1、可化一元二次方程的分式方程（1）点拨式教学设计【教学目标】（一）（一）使学生理解把分式方程转化为整式方程的一个原则；（二）（二）使学生会解可化为一元二次方程的分式方程；（三）（三）使学生理解在方程两边乘以整式有可能增根，从而知道验根是解分式方程的必要步骤；（四）（四）使学生进一步掌握换元的技巧。【教学重点和难点】重点：会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必须验根。难点：理解方程的同解原理。会运用换元思想方法等计算技巧。【教学过程设计】（一）（一）复习前一阶段，我们对于一元二次方程已做了较完整的研究：研究了一元二次方程的各种解法一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数关系以及
2、归结为列出一元二次的应用题。今后三课时我们要研究可化为一元二次方程的分式方程的解法与有关的应用题。我们在初中第二册第九章已经学过了可画为一元一次方程的分式方程。所以今后的三课时，只是在方程形式上不同，解法与算理是初二代数里的分式方程一样的。请同学们解下列分式方程 16352xx解：方程两边都乘以 x(x-1),去分母得（x+5）-3(x-1)=6x,x=1把 x=1 代入 x(-1),它等于零，所以 x=1 是原方程的增根，原方程无解。另解：把方程的各个分式都移到等号左边，并化简0163)(5xx0)1(8x1x-1 是方程 1 的分母的因式，必须 x-10,所以分子，分母约去 x-1,得08
3、x,因为分子不为零，所以 ，即原方程无解。请同学回答以下问题：1 1 什么是分式方程？2 2 解分式方程的一般方法与步骤是什么？3 3 为什么解分式方程必须验根？应当怎样验根？（分母里含有未知数的方程叫做分式方程，解分式方程的一般方法是去分母化分式方程为整式方程。解分式方程有三步：第一步：去分牡，化分式方程为整式方程。第二布：解整式方程。第三步：验根。把整式方程的根中不适合分式方程的舍去。验根的方法是把变形后求得整式方程的根代入去分母时所乘的整式，如果使这个整式等于 0，就是増根）去分母的关键是找出各分母的最简公分母。由于去分母过程是在方程两边乘以含未知数的整式（最简公分母） ，当此乘式为零，
4、就破坏了方程的同解原理，因此从第二步解出的整式方程的根就不一定是原分式方程的根，所以必须验根。（二）（二）新课例 1 例 1 解分式方程：1241xx解：把第三个分式的分母 2-x 变形为 x-2,得)(2x方程两边都乘以（x+2）(x-2),约去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)整理后，得x2-3x+2=0解这个方程，得 1x=1, 2=2.检验：把 x=1 代入最简公分母，它不等于 0,所以 x=1 是原方程的根；把=2 代入最简公分母，它等于 0 所以 x=2 是増根。例 2 解分式方程：041523843422 xx解：把各个分母分解因式，并求出最简公分母)()(
5、1)(1xx方程两边都乘以最简公分母（2x+1）(2x-1)(2x-3),得2(2x-1)-(2x+1)+(2x-5)(2x-3)=0整理，得4x 2-14x+12=0,2x 2-7x+6=0x 1=2,x 2=3把 x=2 代入最简公分母，所得的值不为零；把 x= 23代入最简公分母，所得的值为零，所以x= 23是增根。答：原方程的根是 x=2.例三 解分式方程： 1)(2x+)(62=7。分析：（1）这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以（x+1） （ 12x） ，所得到的将是一个难解的四次方程。所以，要考虑别的解法。（2）观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子 12x与 2互为
6、倒数 。（3）由于具有倒数关系，如果设 y= 12x,则 2= y，原方程式可变形为 2y+ y6= 7 ，此方程去分母可化为一元二次方程 2x 2-7y+6=0。从中解出 y,再解出 x。因此，原分式方程可用换元法来解。解：设 1x= y，那么 2x= y，于是原方程变形为 2y+6= 7。方程两边都乘以 y 约去分母，得 2x 2-7y+6=0。解这个方程，得 y 1=2，y 2=3。当 y=2 时，2x=2，去分母，整理得 x 2-2x-1=0。所以 x=8=1当 y= 23时， 12x=3，去分母，整理得 2x 2-3x-1=0。所以 x= 47。检验：把 x=1 2，x= 473分别
7、代入原方程的分母，各分母都不等于 0，所以它们都是原方程的根。答：原方程的根是 x 1=1+ ，x 2=1- ，x 3= 417，x 4=173。换元法不是解分式方程的一般解法，它是解一些特殊的方程的特殊方法。它的基本思想是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把方程的式子的形式简化。例 4 例 4 解分式方程：581)(2xx分析：先别忙着把2)3(x展开。把等号右边各式都移到等号左边，得2)3(x+12x-518=0。可变形为2)3(x+605)32(x，换元：设,y原方程可化为 0562y。所以 1y=-1， 2=-5。（1）（1）由,1x得 ,3x得,231x。（2）（2）由,53得
8、02。得,43。经过检验，这四个根都适合。所以原分式方程的解是1,21x， 3-3，x 4=1。经过检验，这四个根都适合。所以原分式的解是 x1=- 23，x 2=1，x 3=-3，x 4= 2。例 5 例 5 解关于 x 的方程： a1+ b+ = 。 （其中 a 0）解：方程两边都乘以最简公分母 abx(a+b+x)去分母，得bx(a+b+x)+ax(a+b+x)+ab(a+b+x)=abx整理得 (a+b)x2+(a+b)2x+ab(a+b)=0 (1)(1)当 a+b 0 时，x 2+（a+b）x+ab=0 ，x 1=-a，x 2=-b。(2)(2)当 a+b=0 时，方程中的 x 0
9、.(否则 a+b+x=0，使原方程等号右边的分式分母为零 )经检验可知，当 a+b 0 时，原方程的解是 x1=-a，x 2=-b；当 a+b=0 时，原方程的解是一切非零实数。说明：当 a+b=0 时，检验的方法是：设 x=t（t 0） ，代入原方程左边= a1+bt=a+ t1=0+ 。右边= = ，所以 左边= 右边。解字母系数的方程应注意对字母的取值予以讨论。例 6 方程 2)3(4x+2=1的根的个数是（ ） 。（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无穷多个分析：去分母，得 4+2（x+3） 2=（x-1） （x+3） ，整理得 x2+10x+25=0，得 x1=x2=-5
10、。对原方程来说，分式方程不计次数，应算一个根。所以选（B） 。例 6 例 6 判断下面的解分式方程过程是否正确？解方程： 4x- 3= x- 14。解：方程两边通分，得 2752= 235x。因为分子相等，所以 x2-7x+12=x2-3x+2。解得 x= 。分析：上面的解法错误地认为：“相等的两个分式，如果分子相等，则分母必相等” 。事实上，305时分子相等，但分母 3 与 5 并不相等。正确的解法是：两边通分，得 1272x= 235x。去分母，得（5-x） （x 2-3x+2） =（5-x） （x 2-7x+12）移项，得（5-x） （x 2-3x+2）-（5-x） （x 2-7x+12
11、）=0。提取公因式，得（5-x） （x 2-3x+2-x2+7x-12）=0。（5-x） （ 4x-10）=0。 所以 x1=5,x2=5.经检验 x1=5,x2=5都是愿方程的根。答：原方程的根是 x1=5,x2= 。例 8 解分式方程： 8+12x+ 8312x=0分析：若用最简公分母（x 2+11x-8）(x 2+2x-8)(x2-13x-8)乘方程两边，得(x 2+2x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2+2x-8)=0式中每项的两个括号之积都是 4 次式，运算起来很复杂。我们发现每个括号里都含用 x2-8,如果令 y= 82
12、x,即把 2 次式降为 1 次式，于是式中每项的两个括号之积都降为 2 次式，可士使计算简单些。解：令 8y,则原方程转化为0131xyxy去分母，得 )2()3)()13)(2xy去括号，整理得 7,0492。所以 7,1。 当 时，得 x82。即 082x，x 1=-8x2=1.当 y时，得 x。即 .73x4=-1经过检验，可知这四个根都适合原方程。答：原方程的根是 ,1,4321x（三）课堂练习解方程：).(63xx解：因为,1),(13yx设,则原方程化为0)(,09.633yyyx所 以当 x+01,得 x2+1=0,此方程无解;当 x+,得 253,13x;当 x+1x,得,02
13、。经过验根，都 是 原 分 式 方 程 的 根 。与 255x（四）小结在初中代数第二册第九章分式中，我们已学过用去分母法解可化为一元一次方程的分式方程。与此相仿，我们也可以用去分母法解可化为一元二次方程的分式方程。解题步骤有三步，第一步：去分母；第二步：解所得的整式方程；第三步：验根。解题关键是找到各分母的最简公分母。在去分母时，要用最简公分母乘方程两边，注意不要漏掉右边。验根的方法有两种：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母为零的值是增根，应舍去；二是代入所乘的最简公分母，使最简公分母的值为零的值是增根，应舍去。（五）作业1解下列方程： 35)(2xx213)2(xx630745254)(2xx2.用换元法解下列方程 0615)1(2xx)(3)8223.解下列关于 x 的方程：c1)(12ax)0()45)3( bxba4.解方程42x2
