1、高校专升本 高等数学辅导主讲:教授,高等数学主要内容,A 三大概念一.函数,极限,连续;二.导数,微分,偏导数,全微分三.积分,专升本,B 四大运算 一.求Lim 1. 2. 洛必达法则二.求三.求,四.解微分方程,C.三大应用,一.导数的应用 1.函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点，作图. 2.应用题.求Max,Min. 3.利用中值定理证明等式或不等式. 二.定积分的应用. 1.几何应用 2.物理应用 三.微分方程的简单应用,D.向量代数与空间解几简介,1.空间直角坐标系 2.向量代数初步 3.平面 4.空间直线 5.曲面与空间曲线 6.二次曲面,多做练习 方可熟能生巧善于归纳 才能灵活应
2、变,第一章函数,极限,连续,一.函数 (一)函数概念 1.函数定义2.函数关系两要素:(1)对应关系f; (2)定义域D(f) 例,求,（08）下列函数中，定义域为,的函数是（ ）,（B）,（C）,（D）,（A）,（模C）,(二)函数特性,1.单调性 2.奇偶性3.周期性4.有界性,例,偶函数,奇函数,周期函数,（10）,（08） 是（ D ）,（A）,（B）,（C）单调增函数,（D）,奇函数,偶函数,非单调函数,（07） 均为奇函数，则下列为偶函数的是 （ ）,（A）,（B）,（C）,（D）,（07）,eg,(三)反函数,1.反函数定义. 特点 2.举例,（05）,(四）复合函数,1.定义
3、2.分解标准-分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止. 3.复合函数定义域求法,注意：并非任何两个函数都可以复合,（03）,（07）,（08）,(五)基本初等函数 常用的有六类14个,(六）初等函数由基本初等函数（）经过有限次的和,差,积,商运算，（）有限次的复合运算，（）且可用一个公式表示的函数. 非初等函数举例:,二.极限,(一)极限定义,(二)性质,单调有界数列必有极限. 夹逼定理 3.,4.四则运算(有极限;有限个),(三)求极限,1.两个重要极限,(06), (03), (09),(10),2.其他,举例,3.罗必塔法则,三.无穷小.无穷大,1.定义 2.性质,例题(性质
4、),3.无穷小阶的比较(教材P27),设,例题(阶比较), (05),（07）当,时，下列函数中能成为,的等价无穷小的是（ D ）,（B）,（C）,（D）,（A）,（09）,当 时，下列四组函数中为等价 无穷小的是 （ B ）,（A）,（B）,（C）,（D）,4.等价无穷小代换定理(教材P27）,定理,结论,例题(等价无穷小代换),四.连续与间断,(一)连续 1.2.连续三要素,3.左右连续,(二)间断点分类,第一类（ 都存在的间断点）(1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点第二类（ 至少一个不存在的间断点）(4)无穷间断点 (5)振荡间断点,（07）,（模A）,eg,(三)闭区间
5、上连续函数的性质,定理1定理2定理3(介值定理） （教材P3132)定理4（根值定理）,（模B）,eg,（模C）,第二章导数与微分,一.导数的概念 1.定义2.几何意义 3.左右导数4.可导与连续的关系,（10）,二.求导数归纳,2.四则运算 3.反函数求导 例,1.基本导数公式,（04）,(06),4.复合函数求导,(10),(10)计算题,5.隐函数求导显函数-隐函数-,（09）,对数求导法,(1),例,6.参数方程求导,(1)(2)(3)(4),(6)（09）,(5)（08）,7.高阶导数,例,例(高阶导数),8.分断函数求导,例题(分断函数求导),讨论 在 的连续性；讨论 在 的可导性
6、；求,9.从定义求导,定义,例题(从定义求导),(05),(10),则,2,（模B）,三.微分,(一)概念 1.定义 2.几何意义 3.微分两个特性 4.微分形式的不变性 (二)计算 1.公式 2.四则运算,第三章 中值定理.导数应用,一.中值定理 (一) Rolle Th若,则至少,使,注意:(1)条件是充分条件; (2)条件不成立,结论未必成立.,例不求 的导数, 验证 必有根,验证,对,的正确性,Rolle Th, 不求 的导数, 说明 有几个实根,并指出 根所在区间.,(10),(二)Lagrange Th,若,则至少,使,推论:若在则在,例题(Lagrange Th),证明:,例题(
7、Lagrange Th),验证 在 对Lagrange Th 的正确性; 验证 在 对Lagrange Th 的正确性;证明:对 ,恒有,证明:当 恒有,(三)Cauchy Th,若,则至少,使,二.洛必达法则,定理:若则,洛必达法则几种形式,例题(洛必达法则),注意,(1)只有 ,才可考虑用 Th (2)每次用 Th后,必须化简不能断定 不存在, .只能说明Th失效,（4）还原例子,例题(洛必达法则),（03）,三.单调性.极值.凹凸.拐点.作图,(一)单调性 Def1 Th1,例题(单调性),(10),讨论单调性,极值步骤,1.求 2.求驻点与不可导点 3.由两种点分D(f)为若干区间,由
8、 Th判别单调性,极值.,例题(单调性证明不等式),(二)极值,Def2. 定义在,在,例题(极值),求极值,求极值,求极值,极值判别法,在,可导,在 连续.,Th2,极值判别法,Th3,极值存在的必要条件（费马定理）,Th4,极值点可从驻点与不可导点找1.可导函数的极值点 驻点2.不可导点（临界点）也可能取得极值,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,(三)最大值.最小值,1.一般情况只有一个极大(小)值而无极小(大)值则,例题(最大值.最小值),例题(最大值.最小值),无盖圆柱形水池,体积定值V,底造价是侧面造价的2倍.问:半径r=? 高度h=?用费最省
9、?,(四)凹凸.拐点,1.凹凸定义2.凹凸判别3.拐点判别4.两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.求 2.求使 与 不存在的点 3.由两种点分D(f)为若干区间,由 Th判别曲线凹凸与拐点.,（10）,eg,eg,(五)渐近线.作图,1.水平渐近线 2.垂直渐近线 3.作图步骤 (1)求D(f),Z(f) (2)奇偶性、周期性 (3)单调性、极值 (4)凹凸性、拐点,例,3.作图步骤 (5)渐近线 (6)特殊点 (7)描图,第四章 不定积分,4.1概念.性质 4.2换元积分法,4.3分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,4.1概念.性质 一.原函数Def1 若,说明:1.,2.,则称
10、,二.不定积分,不定积分的几何意义,Def2,三.基本积分公式P88,四.不定积分的性质,1.2.3.4.,例题,4.2换元积分法,换元积分法,特点,Th,(一)凑微分举例,1.形如,凑微分举例,2.,凑微分举例,3.,凑微分举例,4.,凑微分举例,5.,凑微分举例,6.,(二)特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,特点,类型,1.三角置换,类型,2.含,类型,3.,类型3(续),4.3分部积分法重点每年必考！,设,类型,一.,二.,三.,(分部2次,要移项),例题(分部积分法),例题(分部积分法),4.4几种特殊类型函数的积分,一.有理函数积分（了解） 1.有理真分式的分解,2.待定系数(
11、1)比较法；（2）代入法,例,3,有理真分式的积分,例,二.三角函数有理式的积分,1.万能置换,则,例题(万能置换),2.凑微分,三.简单无理函数的积分,第五章 定积分,5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 5.3微积分的基本公式,5.4定积分的换元积分法,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,5.1定积分的概念 一.引例 1.曲边梯形面积 2.变速直线运动的路程 二.定积分的Def 注(1)2个有关; (2) 3个无关;(3),注(4)充分条件,三.几何意义,5.2定积分的性质,5.2定积分的性质,例题(概念.性质) 1.比较大小. 2.估值.,5.3微积分的基本公式,一.变上限积分二
12、.牛顿-莱布尼兹公式,5.4定积分的换元积分法,注意：,1换元法实质：换元同时换限（切记） 2遇到被积函数含有偶次根式，注意取算术根,结论,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分（也称反常积分）,一.积分区间为无穷的广义积分 二.被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章 定积分,5.7定积分的元素法 5.8平面图形的面积 5.9体积 5.10平面曲线的弧长 5.11定积分的物理应用,定积分的几何应用 5.7 5.8 5.9 5.10,(一)一个量Q可用定积分计算的条件 (1)Q是a,b上的定量 (2)Q对a,b具有可加性(3)x,x+dx上部分量 可近似表为,简记为,(二)元素法步骤,(1)建
13、立坐标系,确定积分变量(2)求 上部分量 的近似值(3)定限积分求总量,定积分的几何应用,一.平面图形的面积二.体积三.平面曲线的弧长,(模A)29.求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。,(eg).求由曲线 与它的过原点的一条 切线及 轴所围成的平面图形的面积； 且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得 旋转体的体积。,(03).(1)求曲线 在点 的切线方程； （2）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形的面积； （3）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。,(eg).求正劈锥的体积。,定积分的物理应用 5.11,一.变力作功,二.液体静压
14、力,第七章.向量代数与空间解几（不考）,7.1 空间直角坐标系. 一.空间直角坐标系. 1.Def,八个挂限,点的坐标符号1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+)5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-)2.空间中点的坐标,二.空间两点间的距离,设点则,7.2向量代数,一.向量概念 与 同方向的单位向量,二.向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三.数乘向量,7.2向量代数,四.向量在坐标轴上的投影 1.两向量夹角2.向量在轴上的投影,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 点 向径坐标表达式分量表达式,7.2向量代
15、数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦, 点 向量坐标表达式分量表达式,向量的模,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 向量的方向余弦,7.2向量代数,六.两向量的数量积 1.Def 性质,7.2向量代数,六.两向量的数量积 2.公式,7.2向量代数,六.两向量的数量积 3.两向量的夹角,例题(数量积),(1),例题(数量积),(05) 单位向量满足则,(3)(04),7.2向量代数,六.两向量的向量积 1. Def,性质,六.两向量的向量积,性质 (3) 基本单位向量性质,(4),7.2向量代数,六.两向量的向量积 2.公式,7.2向量代数,六.两向量的向量积
16、3.结论,例题(向量积),(1)求与垂直的单位向量,(2),例题(向量积),(3) (07) 满足 则,(答案.6),7.3曲面与方程,一.曲面与方程 1.Def 若(1)纯粹性(2)完备性则称 为曲面 S 的方程,曲面 S 是方程 的图形.,7.3曲面与方程,2.建立轨迹方程步骤 (1)设M(x,y,z)为轨迹上的任一点,依轨迹条件建立等式 (2)以M点坐标代入等式得方程(3)化简方程 (4)证明(略),7.3曲面与方程,3.曲面研究两个问题 (1)已知曲面作为点的几何轨迹，求其方程 ； (2)已知曲面方程 ，研究曲面性质。,7.3曲面与方程,二.柱面 Def 动直线 平行 轴动直线 沿定曲
17、线 平行移动(母线) (准线) 说明:三元方程少一个字母,则表示柱面,柱面 准线 母线母线/Z 轴母线/X轴母线/Y轴,柱面(例题),(1)圆柱面 (2)抛物柱面(3)椭圆柱面(4)双曲柱面,7.3曲面与方程,三.旋转曲面,旋转曲面(例题),(1),(2),7.4平面与方程,一.点法式,7.4平面与方程,二.一般式 讨论,7.4平面与方程,三.截距式 四.两平面夹角,7.4平面与方程,五.点到平面的距离,平面与方程(例题),(1)说明平面特点(2) (3)(4),平面与方程(例题),(5)求两平面,夹角,(6)求P到 距离,平面与方程(例题),(7)求过 的平面,(8)过三点,求,7.5 空间
18、曲线,一般方程,注:空间曲线方程不唯一,7.5 空间曲线,例题 (1)(2)(3),与,7.6空间直线,一.一般式方程,7.6空间直线,二.点向式(对称式),7.6空间直线,三.参数式,7.6空间直线,四.两直线夹角,7.6空间直线,两直线的关系,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,直线与平面的关系,例题(空间直线),(1)求过且过点 的平面方程 (2)求过 的直线 (3)求过点且垂直所在平面的直线方程,例题(空间直线),(4)直线化为点向式 (5)求两直线夹角,例题(空间直线),(6)求过点与都平行的直线,7.7二次曲面,一.椭球面,截
19、痕法,7.7二次曲面,二.双曲面 1.单叶双曲面2.双叶双曲面,7.7二次曲面,三.抛物面 1.椭圆抛物面2.双曲抛物面,例题(二次曲面),(1)指出图形名称,例题(二次曲面),(2)指出截痕表示什么曲线,第六章.微分方程（重点！大题单独考一题与综合题）,6.1微分方程的概念 引例:曲线上任一点 的切线斜率为且曲线过点 ,求曲线方程. 基本概念:常微分方程 偏微分方程微分方程的通解 微分方程的特解微分方程的初始条件微分方程的阶,6.1微分方程的概念,举例,例题(微分方程的概念),(1)验证函数是否为微分方程的解,若是,则指出是通解或特解.,例题(微分方程的概念),(2)物体在空气中的冷却速度与
20、物体和空气的温差成正比,试以微分方程描述这物理现象.(设空气温度为 ),线性微分方程的含义,6.2可分离变量的微分方程,形式,方法-分离变量法,例题(分离变量法),6.3齐次微分方程,形式,方法,(1),例题(齐次微分方程),(1)(2),6.4一阶线性微分方程,一.方法-分离变量法通解,6.4一阶线性微分方程,二.方法-常数变易法通解,例题(一阶线性微分方程),(1),(2),(3),例题(一阶线性微分方程),(4),(5),(6),(7)（07）下列方程为一阶线性 非齐次微分方程的是 （ ）,6.5特殊高阶微分方程（不考）,一.,例,方法-降阶法,6.5特殊高阶微分方程,二.,6.5特殊高
21、阶微分方程,三.,例题(特殊高阶微分方程),(1),(2),(3),(4),6.6二阶线性常系数齐次微分方程 （重点）,形式方法-特征根法,6.6二阶线性常系数齐次微分方程,Th1Th2,6.6二阶线性常系数齐次微分方程,特征方程,微分方程通解,例题( ),6.7二阶线性常系数非齐次微分方程,形式Th,6.7二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式 一.,6.7二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式 二.,6.7二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式 三.,例题( ),例题( ),例题( ),总归纳补缺漏,总归纳.补缺漏,(1),(2),(3),总归纳.补缺漏,(4),(5)(03),(6)曲线
22、y=f(x) 在 (a,b)单调减,且凹.则,总归纳.补缺漏,(7),(8)（研）,(9),断点个数为,下面,在x=2 连续而不可导的函数是,总归纳.补缺漏,(10),(11),(12),(13) 在 处的导数存在的最高阶数是BA.0; B.1; C.2; D.3,(14),(15)定,总归纳.补缺漏,总归纳.补缺漏,(16) 极值点是 拐点是,(17),(18),总归纳.补缺漏,(19),(20),总归纳.补缺漏,(21) 在 取得极大值,则必有,(22),(24),(23),(25),总归纳.补缺漏,(26),(27),总归纳.补缺漏,(29),(28),(30),总归纳.补缺漏,(31),(32),总归纳.补缺漏,(34),(33),总归纳.补缺漏,(35),(36),总归纳.补缺漏,(37),(38),(39),总归纳.补缺漏,(40),总归纳.补缺漏,(41),总归纳.补缺漏,预祝三月考试成功！,
