1、1数 理统 计习 题答 案 第 一章1.解 ： ( ) ( )( )( )( )( )( )1 2 252 1 12 2 2 2 2192941031051061001 110059210094100103100105100106100534niini ii iXxS xx xn= =+= = =+ = 2.解 ：子 样平 均数*11l iiiXmxn=( )18340610262604=+=子 样方 差 ( )22 *11l i iiS mxxn= () () () ( )2 2 2 218144034106422646018.7 =+ =子 样标 准差 24.32SS=3.解 ：因 为 i
2、i xayc=所 以i ixacy=+11niix xn=( )1 111n ii niiacynnacyn=+ =+ 1niicaynacy=+=+所 以 xacy=+成 立( )22 11nx iis xxn=( )( )( ) 221 22111n iiiniiniiacyacycycyncyyn=+= = 因 为 ( )22 11ny iis yyn= 所 以22x yscs= 成 立2()() () ()()1 72181203.2147.211.2e nne nMXXRXXMXX+=4.解 ：变 换 2000i iyx=i 1 2 3 4 5 6 7 8 9ix1931697302
3、420290185202310iy-61-3010342 2090-1852031011niiy yn=( )16130103422090185203109240.4=+=( )22 11ny iis yyn=( )( )( )( )( )( )( )( )( )2 2 22 2 22 2 2161240.430240.4103240.4942240.40240.490240.4185240.420240.4310240.4197032.47= + + + + + + + + =利 用 3题 的结 果可 知220 240.4197032.47xyx yss=+=5.解 ：变 换 ( )1080
4、i iy x=i 1234567891011213ix79.880.480.280.480.380.380.479.780.580.380.280. 80.2iy-2424334-353202131 1113ni ii iy y yn= = 1242434353202132.0=+=2( )22 11ny iis yyn=( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 2 22 2122.00322.0052.00342.0013332.0032.005.3077= + + =利 用 3题 的结 果可 知22 48080.210 5.30710100yx yxss =+= = 6.解 ：变 换
5、 ( )1027i iyx=*ix 23.5 26.1 28. 30.4iy -35 -9 12 34im 2 3 4 111l iiiy myn=( )1352931243410.5=+=2710yx=+=26.85( )22 11ly i iis myyn= ( ) ( ) ( )( )2 2 2 212351.5391.54121.5341.5104.25 =+ =2 214.02510x ys s=7解 ：身高 1541581581621621616170170174174178178182组中值 156 160 164 168 172 176180学生数 10 14 26 28 12
6、 8 2*11l iiix mxn=3( )1156101601416426172121682817681802100166= +=( )22 *11l i iis mxxn= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2110156161416016261641628168161012172168176162180163.4= + +=8解 ：将 子样 值重 新排 列（ 由小 到大 ） -4， -2.1， -2.1， -0.1， -0.1， 0， 0， 1.2， 1.2， 2.01， 2.， 3.2， 3.21()() () ()()1 721812 03.2
7、147.211.2e nne nMXXRXXMXX+=9解 ： 1 21 21 11 2121n ni ji jnxnxx nn= =+= +1 2212nxnxnn+=( )12 221121nniis xxnn+= +10.某 射手 进行 20次 独立 、重 复的 射手 ，击 中靶 子的 环数 如下 表所 示：环数 10 9 8 7 6 5 4频数 2 3 0 9 4 0 2试 写出 子样 的频 数分 布， 再写 出经 验分 布函 数并 作出 其图 形。 解 ： 环数 10 9 8 7 6 5 4频数 2 3 0 9 4 0 2频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1()2
8、00 40.1460.3670.75790.99101 10xxxFx xxx= 6所 以 () 21 122 020 0n yn nY ye ynfy y = （ 2） 因 为 ( )20,iXN 1,2,i n=()0,1iXN所 以 ()2 221nii XnYn=() ()222 22 20nyY nYnyFyPYyP fxdx = () ()22 2 22Y Y nynfyFyf=故 ()22 1222 020 0nn nynnY ye ynfy y = （ 3） 因为 ( )20,iXN 1,2,i n=()1 0,1nii XNn=所 以 ()2 231 1nii XYnn =
9、= () () )223 33 2 10ynY YFyPYyPyf xdxn =() ()()23 3 2 21 1Y Y yfyFyf nn =() )2 21 1 020 0xe xf x x x = 7故 () 23 21 020 0ynY e yfy nyy = （ 4） 因为 ( )20,iXN 1,2,i n=所 以 ()()1 2 2421 0,11niiniiXNXYn = = ()() )() () () 2242 24 44 22 10 221 1yY Y YyFyPYyP f xdxyfyFyf = = 故 () 24 1 020 0yY e yfy y y = 17.解
10、 ：因 为 ()Xtn存 在相 互独 立的 U， V()0,1N ()2Vn使 UXVn=()221U则 221UXVn=由 定义 可知 ()2 1,Fn18解 ：因 为 ( )20,iXN 1,2,i n=()1 0,1nii XNn=()221nmiinXm+=+8所 以 ()1 11 221 1n niii inm nmiiin inXX nY tmXnX m= =+ +=+ =+= =（ 2） 因为 ()0,1iXN 1,2,i nm= +()()221 221niinmiinXnXm=+=+所 以 ()22 112 221 1 ,nin iiinm nmiiin inXXnY Fnm
11、XXm=+ +=+ =+= =19.解 ：用 公式 计算 ()20.01 0.019090290U=+查 表得 0.012.33U=代 入上 式计 算可 得 ()20.01909031.2612.6=+=20.解 ：因 为 ()2Xn 2En= 22Dn=由2分 布的 性质 3可 知 ()0,12XnNn22XncnPXcPnn = 22 2122 2 2lim cnn tn Xncn cnP edtnn n n = = 故 2cnPXc n第 二 章91.00 00, 0() 0, 0() ()1 ( )1 11x xx xxexfx xEx fxxdx xedxxe edxex + + +
12、 + =inxxx则其似然函数 = =ni ii xnni x eeL 11)( = ni ixnL 1l)(ln =ni ixndL 1)(ln xxnni i 11=由题中数据可知 20)652554457035102515015245536(101 =+=x则 05.201=10.解 ： （ 1）由题中子样值及题意知：极差 7.45.12.6=R 查表 2-1得 4299.015=d 故 025.7.4429.0 =（ 2）平均极差 115.0=R，查表知 3249.0110=d 045.15.03249.0 =解：设u为其母体平均数的无偏估计，则应有 x=13又因 4)26610340
13、18(601 =+=x即知 4=12.解： )1,(NX=)(ixE ， 1)(=ixD， )2,1(=i 则 =+= 211 3231)( EXEXE =+= 212 4341)( EXEXE =+=213 2121)( EXEXE所以三个估计量 321, 均为 的无偏估计 9591949194)3132()(2121 =+=+=+= DXDXXXDD同理可得 85)(2=D， 21)(2=D可知3的方差最小也亦 2最有效。13解： )(PX = )(,)( XDXE)(11)(1 22* = =ni i XXnESE )()(11 21 2 XnEXEnni i =)()(111 22=
14、+=ni nn = )(11nn即2*S是 的无偏估计又因为 = = ni ini ini i EXnXEnXnEXE 111 1)(1)1()(即 X也是 的无偏估计。又 1,0 =+=+=+ )1()()1()()1(2*2* SEXESXaE因此 2*)1( SX+ 也是 的无偏估计14.解：由题意： ),(2NX因为 )()()()( 2111 1212 iini iiii XXEXXDCXXECE += += + 14211211 1 )1(20)()( =+= = + nCCXDXDC nini ii要使 22)( =E只需 )1(21+=nC 所以当 )1(21=nC时 2为 2
15、的无偏估计。15.证明：参数 的无偏估计量为 ， D依赖于子样容量 n则 ,0由切比雪夫不等式 0lim =Dn故有 1lim =45为大子样)1()1(222*2 = nsn 由 2分布的性质 3知)1(2)1(2=nnU 近似服从正态分布 )1,0(N所以 =12uUP得22 )1(2)1( unn 或 2222 )1(2 )1()1( unnsnu 可得 2的置信区间为 + 2222 121,121 unsuns28 解： 因 2221 = 未知，故用 T统计量)2(11)(21 += mntmnsYXTw 其中 2)1()1(2212 += mn ssnsw 而 05.0= 2+mn2
16、0查表 144.2)4(025.0 =t计算 625.81=X 125.76=Y695.14521=s ， 554.1012=s ， 625.1232=ws 代入得9237.15.11)2(2 =+ mnsmntYX w故得置信区间 )4237.17,4237.6(29解： 因 2221 = 故用 T统计量 )2(11 )( 21 += mntmnsYXTwBA 其中 2)1()1( 2212 += mn SSnSW= 1)1( *nSntXP 则单侧置信下限为： nSntX *)1(将 6720=X 220*=S 10=n 833.1)9(05.0 =t 带入计算得 471.6592即钢索所
17、能承受平均张力在概率为 %95的置信度下的置信下限为 471.6592。3.解：总体服从（ 0， 1）分布且样本容量 n=10为大子样。令 X为样本均值，由中心极限定理 )1,0(2NnnPXn 又因为 22S=所以 = 1)1(122 nP解得 的单侧置信上限为 )1()1(21 2nSn其中 n=10， S=45， 查表 = )9()1( 295.02 n 3.25代入计算得 的单侧置信上限为 74.035。第三章1.解 :假设 : 26:,26: 10 =HH由于 2.5=已知 ,故用统计量 )1,0(Nnxu=2uuP u的拒绝域 2uu 2.142.52656.27=nxu因显著水平
18、 05.=,则 96.12.1 025.2 = uuu 这时 ,就接受 0H2.解 :(1)已知 ,故 )1,0(0 Nnxu= =2uuP u的拒绝域 2uu2.3101532.50 =nxu 因显著水平 01.0=,则576.22.3 05.2 = uuu 故此时拒绝 0H:5=u(2)检验 8.4=u时犯第二类错误的概率 + = xdennn nx0202 202021 令 nxt0=则上式变为237180.0 17190.09979.0 1)58.0()58.4( )58.0()58.4( 2121 58.458.022 22010 2010 2 += = + dtedte tunun
19、 t 3.解 :假设 25.3:,25.3: 10 = HH用 t检验法拒绝域 )1(2* = ntnsxT 01.0=, 25.3=x查表 6041.4)14(0112.0 =t 0130.0,00017.02* = ss代入计算 )14(344.00112.0tT=故新加工工艺对元件电阻有显著影响 .5.解：用大子样作检验，假设00: =H )1,0(0Nnsxu 近似=拒绝域为2uu由 96.1,05.,162.0,94.0,973.0,20 025.00 = usxn 96.1833.1200162.0021.0 = HH 使用新安眠药睡眠平均时间2.4)4.230.27.26(71
20、=+= x 296.2 )2.244.23()2.247.26(612 222 = +=sss 046.47296.24.30 =nsxt 所以拒绝域为 )1(05.0 ntt查表 tt =x 故认为新安眠药已达到新疗效。10 原假设 乙甲乙甲 ， =: 10 HH )1,0(Nu 22121 近似乙甲 nsnsxx+=解得拒绝域 2uu100n,140n 00.105s,41.120s 2680x,2805x 21 21 21 = = 代入计算 03.810010511041.120125nsnsxx 222212121 =+=+查表 96.1uu025.02 = 因 96.103.8故拒绝
21、原假设即两种枪弹速度有显著差异。 1解：因两种作物产量分别服从正态分布且221=假设 211210 :,: =HH 故统计量 )2(11 2121 += nntnnSYXTw其中 2)1()1( 21 2221 += nn snsnS yxw 拒绝域为 2tT代入计算 063.24=ws 287)18()2( 005.0212 =+ tnnt代入数值 T的观测植为 85.0756.1018.9101101063.2479.2197.30 =+=t因为)18(87.285.0 05.tt =既 )()(:).()(: 10 yExEHyExEH = 而 )(),( yDxD均未知，则)1,0(2
22、2121 Nnsnsyxu+= 由题意易得 2491.0)1( 53.010053,1001137.0)1( 87.0900783,90022211 = = =yys yn xxs xn于是 6466.60511.034.01002491.09001137.0 53.087.022121 =+=+nsnsyx 查表 6466.633.201.0 = 故拒绝 0H，认为母体标准差不正常。16解：由题意熔化时间服从 )40,(N假设 40:,40:2120 = HH)1()1( 22022 = nsn 拒绝域为 2212222 或400,77.404,2522 = sn 代入计算 29.24)1(
23、22=sn查表 56.4)24()1(205.22 =n 89.)24()1( 295.0221 = n 因为 56.429.489. =故拒绝假设 0H，即认为 0（ 2） 未知假设20212020 :%,04.: = HH )1()1( 22022 = nsn 拒绝域为 2212222 或 025.,10,%04.,%037. 22022 = ns查表 7.2)9( 02.19)9(20975.205. = 70.7%04.0037.09)1( 222022 = sn故 )9()9(205.22975.0 故接受 %04.0:0=H19解：甲品种 ),(211NX 乙品种 ),(22NY假
24、设22112210 :,: =HH 而均值未知，则 10,1.2126.7,10)1,1(2122 = = 小大小大 小大小 大 ， nnssssnn nnFssF yx代入计算 601.11.217.2622=F 查表 54.6)9,()1,1( 005.02 = FnnF小大而 )9,(54.6601.1 005.0FF = 故接受 0H，认为产量方差无显著差异。2920 解：甲机床加工产量 ),(211N乙机床加工产量 ),(22N假设 22112210 :,: =HH 21,未知，则 )1,1(22 = 小大小 大 nnFssF2222121 396.0,2164.012,7,8 大小
25、题计算知由 ssssnn = 故 8712=nnnn小 大 代 入 计 算83.12164.0396.0=F查表)7,6(12.5833.1 12.5)7,6()11( 025.0025.02 FF FnnF = =小大 ，故接受 0H，认为两台机床加工精度无显著差异。21解： BA,测定值母体都为正态分布 )(:),(: 2,2211 NYBNXA假设 22112210 :,: =HH 21,未知，则)1,1(22 = 小大小 大 nnFssF 2222121 506.,432.0,7,5 大小 ssssnn =故 5712=nnnn小 大 158.432.0650. =F查表 )4,6(2
26、0.9158.1 9.20)4,6()11( 025.0025.02 FF FnnF = =小大 ，故接受0H，认为方差无显著差异。2 解：由题意（ 1）检验假设 22112210 :,: =HH 由于 22121 , 未知 ， 则)1,1(21221 = nnFssF又 05.0=，可查表得相应的拒绝域为 15.7)5,()1,1(025.0212 = FnnFF由样本计算0000071.0,0000078666.0 1385.0)140.0135.0(61 1407.0)137.0140.0(61 221 = =+= =+= ssyx 由此可得 1079.1221=ssF由于 15.71079.114.0 =F 故接受 2210: =H
