1、1.4.1曲边梯形面积与定积分,第一章1.4定积分与微积分基本定理,学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一曲边梯形的面积,如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，该图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？,答案,答案已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.,思考2,能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤),答案,答案分割；近似代替
2、；求和；取极限.,(1)曲边梯形曲线与平行于 的直线和 所围成的图形，称为曲边梯形.(2)求曲边梯形面积的方法求由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(如图)的面积的步骤,梳理,x轴,y轴,分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 (如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“ ”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的 ；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.,小曲边梯形,以直代曲,近似值,思考,知识点二定积分的概念与基
3、本性质,分析求曲边梯形的面积和变力所做的功，找一下它们的共同点.,答案,答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.,定积分的有关概念与基本性质(1)函数定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a，b上(如图)，用分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i，作和式In .,梳理,当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作 .(2)定积分的定
4、义式,(3)定积分的相关名称,被积函数,被积式,积分下限,积分上限,(4)定积分的基本性质,题型探究,例1求直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n2 n(n1)(2n1).,解答,类型一求曲边梯形的面积,解令f(x)x21.(1)分割将区间0,2n等分，分点依次为,(2)近似代替、求和,(3)取极限,求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲.(2)步骤：分割近似代替求和取极限.(3)关键：近似代替.(4)结果：分割越细，面积越精确.(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如,反思与感悟,跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积.,解答,解yx2为
5、偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影.,得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积.,(1)分割将区间0,2 n等分，,(2)近似代替、求和,(3)取极限,类型二利用定积分表示曲边梯形的面积,解答,例2利用定积分表示由直线yx2，曲线xy2围成的平面区域的面积S.,解曲线所围成的平面区域如图所示，,(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分 f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，如图，定积分 f(x)d
6、x的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线xa、xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.,反思与感悟,(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题，定积分的值可正可负可为零，而面积是正值.,跟踪训练2利用定积分表示下图中阴影部分的面积.,答案,则(1)_；(2)_.,类型三利用定积分的几何意义求定积分,例3说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.,解答,解答,解答,引申探究,解答,解答,解答,利用定积分所表示的几何意义求 f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，直线xb及x轴所围成
7、的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.,反思与感悟,跟踪训练3用定积分的几何意义求：,解答,(2) ；,解答,解如图2，由于A的面积等于B的面积，,从而 0.,解答,解令f(x)|x1|x1|4，作出f(x)在区间3，3上的图象，如图3所示，易知定积分 f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和.,阴影部分的面积S1S31，S26， (|x1|x1|4)dx1164.,当堂训练,1.下列结论中成立的个数是,答案,2,3,4,5,1,解析,A.0 B.1 C.2 D.3,解析成立.,2.关于定积分a (2)dx的叙述正确的是A.被积函数为y2，a6B.
8、被积函数为y2，a6C.被积函数为y2，a6D.被积函数为y2，a6,答案,2,3,4,5,1,解析,解析由定积分的概念可知，,由定积分的几何意义知， (2)dx等于由直线x1，x2，y0，y2所围成的图形的面积的相反数，,2,3,4,5,1,3.求由曲线y x2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_.,答案,解析,1.02,4. 2(x2)dx_.,2,3,4,5,1,解析,答案,5,5.计算：,解答,2,3,4,5,1,解由定积分的几何意义，得,由定积分的几何意义，得 0.,所以 5 2.,规律与方法,2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分.对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.,3.几类曲边梯形的面积与定积分的关系,本课结束,
