需最少多支出 512=60。年份 X（用电量，单位度） Y（总支出，单位元）2005 167 2334.962006 175 2569.682

38、007 207 2874.962008 198 3309.122009 222 3744.72高镇中等收入人群总支出及用电量满足大众居民的经济水平，使居民的电价尽量保持平稳的电价才是好电价5.3 建 议 和 意 见一用电量分档不能照顾家庭差距对于人口较多的数世同堂家庭，用电量分档如何体现公平？对此，国家发改委价格司司长曹长庆称,以家庭为单位和按家庭人口数确定电量基数各有优劣。按人口数量确定,好处是比较公平；缺点是会使用电分档情况变得十分复杂,大大增加操作成本和管理成本。尤其是家庭人口数量是经常变化的,甄别难度很大。按家庭为单位确定,优点是操作比较简单；缺点是无法考虑家庭人口数量不同导致的用电差

39、异,以及一家多个房屋产权、多个电表的情况。因此,发改委建议以家庭为基础确定电量分档,对于超过正常人口数较多的家庭,由各地在确定具体实施方案时采取特殊措施灵活处理,如规定超过一定人口数量的家庭,经一定程序批准后可以申请加装电表或者增加用电基数等。二.阶梯式电价不能完全体现公平性原则阶 梯 式 递 增 电 价 是 通 过 消 耗 电 量 越 多 ， 电 价 越 贵 来 体 现 社 会 的 公 平 性 原 则 ， 在实 际 实 施 中 却 发 生 了 偏 离 为 了 鼓 励 节 约 用 电 和 保 证 社 会 所 有 成 员 都 能 获 得 基 本 生 活要 素 的 权 利 ， 政 府 实 行 了

40、对 阶 梯 电 价 中 的 初 始 段 电 价 制 定 较 低 的 价 格 ， 给 予 适 当 的补 贴 在 一 个 三 梯 段 电 价 体 系 中 ， 如 果 一 个 家 庭 要 得 到 全 部 补 贴 ， 就 必 须 用 完起 始 梯 段 的 全 部 电 量 对 于 那 些 耗 电 量 低 的 用 户 ， 如 果 用 电 量 在 起 始 分 段 范 围 内 ，用 电 越 少 ， 获 得 的 补 贴 就 越 少 与 此 相 反 ， 那 些 高 耗 电 量 的 用 户 用 电 量 往 往 超 过 了初 始 分 段 的 电 量 ， 他 们 却 获 得 了 初 始 分 段 电 量 的 全 部 补

41、贴 ， 这 对 低 耗 电 量 节 约 用 电的 用 户 显 然 是 不 公 平 的 ， 偏 离 了 公 平 性 原 则 。采 用 带 补 贴 的 阶 梯 式 递 增 电 价 制 度 可 以 有 效 弥 补 这 些 不 足 ， 发 挥 阶 梯 式 电 价 的优 势 带 补 贴 的 阶 梯 式 递 增 电 价 是 对 阶 梯 式 递 增 电 价 的 改 进 ， 它 分 为 两 个 梯 段 ： 第 一梯 段 为 非 奢 侈 型 用 电 （ 基 本 生 活 需 求 用 电 和 正 常 家 庭 生 活 用 电 ） ， 这 一 梯 段 价 格 按照 边 际 成 本 确 定 电 价 ， 然 后 对 所 有

42、 用 户 采 取 固 定 的 补 贴 ； 第 二 梯 段 仍 然 为 奢 侈 型 用电 ， 由 政 府 根 据 实 际 情 况 来 制 定 较 高 的 电 价 。15六、模型的评价与推广6.1 模型的评价本题主要运用统计学的相关知识建立数学模型，进而解出各个问题，并利用附表中的数据对模型进行检验以及求解参数，结果表明得到的公式精确度足够高，可以应用于实际。模型原理简单明了，在计算复杂积分时借助 Matlab 软件和 SPSS 软件，提高了计算效率。题目中附录给出了 24 个省居民阶梯电价的方案，本题是以北京为例来进行求解的，其他各省市的计算方法类似，可将解题中的模型应用到其求解过程中。但由于各

43、个地区气候的不同，不同省市运用此模型将有误差，这一点在实际应用中应加以考虑。模型建立时忽略了总人数变化等因素，在实际中时建议统计出这些值，从而进一步提高模型的精度。6.2 模型的推广推 行 阶 梯 式 递 增 电 价 的 根 本 目 的 在 于 促 进 用 户 合 理 用 电 ,引 导 和 鼓 励 用 户 节约 能 源 。 中 国 资 源 产 品 价 格 严 重 偏 低 ， 是 造 成 加 工 业 经 营 粗 放 、 浪 费 严 重 的 重 要 原因 之 一 。 因 此 ， 资 源 产 品 价 格 充 分 地 反 映 资 源 的 稀 缺 程 度 、 供 求 关 系 和 环 境 成 本 ，是 转

44、 变 发 展 方 式 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 的 必 然 途 径 。 所 以 ,此 模 型 可 以 运 用到 节 约 能 源 资 源 方 面 ,可 继 续 优 化 销 售 电 价 分 类 结 构 ,减 少 交 叉 补 贴 , 引 导 用 户 合理 用 电 ,建 立 有 利 于 节 能 减 排 的 电 价 体 系 . 参考文献1沈恒范 概率论与数理统计教程 高等教育出版社 2011 年2姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)， 出版地：高等教育出版社，2003.8。3姜启源，张立平，何青，高立，数学实验(第二版)，出版地：高等教育出版社，2010.7。4 袁振东，蒋鲁敏

45、，束金龙，数学建模简明教程，出版地：华东师范大学出版社，2009.4附录假如某城市实施的居民阶梯电价方案是：第一档电量为 150 度以内，不提价；第二档电量为 150-270 度，每度电加价 5 分钱；第三档电量为 270 度以上，每度电加价 0.3元。那么，不同用电量居民电费变化情况为：不实行阶梯电价 若执行阶梯电价16第一档：若某家庭月用电量为 150 度，不实行阶梯电价时，每度电平均提高 3分钱，每月电费将增加 4.5 元；若执行阶梯电价，则电费不增加；第二档：若某家庭月用电量为 270 度，不实行阶梯电价时，每度电平均提高 3分钱，每月电费将增加 8.1 元；若执行阶梯电价，只对 150 度到 270 度之间每度电提高 5 分钱，电费增加 6 元，相对减少电费 2.1 元。第三档：若某家庭月用电量为 350 度，不实行阶梯电价时，每度电平均提高 3分钱，每月电费将增加 10.5 元；若执行阶梯电价，对 150 度到 270 度之间每度电提高 5 分钱、270 度到 350 度之间每度电提高 3 毛钱，电费增加 30 元，相对增加电费 19.5 元。此外，由于对城乡低保户、农村五保户设置每月 10 度或者 15 度免费电量，每年每户还可减少电费支出 60 元至 90 元。