1、惯性效应与塑性铰5.1 波传播与结构整体响应之间的关系加载方式1）准静态加载：加载速度非常缓慢，可以认为在任意时刻结构的任意部分都处于平衡状态；结构的变形、应力、应变的分布，波传播的影响及结构的惯性效应2）动态加载：外载引起的扰动传播到结构的各个部分需要时间，结构的各部分之间是不平衡的结构的变形、应力、应变的分布大多数工程材料中应力波的传播速度很快，因而有限尺度的结构受到动载后将迅速达到平衡，这时应力波的效应就消失了。但结构自身还继续发生变形和整体运动，因而惯性效应还会持续相当长的时间，是不能忽略的。一些典型的结构单元，如梁、拱、板、壳，具有如下特点，它们在一个方向上（厚度方向）上的尺度要远远
2、小于其他方向的尺度（长度、半径等）。而这个小尺度的方向往往又是承受载荷的方向，即结构的主要承载方向。5.1 波传播与结构整体响应之间的关系可能层裂 如下图所示的梁，在横向受到一个冲击载荷作用。此冲击载荷首先在厚度方向引起弹性波和塑性波的传播。由于梁在厚度方向的尺度远远小于其长度方向，很快应力波传播过整个厚度方向并来回反射。若压缩波的应力幅值足够大，遇到自由表面反射形成的拉伸波可能造成层裂失效（尤其容易在抗压强度高、但抗拉强度低的材料如混凝土中发生）。如果应力幅值不足以使材料失效，则在若干微秒的时间内，波被反射、卸载多次，很快使厚度方向的应力趋于均匀的零应力状态，但由于沿厚度方向各不同位置上的物
3、质点都获得了同一向下的速度产生了梁的总体性的动态弯曲变形。这种长期的动态变形行为称为结构的动态响应，一般要持续几毫秒或者更长的时间。5.1 波传播与结构整体响应之间的关系区分 短期效应 和 长期效应短期效应：结构的厚度方向应力波的传播、反射和卸载过程等；长期效应：结构在外载作用下沿长度方向的弯矩或剪力引起整体变形和运动，结构的惯性对长期效应有显著的影响。结构动态变形过程的时间尺度（几毫秒或者更长）比波效应的时间尺度（几微秒）通常大好几个数量级，所以往往可以分别处理，即：在分析波的传播时，可以假定结构构型还没有变化；而研究结构的整体动态响应的时候，可以不再考虑早期的波效应。分析结构的动态响应时，
4、外载可简化为瞬间施加于结构中性面的冲量，因此结构的响应就可以用中性线（对于梁和拱）或者中性面（对于板和壳）的运动和变形来表征。5.2 杆和梁中的惯性力如图，初始状态为静止的结构单元（如一根铰接细杆），在受到动载荷作用的时候会产生加速度。根据达朗贝尔原理或称动静法，该分布的加速度场会在结构中产生分布的惯性力。根据达朗贝尔原理，结构在真实的外载荷、虚拟的惯性力共同作用下处于动态平衡状态。外载荷和惯性力可能在结构中引起弯矩、剪力和轴力等 内力。为了分析和预测结构的行为，要对这些内力进行计算。a F F I = - ma F R 动态“平衡” 5.2 杆和梁中的惯性力梁的符号约定以及基本方程xy)(x
5、q)(xQ)(xMdMM dQQ dxxq )(沿着杆和梁的长度方向为 x方向，垂直 x方向的横向为 y方向。内力分量定义为：位于x处的横截面，其弯矩为 M(x)，其剪力 Q(x)。考虑长度为 dx的一个小微元，上面受到分布横向载荷 q(x)的作用。考虑微元的横向受力平衡条件，有即根据微元的力矩平衡条件，有即定义梁单位长度的密度0)( qdxQdQQqdxdQ 02)()( dxdxqdxdQQMdMMQdxdM )()( 0 xAx 式中 为材料的体积密度； A(x)是位于 x处的横截面面积。05.2 杆和梁中的惯性力作一般运动的杆或梁微元的惯性力 Axxx2Ay Ay A AxPAB)(
6、jy)(ixAy x2x AaAxPaBadxxx A )( 2dxxy A )( dx考虑作一般运动的 AB。设 A点的加速度分离分别为 和 ，梁绕 A点作刚体转动的加速度为 ，角加速度为 。则离 A点距离为 x的 P点加速度矢量为其中 和 分别为 x和 y方向的单位基矢量。对位于 P点处的小微元，由于其加速度产生的惯性力如图，可见惯性力沿着梁的长度 x是变化的。Ax Ay jxyixxa AAP )()( 2 i j5.2 杆和梁中的惯性力例 1 烟囱的倒塌长度为 L的均质烟囱 AB，由密度为 的材料制成。在支撑端 A点发生断裂后倒塌，需要确定烟囱倒塌过程中发生二次断裂的位置。分析问题的基
7、本步骤：1）首先通过运动学分析确定加速度，利用达朗贝尔原理得到惯性力；2）对分布的横向惯性力进行积分得到剪力分布，再次积分得到弯矩分布。3）倒塌过程中弯矩最大值对应的点达到材料的失效弯矩时将发生断裂。BARHLg12/3 L惯性力偶2/ LL 惯性力2/2 LL 烟囱在倒塌过程中，真实的外力有 A端的支持力以及烟囱自身的重力。在二次断裂之前，可以认为烟囱 AB的运动是绕 A点的定轴转动，设转过的角度为 ，则刚体转动角速度为 ，加速度为 。 BARHLg12/3 L惯性力偶2/ LL 惯性力2/2 LL 5.2 杆和梁中的惯性力 xBAdxg dxx 2dxx dxyBA 0AM00BBMQAQ
8、)(xq对 A点利用动量矩定理有由此得到任意角度处的角加速度相应的角速度可以利用初始条件对上式积分得到。烟囱上离 A距离为 x处的横向分布载荷为 231s in2 LLLLg s in23 Lg)s in()( xgxq BARHLg12/3 L惯性力偶2/ LL 惯性力2/2 LL 5.2 杆和梁中的惯性力 xBAdxg dxx 2dxx dxyBA 0AM00BBMQAQ)(xqB端为自由端，剪力应为零。由此得 A端剪力为梁中剪力分布为将加速度代入，整理得对剪力积分可得弯矩分布)2/s in()( 20 LgLdxxqQ LA 2/)()(s i n)()( 220 xLxLgdxxqQx
9、Q xA )3)(s in4)( xLxLLgxQ )2(s i n4)()( 3220 xLxxLLgdxxQxM x 5.2 杆和梁中的惯性力)2(s i n4)()( 3220 xLxxLLgdxxQxM x 剪力分布弯矩分布)3)(s in4)( xLxLLgxQ 弯矩极值处应该对应剪力为零， 。由此得最大弯矩位于 处，这里是二次断裂可能发生的位置。此处的弯矩值为可见 随着烟囱倒塌转角 的增加而增大，当 增加到由材料特性和截面积决定的临界断裂弯矩时，将发生二次断裂。0 QdxdM3/LxLx 或3/Lx s in2713 2m a x gLLMM maxM maxM220 412 Y
10、b hY y d ybM hp 5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.1 刚塑性梁的动态响应理想刚塑性 (rigid-plastic idealization)简化1）材料为理想刚塑性材料，并且与应变率无关。采用理想刚塑性材料假设，不仅忽略弹性变形的影响，而且还忽略塑性变形时的应变硬化效应，即假设 E=， Ep=0。取材料的屈服应力 Y近似等于该过程的平均应变率下的动态屈服应力，而非准静态屈服应力。与应力 -应变曲线中的屈服应力 Y相对应，当梁的某一截面达到塑性极限状态时，其上的弯矩达到 塑性极限弯矩 Mp。对于矩形截面的梁，有其中 b和 h分别为梁的横截面宽度和高度。YY2/h
11、zYOMpOM5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰2）忽略剪力和轴力的影响，因此屈服只取决于弯矩的大小。若 ，则表示材料没有发生塑性变形；若 ，则表示材料已经屈服，对应的曲率 可以无限增大，意味着梁的相应截面可以随意转动，像一个铰一样，称为 塑性铰 。3）与梁的长度相比，假设梁的横向变形是小量，因此几何关系和动量方程建立在未变形的初始构型上。pMM pMM 5.3.1 刚塑性梁的动态响应YOMpOMhYRY R h dRM p 20 4s in2 对于圆管截面的梁，有其中 R和 h分别为管的半径和厚度。5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用如图所
12、示，分析长度为 2L的自由梁 AB，中点受到突加集中载荷 P的作用时，梁的动态响应。根据质心运动定律，自由梁具有均匀加速度：相应地 ，由加速度引起的惯性载荷为对此均匀分布的惯性载荷进行积分，可得梁中的剪力分布。对于左半段梁，利用 A点的边界条件，自由端剪力为零，即 Q(0)=0，由此得出右半段梁同样用 B点的自由端边界条件，即 Q(2L)=0，积分得到此段的剪力分布为)2/(0 LPa )2/( LPaq LxLPxqdxxQ x 0,2)( 0LxLLxPqdxPxQ x 2,21)( 0 A Ba0L LPq(x)PL 2LQP/2P/2xOL 2LOMx再次利用 A、 B的自由端条件，
13、M(0)=M(2L)=0，对剪力分布积分，可以得到梁中的弯矩分布如下：随着 x的增大， M(x)先增大后减小，其最大值发生在梁的中点处，有5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用 LxLxLLPLxxLPdxQxMx2,)2(40,4)(2204/)(m a x PLLMM A Ba0L LPq(x)PL 2LQP/2P/2xOL 2LOMx5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用Aa1 C MpxP/2L/2 L/2CP A B分析冲击载荷 P强度不同的几种情况。1）如果 ，最大弯矩小于塑性极限弯矩，即 ，在这种情况
14、下集中载荷作用点处不会出现塑性屈服，整根梁只能发生刚性位移，而不会发生变形。冲击载荷的作用是使梁产生均匀的加速度使梁作整体平动。2）如果 ，则梁中点处的最大弯矩达到塑性极限弯矩，即 。在这种情况下，中点 处会形成一个塑性铰。LMP P /4PMM m a xLMP P /4PMM m a xLx3）如果 ，显然中点 处会塑性屈服并产生塑性铰，同时左右两个半梁会绕着中点处的塑性铰发生转动。在这种情况下，原来的运动模式发生了改变，需要根据新的运动模式重新进行分析。LxLMP P /4根据对称性，取梁的左半部 AC段分析。根据竖直方向上的动量定理（或称质心运动定理），有12/ LaP 5.3 刚塑性
15、自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用Aa1 C MpxP/2L/2 L/2CP A B对 AC段质心的动量矩定理，有由此得到 AC段的质心加速度，以及刚体的角加速度为由上式可得刚体 AC段上任何一点 x处的加速度，即该段的横向分布载荷为 312122 LMLP P31)4(3,2 LMPLLPa PLxMPLLxPLMLxLaaPP 0,)4(3)6(1221)()( xaxq 5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用利用 A点的自由端边界条件， ，对横向分布载荷积分一次和两次分别得到梁内的剪力和弯矩分布，有在冲击载荷作用点 C
16、处，有 。令 Q(x)=0，可以得到 M在 处取最小值，这里 表示无量纲的载荷强度，定义为 。0)0()0( MQ )4(23)6(1)()(220 PPx MPLLxxPLMLdxxqxQ320 )/)(4(21)/)(6(21)()( LxMPLLxPLMdxxQxMPPx PMLM )(A M (x =0 ) M p (x= L ) min )4(3)6(2/Lx PMPL /极小值小于零，弯矩从 A点单调递增；极小值大于零，弯矩先减小后增大， 先负后正5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用A M (x =0 ) M p (x= L ) min 时
17、 C处出现中心塑性铰；，弯矩单调递增，最小弯矩位于自由端 A点，不会出现第二个塑性铰；，最小弯矩位于 AC段，且为负值，若此负弯矩也达到塑性极限弯矩的水平，则会出现第二个塑性铰，令可得该三次方程有效解为 ，即在 时会产生第二个塑性铰，此时有4)4(3)6(2/Lx极值64 6PMM )4(3)6(20)4(27)6(2 23 9.22 9.22596.0)4(3 )6(2 Lx5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.2 自由梁受到集中载荷作用因此，若冲击载荷很强，达到 的水平，自由梁受中点集中冲击产生的动态变形机构包含三个塑性铰：一个中点塑性铰和两个边塑性铰。1）两个边塑性铰的转动
18、方向与中点塑性铰相反；2）边塑性铰的位置取决于冲击载荷的大小， P越大边塑性铰的位置越接近中点塑性铰。如图为包含三个塑性铰的变形机构示意图。P + M p - M p - M p LMP P /9.22)4(3)6(2/Lx塑性铰位置5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.3 自由梁受中点冲击作用的结论1）若自由梁中点受到集中载荷的冲击作用，自由梁的变形机构取决于冲击载荷 P的大小。(1)PL/Mp4，无塑性变形和塑性铰，自由梁作刚体加速平动；(2)4PL/Mp22.9，载荷作用点处产生一个中点塑性铰；(3) PL/Mp22.9，共产生三个塑性铰，其中载荷作用点处产生一个中点塑性铰
19、，两侧各有一个旋转方向相反的边塑性铰。2）在静态情况下，自由梁并没有承载能力；但是由于惯性效应，自由梁却有承受动态载荷的能力。3）如果在冲击过程中，冲击载荷 P的幅值不是恒定的，而是随时间变化的，那么自由梁的变形机制要发生相应的变化。以上关于自由梁的冲击分析是在 Lee和Symonds在 1952的工作基础上改进得到的，他们在论文中分析了自由梁收到三角形脉冲载荷作用的情形。由于载荷本身随时间变化，动态变形机制始终是同时间相关的。O P t O P t 5.3 刚塑性自由梁在脉冲荷载作用下的塑性铰5.3.3 自由梁受中点冲击作用的结论随着冲击载荷从小到大，再从大到小的过程， Lee和 Symonds给出了如下结论：1）冲击载荷较小的时候，冲击的效果是只产生自由梁的刚体平动；2）随着冲击载荷增加，自由梁在冲击作用下除作刚体平动外，还产生绕中点塑性铰的转动；3）冲击载荷继续增加，达到 水平后，将产生三个塑性铰；4）在此基础上冲击载荷幅值继续增加，两个边塑性铰将向中点塑性铰靠拢；5）冲击载荷达到峰值后开始逐渐降低，这时两个边塑性铰将逐渐远离中点塑性铰；6）当边塑性铰处的相对角速度 降 为零时，边塑性铰处不再转动，也就是边塑性铰消失；7）当中点塑性铰处的相对角速度降低为零的时候，中点塑性铰也消失。LMP P /9.22
