1、2012级高等数学 补充题 参考解答习题 8-15（ 补充题 1） 、 从点 A(2,1,7)沿向量 8912aijk=+方向取长为 34的线段 AB， 求点 B的坐标。 解 设点 B的坐标为 ( ),xyz，则 ( )2,1,7ABxyz=+ ，且 ABa= ，即28, 19, 712x y z =+=又由已知 34AB= ， 2 2 2(8)(9)(12)34+=，解得 2=所以点 B的坐标为 ( )18,17,17习题 8-25（ 补充题 2） 、 设 (3,5,2)(2,14)a b= , ， 问 与 有怎样的关系能使 ab+与 z轴垂直？解： ( )32,5,24ab+=+ ，在 z
2、轴上取单位向量 ( )0,1k= ，由已知 ab+与 z轴垂直，所以 ( ) 0abk+=即 ( ) ( ) ( )3205 02410 +=240 2 += =， 即 能使 ab+与 z轴垂直习题 8-44（补充题）求曲线2232330, 10xzyzxz yz+=+=在 zox平面上的投影方程。解 由 223233010xzyzxzyz+= 消去 y，得到母线平行于 y轴的投影柱面方程：2 24 30xzx+=从而所求投影曲线方程为 2 24 300xzxy+=5（ 补 充 题 ） 已 知 空 间 曲 线 C：2 2 222241xyzxyz+=+= ， 求 以 C为 准 线 而 母 线
3、平 行 于 y轴 的柱面方程； 求出 C在 xoy面上的投影方程。解 由2 2 222241xyzxyz+=+= 消去 y得： 1622 =+zx 即为所求柱面方程 由 2 2 222241xyzxyz+=+= 消去 z得到投影柱面方程： 16522 =+yx从而所求投影曲线方程为 =+016522z yx习题 8-56（ 补充题 ） 求通过点 P(2,1,1)， Q(1,2,3)且垂直于平面 23560xyz+=的平面方程 。解 设所求平面的法向量为 n，由已知 ( ) ( )11,3,4, 2,3,5nPQ nn= = ，1134(27,3,9)235ijkPQn= = ， (9,1,3)
4、n=取故所求平面方程为 9(2)(1)3(1)0x y z+=，即 93160xyz+=习题 8-68（ 补充题 ） 求过点 (-3,2,5)且与两个平面 225143xyzxz=和 的交线平行的直线方程 。解：设所求直线的方向向量 s，由已知 ( ) ( )1 22,1,5, 1,0,4sn sn= = 12215(4,3,1)104ijksnn=取 又直线过点 ( )3,2,5，故所求直线方程为 325431xyz+=复习题八 1（补充题）在 y轴上求与点 (1,3,7)A和点 (5,7,5)B等距离的点。解 设 y轴上点为 ( )0,0My，由已知 MBMA=( ) ( )()2 2 2
5、2 22137575y y+=+ 2y=故所求点为 ( )0,2,0M 26 (1,2,1) 341xtM ytzt=+ =（ 补 充 题 ） 求 过 点 且 与 直 线 垂 直 的 平 面 方 程 。/ (1,3,1) (1,3,1)1(1)3(2)(1)0340n nLns nx yzxyz = =+= 解 ： 设 所 求 平 面 的 法 向 量 为 ， 由 已 知， 取故 所 求 的 平 面 方 程 为即1 2 1 2123 2121 211xyz xyzL L L L+= =7（ 补 充 题 ） 已 知 直 线 ： 和 ： ， 求 经 过 且 平 行 于 的平 面 方 程 。1 2/
6、/n nLnL 解 ： 设 所 求 平 面 的 法 向 量 为 ， 由 已 知 ，1 2 12(1,2,1) (21) 121(1,3)211(1)(2)3(3)0 360ijkns ns nssxy z xyz= = = =+=+= ， ， ， ， 取所 求 的 平 面 方 程 为 ， 即 习题 9-12、求下列极限：（ 4） （补充题） 2222( )lim ( )xyxyxye+2222 ()22( ) 1lim ( ) lim lim lim 0uxyxy u u ux u u uyxye ue e e=+ + + =令解 ：（ 5） （补充题） 22 22223(,)(0,) sin
7、lim ( )xy xy xyxy+2222 22 3 2223(,)(0,) 0 0 0sin sin1cossin1lim lim lim lim3 66( ) uxyxy u u uxy xy uu u uu u uxy =+ + = = = =+ 令解 ：习题 9-21、求下列函数的偏导数： ;（ 4） （补充题） 2 2 2() )3y z zz xy x xyxyx x =+ += 设 ， 其 中 （ 可 导 ， 证 明 。222 22 22 2 2 2 222 222 22(), ()3 3() () ()3 3 32() ()3 3zy zyyxy xxyxx yxz y yx
8、yx yxyy xyxyyyxyxyx xz yxyxyxxyyxyxyxz zxyxyx =+ =+ +=+ +=+ +=+ =+ =+ += 解 ：习题 9-31求下列函数的全微分：（ 3） （补充题） sin2yzyux e=+求 函 数 的 全 微 分 。1 1cos (cos)22 22yz yz yz yzy ydudxdyzedyedzdxzedyedz=+ +=+解 ：（ 4） （补充题）222tan()uxyz=+求 函 数 的 全 微 分 。2222222sec( )( )xyzxdxydyzdzduxyz+= +解 ：3（补充题）设 (,) , (1,zxfxyz dfy
9、=求 )。1 1 1 1 12 2 2111 1 1 1() () ()() () ()ln()(1,)1(1,)1(1,)0(1,)z z z z zx y zx y zx y zx x x xx xxf f fzyyyzy zy yzyy yyzdufdxfdyfdzf f fdfdxdy = = = = =+= = =解 ： ， ，又 ， ，习题 9-54、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（ 2） （补充题） 22 0 ,0uvx uuvvxyxyuvy+= +=求 由 方 程 组 所 确 定 的 函 数 的 偏 导 数 。2 12021 11 211 2 1 141012 0
10、2 1041 412 02121 0141012uvxxx uvxxu uu vvuvv vxJ uvxJ uvuvyyy uvyyu uuvv xJ=+= =+ = = = = + +=+= =+ =解 ： 将 原 方 程 组 两 端 对 求 偏 导 数 ， 得 当 时 ， ， 将 原 方 程 组 两 端 对 求 偏 导 数 ， 得 当 时 ， 1 201 1 212 1141 41uv uvuvxJ uv= = =+ +，习题 9-65（ 补充题）在曲面 z=xy上 求一点，使这点处的法线垂直于平面 x 3y z 9=0， 并写出这法线方程。000(,)x yxyzzyzx=解 ： 设 所
11、 求 点 为，000 000000 (,) (,) 0000 0 0 0(,) ( , ,1)(,1)1 3, 1, 3131(,3)313131 xxyz yxyzxyz nz z yxyx xyzxyz = = =+=曲 线 在 处 的 法 向 量 为由 题 意 有 ， 得所 求 切 点 为 法 线 方 程 习题 9-76（补充题）求函数 ()zyux=在点 P0(1,1,1)沿着方向 (2,1)l= 的方向导数0Pul。1 12()()()()()ln()z z zy yy yygraduz zx x xxxx = 解 ： ， ，00 0 211(10) (, , )666211 21
12、1 1(1,0)(, , )110( )666 66 6 6PPgradu lul= = = = + += ， ， ，从 而习题 9-85（补充题）求函数 11(,) (0)zfxyxy xyxy=+的极值。2 2223 32 21 1,10 (1,)102, 1,2130 20(1,) (1,)3x yxyx xy yzy zxx yzyxzxyzxzzyACB Af =解 ： 由 ， 得 唯 一 驻 点， 且所 以 为 函 数 的 极 小 值 点 ， 极 小 值 为6（补充题）求表面积为 6而体积最大的长方体的体积。 ,(0, 0, 0)2()6 30(,) ( 3)()0()0 (1,)
13、()030xyzxyz VVxyzxyz xzyzxy xzyzxyLxyzxyzxzyzxyLyzzyLxzzxxyzLxyxyLxzyzxy = +=+=+=+=+= =+=+= 令 令 令 令解 ： 设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 ， 体 积 ， 由 已 知， 且 满 足 ， 即令由 ， 得 ， 即 唯 一 驻 点故 由 实(1,) 11 xyzV =际 问 题 知 ， 长 方 体 的 表 面 积 一 定 而 体 积 的 最 大 值 存 在 ， 所 以 当 时 ，体 积 为 最 大 值 ， 其 最 大 的 体 积 为复习题九 7（ 补充题 ） 已知 (x,y)具有连续
14、的偏导数且 (xz,yz)=0确定函数 z=z(x,y)， 试计算zzxy+。1 2 1 21 21 2 1 21 21 2 1 2(,)(, ), ,01x y z yxz z zFxyzxzyzFFF FFz zF x yzzxy= = = = = + + += + = +解 ： 设 当 时 ， ，8（补充题）已知二元函数 u(x,y)， v(x,y)在区域 D内满足（ 1）具有连续偏导数；（ 2） 22, ,uvuvuvCxyyx=+ （ 常 数 ） ；证明 u(x,y)， v(x,y)在区域 D内均为常数。22220 0, 00 ,220220220 224()0222200Cuvuv
15、C xyuv uvuvxxuv xyyxyyuuv uvxy uvuu vuvxyuuvvxy x= += = += =+=证 明 ： 当 时 ， 均 为 常 数当 时 ， 由 ， 两 边 关 于 分 别 求 偏 导 数 。 得， 又 ， ， 则 方 程 组 变 为， 其 系 数 行 列 式故 且 0 (,),(,)uxyvxyy=， 从 而 均 为 常 数9（ 补充题）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计计算，销售收入 R（ 万元 ） 与电台广告费用 x1（ 万元 ） 及报纸广告费用 x2（ 万元 ） 之间的关系有如下的经验公式： 2 21 21211514328 1
16、0Rxxxxx=+（ 1）广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（ 2）若广告费用为 1.5万元，求相应的最优广告策略。121 12 22 212 12 1 212121 1 21 22 21 2(,) ( )1513318 1013840 35 35, (,)44 43182004 8 204(20)(8)160400.75,xxx x xLxRxx xxxxxLxx xxL xxL L LACB Ax x=+=+= =在第一卦限部分曲面块的上侧。 222 2222 2 2 2 2 22 2 2222 22233 22222233 3 2222(0, 0)() () ( )(cossin)
17、(xyxy x yDzRxyDxyRxyxdydzydzdxzdxdyxzyzzdxdyx yx y zdxdyRxy Rxyxy RxydxdyRxyd RR = +=+= + + += += + 解 法 1： ： ， ： ， 取 上 侧20 03 22220 044 2220 0)212 ( )3 24 sin1 cos( )3 cos2RR RRdd dRRtRtdt dt = + = + 4 4 22 420 044 4 44 11sin ( )3 2431 113( )322 8RRtdtR RR RR = + =+=222 2222 2 2 22222220 022 4 402 (
18、0, 0)33( )3( )311 3( )224 8xyxyDR RzRxyDxyRxyxdydzydzdxzdxdyzdxdyRxydxdyd dR R = += = = 解 法 ： ： ， ： （ 轮 换 对 称 性 ）习题 1-6高斯公式2、 （ 补充题 ） 求曲面积分 (2)zxdydzzdxdy+ ， 其中 是曲面 22(01)zxyz=+的外侧 。 111221 1101(,) 120 21(2) ( )(2)3 (2)() 3xyxzxyDxyPzxQRz PQRxyzzxdydzzdxdyzxdydzzdxdydxdydzzxzzdxdydzdxdy + =+=+= + +=
19、+=+= += 解 ： 补 面 ： ， ： ， 取 上 侧， ， ， 显 然 在 由 闭 曲 面 所 围 成 的 空 间 有 界 闭 区 域 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ， 且22 1013 2xyDxyz dxdyzdz+ = 11122 1 10 01 202410(2) ( )(2)3 (2)()332( )6( )24 2xy xDzxdydzzdxdyzxdydzzdxdydxdydzzxzzdxdydddzdxdyd + +=+= += = = 或复习题十一 4、 (补 充 题 ） 22()() 4LxydxxydyLxy+计 算 曲 线 积 分 ， 其 中 是 边 长
20、 为 ， 原 点 为 中 心 正 方 形边界，方向为逆时针方向。22 2222 2222 2222 22, (0,0)( ) ( )cos20sin()() ()()( ) ( )L CLLDxy xyP QxyxyPyxxyQyxxyyxy xxyxtC L t Dytxydxxydyxydxxydyxy xyQPdxy+ += =+= = + += + += 解 ： ， ， 它 们 在 点 不 连 续在 内 挖 洞 ， 其 边 界 ： ： ， 在 内 满 足 格 林 公 式 条 件02 2220 cossin)(sin)(cossin)coscossin012 t t xt t tdtt
21、tdt +=+=5、 （ 补充题 ） 计算2 2 2xdydzydzdxzdxdy + ， 其中 为锥面 22 2xyz+=介于平面 z=0及z=1之间部分的上侧。1122 2 222212 2 2 12 2 2 2 2 221 11 2222( )(2 xyxyz xyzz zzDxyPxQyRzPQRxyzxyzxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyx + += += = = = += + +=+ += + =+ 解 ： 由 消 ， 得 交 线 ，补 面 ： ， ： ， 取 下 侧， ， 显 然 它 们 在 由 围 成 的 空 间 有 界 闭 区 域 上 具 有 连
22、续 的一 阶 偏 导 数 ， 且2222 2 21 1 20 022) (1) () ()2 1 2 22( )2xyxyx yDD xyzyzdxdydz zyzzdxdyzdxdydzdxdydzzdxdyzzdz + + + = + = += += 对 称 性习题 12-11、 根据级数的收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性（ 2） （ 补充题 ）1(221)nn nn= +1(321)(4232)(5243) (221)2121 1lim lim (2121)lim (21 ) 2121(221) 21nnn n nns n nnnns nn nnn nn =+=+=+=+ =+=+解
23、 ： 故 级 数2、判断下裂级数的收敛性 ，（ 4） （ 补充题 ） 13()nnn=+13 13lim 3lim 0(1) (1) 3()nnn n n nnne = =+ +解 ： 由 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 ， 级 数 发 散（ 5） （补充题） 11()nn=1111lim ()lim 0 ()n nn n nn =解 ： 由 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 ， 级 数 发 散习题 12-22、用比值审敛法判定下列级数的收敛性（ 4） （ 补充题 ）122nn=+111202 31312lim lim lim 222222n n nnn n nn n nnuu nu n
24、+ =+= += = = = =+ + + + 证 明 ： 且 单 调 递 减 ， 存 在 ， 设由 极 限 的 性 质 ， 又 发 散 ，因 此 ， 即由 收 敛 ， 故 收 敛9、 （ 补充题 ） ()1() (1) 1)4 nxfx x fx= 将 函 数 展 开 成 的 幂 级 数 ， 并 求 。0110 2 3 12 3 1() 11 1 11() (1)4 3(1)31311 1()(1 )33 3()(24)31(1)(1) (1)()()33 33!(1)()(2)2) (1)3 3nnnnn n nn nn n nx xfx x xx xx x xxxxx x x xfx nnfx x=+= + = = = =+ +=+ +解 ：即!(1)3nf=故
