1、立体几何大题1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片 ABC 中， ACB90，AC4cm，CD 是斜边上的高沿 CD 把ABC 折成直二面角（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定 A，B 的位置，使二面角ACD B 是直二面角？证明你的结论（2）试在平面 ABC 上确定一个 P，使 DP 与平面 ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的 AB 长，若 AB4cm，则二面角 ACDB 为直二面角 ABC 是等腰直角三角形， ,cm2DBA又 ADDC，BDDC ADC 是二面角 ACDB 的平面角
2、 当当,c4,2 .90D.D2 （2）取ABC 的中心 P，连 DP，则 DP 满足条件 ABC 为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥 DABC 是正三棱锥，由 P 为ABC 的中心，知 DP平面 ABC， DP 与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的 4 个面都相切，设小球球心为 0，半径为r，连结 OA，OB，OC，OD ，三棱锥被分为 4 个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为 r，故有 代入得 ，即ABCODACOBCDA VVV 362r半径最大的小球半径为 3622如图，已知正四棱柱ABCDA 1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A
3、1B，过A 作AFA 1B垂足为F，且AF的延长线交B 1B于E。（）求证：D 1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；A BC第 1 题图A BCD第 1 题图（）求二面角BAE C的大小.证（）ABCDA 1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D 1BAE，AE AC = A，D1B平面AEC . 解（）V BAEC = VE ABC .EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =.4912VB AEC = VE ABC = SABCEB3= 33249= （10分）
4、.87解（）连CF，CB平面A 1B1BA，又BF AE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC 为二面角 BAEC的平面角，在Rt ABE中，BF = ，59AE在Rt CBF中， tgBFC = ， 3BFC = arctg .5即二面角BAEC的大小为 arctg . 353如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 1，点M 在 BC 上，AMC 1 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点 M 为 BC 的中点；（）求点 B 到平面 AMC1 的距离；（）求二面角 MAC1B 的正切值.答案：（I）证明：AMC 1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC
5、1 且 AM=MC1在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 CC1底面 ABC.C1M 在底面内的射影为 CM，ABCA1B1C1M第 3 题图由三垂线逆定理，得 AMCM.底面 ABC 是边长为 1 的正三角形，点 M 为 BC 中点.（II）解法（一）过点 B 作 BHC1M 交其延长线于 H.由（I）知 AMC1M， AMCB，AM平面 C1CBB1.AMBH. BH平面 AMC1.BH 为点 B 到平面 AMC1 的距离.BHMC1CM.AM=C1M= 在 RtCC1M 中，可求出 CC1,23.2.6231 BHCBH解法（二）设点 B 到平面 AMC1 的距离为 h.则 1BMCA
6、V由（I）知 AMC1M，AMCB ，AM平面 C1CBB1AB=1，BM= .2,3,211C可 求 出 AShSMBCAMC113323226h（III）过点 B 作 BIAC1 于 I，连结 HI.BH平面 C1AM，HI 为 BI 在平面 C1AM 内的射影.HIAC1，BIH 为二面角 MAC1B 的平面角.在 RtBHM 中， ,2,6BHAMC1 为等腰直角三角形，AC 1M=45.C1IH 也是等腰直角三角形.由 C1M= .32,63,2312HCBMH有 .6I.21HIBtg4如图，已知多面体 ABCDE 中，AB平面 ACD，DE 平面 ACD，三角形 ACD 是正三角
7、形，且 AD=DE=2，AB=1，F 是 CD 的中点（）求证：AF平面 BCE；（）求多面体 ABCDE 的体积；（）求二面角 C-BE-D 的正切值 证：（）取 CE 中点 M，连结 FM，BM，则有ABDEF/21/四边形 AFMB 是平行四边形AF/BM， 平面 BCE，平面 BCE，AF/平面 BCE （）由于 DE平面 ACD，则 DEAF又ACD 是等边三角形，则 AFCD而CDDE=D，因此 AF平面 CDE又 BM/AF，则 BM平面 CDE BMABVVCDEBAABCDE 2132431 23（）设 G 为 AD 中点，连结 CG，则 CGAD由 DE平面 ACD， 平面
8、 ACD，则 DECG，又 ADDE=D，CG平面 ADEB作 GHBE 于 H，连结 CH，则 CHBECHG 为二面角 C-BE-D 的平面角 由已知 AB=1， DE=AD=2，则 ，3CG 2121)(GBES不难算出 5 ， 3HBE 53 1Ctg5已知：ABCD 是矩形，设 PA=a，PA 平面 ABCD.M、N 分别是 AB、PC 的中点.（）求证：MNAB ；（）若 PD=AB，且平面 MND平面 PCD，求二面角 PCDA 的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥 DAMN 的体积.（）连结 AC，AN. 由 BCAB，AB 是 PB 在底面 ABCD 上的射影. 则有 BCP
9、B.又 BN 是 RtPBC 斜边 PC 的中线，即 . PCBN21由 PA底面 ABCD，有 PAAC，则 AN 是 RtPAC 斜边 PC 的中线，即 ABN又 M 是 AB 的中点，（也可由三垂线定理证明）（）由 PA平面 ABCD，ADDC，有 PDDC.则PDA 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 由 PA=a，设 AD=BC=b，CD=AB=c， 又由 AB=PD=DC，N 是 PC 中点，则有 DNPC 又 平面 MND平面 PCD 于 ND， PC平面 MND PCMN，而 N 是 PC 中点，则必有 PM=MC. 此时 .bacbca.4122 4,1PD
10、Atg即二面角 PCDA 的大小为 （） ，连结 BD 交 AC 于 O，连结 NO，则 NO PA. 且 NOMDNADV 21平面 AMD，由 PA=a. 32431aSADAN6如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 、M、N分别为棱 DD1、AB、BC 的中点。（I）求二面角 B1MNB 的正切值；（II）证明：PB平面 MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中 P、B 两点间的距离。解：（I）连接 BD 交 MN 于 F，则BFMN，连接 B1FB1B平面 ABCDA BCDPA1 B1C1D1第 6
11、题图MNB1FMN 2 分则B 1FB 为二面角 B1MNB 的平面角在 RtB1FB 中，设 B1B=1，则 F24 4 分tgF 12（II）过点 P 作 PEAA1，则 PEDA，连接 BE又 DA平面 ABB1A1，PE 平面 ABB1A1又 BEB1M PBMB1又 MNAC，BD AC，BD MN又 PD平面 ABCDPBMN，所以 PB平面 MNB1 11 分（III ） ，符合条件的正方体表面展开图可以是以下 6 种之一：PB1327如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PA 底面 ABCD，PA=AD=2，点 M、N分别在棱 PD、PC 上，且 PC平面 AMN.（）求证
12、：AMPD ；（）求二面角 PAMN 的大小；（）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.（I）证明：ABCD 是正方形，CDAD，PA底面 ABCD， PACD.CD平面 PAD AM 平面 PAD，CD AM.PC平面 AMN， PCAM.AM平面 PCD.AMPD （II）解： AM平面 PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN 为二面角 P-AM-N 的平面角 PN平面 AMN， PNNM.在直角PCD 中，CD=2，PD=2 ，PC=2 .23PA=AD，AM PD，M 为 PD 的中点，PM= PD=21由 RtPMNRtPCD，得 .PCDN.3arcos.32)cos(
13、PCN即二面角 PAMN 的大小为 .rs（III ）解：延长 NM，CD 交于点 E.PC平面 AMN， NE 为 CE 在平面 AMN 内的射影CEN 为 CD（即（CE）与平在 AMN 所成的角 CDPD，ENPN ，CEN=MPN.在 RtPMN 中， .3arcsin)2,0(.sinMPNCD 与平面 AMN 所成的角的大小为 ri8如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB 1BC1；（II）求二面角 BAB1C 的大小；（III）求点 A1 到平面 AB1C 的距离.（1）证明：ABCA 1B1C1 是直三棱柱，CC
14、1平面 ABC， ACCC1.ACBC， AC平面 B1BCC1.B1C 是 AB1 在平面 B1BCC1 上的射影.BC=CC1， 四边形 B1BCC1 是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设 BC1B1C=O，作 OPAB1 于点 P，连结 BP.BOAC，且 BOB1 C， BO平面 AB1C.OP 是 BP 在平面 AB1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1BP.OPB 是二面角 BAB1C 的平面角 OPB1ACB1， ,AOP.31aBA在 RtPOB 中， ，26tg二面角 BAB1C 的大小为 .26arctg（3）解：解法 1 A1C1/
15、AC，A 1C1 平面 AB1C，A 1C1/平面 AB1C. 点 A1 到平面 AB1C 的距离与点 C1 到平面 AB1C.的距离相等.BC 1平面 AB1C， 线段 C1O 的长度为点 A1 到平面 AB1C 的距离.点 A1 到平面 AB1C 的距离为 .21a解法 2连结 A1C，有 ，设点 A1 到平面 AB1C 的距离为 h.CABAV11B1C1平面 ACC1A1， ，11Sh又 ，22,211 aaSACA 点 A1 到平面 AB1C 的距离为 .ah .9在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2，BB 1=3，连接 BC1，过 B1 作 B1EBC1交
16、 CC1 于点 E()求证：AC 1平面 B1D1E；()求三棱锥 C1B 1D1E1 的体积；()求二面角 EB 1D1C 1 的平面角大小(1)证明：连接 A1C1 交 B1D1 于点 OABCDA 1B1C1D1 是长方体AA1平面 A1B1C1D1，A 1C1 是 AC1 在平面 A1B1C1D1 上的射影AB=BC，A 1C1B1D1，根据三垂线定理得：AC 1B1D1； AB平面 BCC1B1，且 BC1B1E，AC1B1EB1D1B1E=B1，AC1平面 B1D1E1 (2)解：在 RTBB1C1 中， 13tg2BC在 RTEC1B1 中，C 1E=B1C1tgC1B1E=B1
17、C1ctgBC1B1=2 ， 243VC1B 1D1E = VD1B1C1E = 11118()3329BCESDBCEDA(3)解：连接 OE， B1C1E1 D1C1E1 ， B1E=D1EO 是 B1D1 中点， B1D1OE，C1OE 是二面角 EB 1D1C 1 的平面角 在 RTOC1E 中， 112tg3O所以，二面角 EB 1D1C 1 的平面角为 ， arctg10在矩形 ABCD 中，AB 4，BC3，E 为 DC 的中点，沿 AE 将AED 折起，使二面角 DAEB 为 60 （）求 DE 与平面 AC 所成角的大小；（）求二面角 DECB 的大小答案：如图 1，过点 D
18、 作 DMAE 于 M，延长 DM 与 BC 交于 N，在翻折过程中DMAE，MN AE 保持不变，翻折后，如图 2， DMN 为二面角 DAE B 的平面角，DMN 60 ， AE平面 DMN，又因为 AE 平面 AC，则 AC平面 DMN （）在平面 DMN 内，作 DOMN 于 O，平面 AC平面 DMN，DO平面 AC连结 OE，DO OE， DEO 为 DE 与平面 AC 所成的角如图 1，在直角三角形 ADE 中，AD3，DE 2，,12DEA2.34AM,136ADBCEA BCED第 10 题图如图 2，在直角三角形 DOM 中， 在直角三角形 DOE 中，,1360sinDM
19、O，则13DEOsin.239arcsiEDE 与平面 AC 所成的角为 .6rin（）如图 2，在平面 AC 内，作 OFEC 于 F，连结 DF，DO平面 AC，DF EC，DFO 为二面角 DECB 的平面角如图 1，作 OFDC 于 F，则 RtEMDRtOFD， ,EMO .DEMOF如图 2，在 RtDOM 中，OMDMcosDMODMcos60 13如图 1， .138OF,9在 RtDFO 中， ,2Dtg二面角 DECB 的大小为 arctg11直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACCBAA 12，ACB90，E 是 BB1 的中点，DAB， A1DE90.（）求证：CD平
20、面 ABB1A1；（）求二面角 DA 1CA 的大小.分平 面 ，平 面平 面 ，平 面，平 面知 ， 平 面由 直 三 棱 柱 ， 分的 中 点是），（， 即， 有 、 由 ，又 ，）（， ），（，），（ ），（），（则 分，），（， 可 设，），（，），（又 ），（，），（则 坐 标 系 如 图 ，为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角以 2 2011.190 22021 2000.221 111 ABCD ABCDABCADnmmnEADEnBBnADAmE nmEC（）解： 分的 大 小 为二 面 角 ， 分），（的 法 向 量， 故 可 取 平 面平 面显 然 ），（可 取， 可 得
21、令 ，即 ，且则 有 ，），（的 法 向 量 为设 平 面 ），（，），（ 3.3arcos.1|cos 4.01.1.11.0.02.20011212 2111 ACDnn nCABnzyxxzCAnDnzyAC12如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA=90 ，AC=BC=a ，点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D，BA 1AC1。（I）求证：BC 平面 A1ACC1； （II）求点 A1 到 AB 的距离（III）求二面角 BAA1C 的正切值 解：答案：如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA=90，AC=BC=a ，点 A1 在底面 ABC上
22、的射影恰为 AC 的中点 D，BA 1AC1。（I）求证：BC 平面 A1ACC1； （II）求点 A1 到 AB 的距离（III）求二面角 BAA1C 的正切值 解：（1）由题意，A 1D平面 ABC，A 1DBC。又 ACBC，BC 平面 A1ACC1（II）过 D 作 DHAB 于 H，又 A1D平面 ABC，ABA 1HA1H 是 H1 到 AB 的距离BA1AC1，BC平面 A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得 A1CAC1 A1ACC1 是菱形 A1A=AC=a, A1D= .a2313如图，正三棱柱 AC1 中，AB=2，D 是 AB 的中点，E 是 A1C1 的中点，F 是 B
23、1B 中点，异面直线 CF 与 DE 所成的角为 90.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角 CAFB 的大小.解：（1）取 BC、C 1C 的中点分别为 H、N ，连结 HC1，连结 FN，交 HC1 于点 K，则点 K 为 HC1 的中点，因FN/HC，则 HMCFMK，因 H 为 BC 中点BC=AB=2，则 KN= ，23,F,32MC则 HM= ，在 RtHCC1，HC 2=HMHC1，15HC解得 HC1= ， C1C=2.另解：取 AC 中点 O，以 OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为 h，则 C（0，1，0） ，F（ ） ，D（ ） ， E（
24、0，0，h） ，2,03h,23，由 CFDE，得 ，解得 h=2.)(),23(EF 213CF（2）连 CD，易得 CD面 AA1B1B，作 DGAF，连 CG，由三垂线定理得 CGAF，所以CGD 是二面角 CAFB的平面角，又在 RtAFB 中，AD=1 ，BF=1，AF= ，5从而 DG= tanCGD= ，,55DGC故二面角 CAFB 大小为 arctan .1A BB1C1A1DC14.已知 ABCD 是矩形，PD 平面 ABCD，PD=DC=a ， ，M、N 分别是2ADaAD、PB 的中点。（）求证：平面 MNC平面 PBC；（）求点 A 到平面 MNC 的距离。解：（I）
25、连 PM、MB PD平面 ABCD PDMD1 分 2222 33aABMaDPM又PM=BM 又 PN=NB MNPB3 分 ,22, CPBC得 NCPBPB平面 MNC5 分 平面 PBC平面 MNC平面 PBC6 分（II）取 BC 中点 E，连 AE，则 AE/MCAE/平面 MNC，A 点与 E 点到平面 MNC 的距离相等7 分取 NC 中点 F，连 EF，则 EF 平行且等于 BN 21BN平面 MNC EF平面 MNC，EF 长为 E点到平面 MNC 的距离9 分 PD平面 ABCD，BCDC BCPC.2412,2 aPBNEaPCB即点 A 到平面 MNC 的距离为 12
26、 分15如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长的 3，侧棱 AA1= D 是 CB 延长线上一,23点，且 BD=BC.（）求证：直线 BC1/平面 AB1D；（）求二面角 B1ADB 的大小；（）求三棱锥 C1ABB1 的体积.（）证明：CD/C 1B1，又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1 是平行四边形， BC1/DB1.又 DB1 平面 AB1D，BC 1 平面 AB1D，直线 BC1/平面 AB1D.（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B1B平面 ABD， B1EAD ，B1EB 是二面角 B1ADB 的平面角，BD=BC=AB，E 是 AD 的中点
27、， .23AC在 RtB1BE 中 ，B1EB=60。即二面角 B1ADB 的大小为 60.321BEtg（）解法一：过 A 作 AFBC 于 F，B 1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF平面 BB1C1C，且 AF= ,32AFSVBCBAC1113即三棱锥 C1ABB1 的体积为.8273)2(3 .827解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1 中，111ABCAB VVS即三棱锥 C1ABB1 的体积为.8273)4(321 C .82716如图，正三棱柱 ABCA1B1C1，BC=BB 1=1，D 为 BC 上一点，且满足 ADC1D.（I）求证：截面 ADC1侧面 B
28、C1；（II）求二面角 CAC1D 的正弦值；（III）求直线 A1B 与截面 ADC1 距离.（I）由题知： 11111 BCADCADBCABDC 面面平 面底 面底 面 4 分（II） DCBAEFFC1111)(,面又 面 面知 面由 连 结于作过 为 正 方 形面 点 于与连 结 故CEF 为二面角 CAC1D 的平面角6 分在 RtC1CD 中，求出 8 分5102sin,5EFF故（III） A1BDCABDAB中 点为 中 点为为 正 三 角 形又 知由 1;,)(面 AC1D，设 B 到面 ADC1 距离为 d10 分11AC面射 影在 面为 斜 线又 1D1AFEI12 分
29、531311111 dCSdSVABDADCABCADB注：其他证法相应给分17如图，在底面是直角梯形的四棱锥 中，AD BC， ABC90 ，且P，又 PA平面 ABCD，AD3AB 3PA3a。 arcsin5（I）求二面角 PCDA 的正切值；（II）求点 A 到平面 PBC 的距离。 BCD解：（1）在底面 ABCD 内，过 A 作 AECD，垂足为 E，连结 PEPBDHCEPA平面 ABCD，由三垂线定理知：PE CDPEA 是二面角 PCDA 的平面角2 分在 中，RtAEDaDE35， arcsin4 分AEDEasin35在 中，RtPtaAP二面角 PCDA 的正切值为 6
30、 分53（II）在平面 APB 中，过 A 作 AHPB，垂足为 HPA平面 ABCD， PABC又 ABBC，BC 平面 PAB平面 PBC平面 PABAH平面 PBC故 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离10 分在等腰直角三角形 PAB 中， ，所以点 A 到平面 PBC 的距离为Ha22a12 分18直角梯形 ABCD 中，BCAD，ADAB， ，VA 平面BCDm12ABCD。（1）求证：VCCD 。（2）若 ，求 CV 与平面 VAD 所成的角。VAm2（1）连结 ACABCo， 9045取 AD 中点 G，连 CG，则 ABCG 为正方形又 Do，Co45（4 分）A90
31、VA平面 ABCD，DCAC由三垂线定理：VCCD（6 分）（2）连 VG，由 面 VADCGADV是 CV 与平面 VAD 所成的角 （9 分）Bmmo2230，CV 与平面 VAD 所成角为 （12 分）19如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1= AB，点 E、M 分别为 A1B、C 1C 的2中点，过点 A1，B，M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N.（）求证：EM平面 A1B1C1D1；（）求二面角 BA1NB1 的正切值.（A） （）证明：取 A1B1 的中点 F，连 EF，C 1FE 为 A1B 中点EF BB12 分2又 M 为 CC1 中点 E
32、F C1M四边形 EFC1M 为平行四边形 EMFC1 4 分而 EM 平面 A1B1C1D1 . FC1 平面 A1B1C1D1 .EM平面 A1B1C1D16 分（）由（）EM平面 A1B1C1D1 EM 平面 A1BMN平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N 为 C1D1 中点过 B1 作 B1HA1N 于 H，连 BH，根据三垂线定理 BHA1NBHB1 即为二面角 BA1NB1 的平面角8 分设 AA1=a， 则 AB=2a， A1B1C1D1 为正方形A1H= 又A 1B1HNA1D1a5B1H= 42在 RtBB1H 中，tan BHB1=
33、即二面角 BA1NB1 的正切值为45aHB12 分45（B） （）建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2a，AA 1=a(a0)，则A1（2a，0，a） ，B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0） ，C 1（0，2a，a）2 分E 为 A1B 的中点，M 为 CC1 的中点 E（2a , a , ） ，M（0，2a, ）22EM/ A1B1C1D1 6 分（）设平面 A1BM 的法向量为 =（x, y , z ）n又 =（0，2a , a ） 由 ，得1 )20(aBnA,124,2zyxzxay9 分),4(an而平面 A1B1C1D1 的法向量为 .设二面角为 ，则)1,0(1
34、n又：二面角为锐二面角 ，11 分24|cos|1n 214cos从而 12 分45ta20如图，PA 平面 AC，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、PD 的中点.（）求证：AF平面 PCE；（）若二面角 PCDB 为 45，AD=2 ，CD=3，求点 F 到平面 PCE 的距离 .（）取 PC 中点 M，连结 ME、MF. ,21,/,21,/ CDAECDFM，即四边形 AFME 是平行四边形，2/；。 。 。 。分FAE且,/AF/EM， AF 平在 PCE，AF平面 PCE.4 分（）PA平面 AC，CDAD，根据三垂线定理知，CDPD PDA 是二面角PCDB 的平面角
35、，则 PDA=456 分 于是， PAD 是等腰直角三角形，AFPD，又 AFCDAF面 PCD.而 EM/AF, EM面 PCD.又 EM 平面 PEC, 面 PEC面 PCD.8 分在面 PCD 内过 F 作 FHPC 于 H，则 FH 为点 F 到平面 PCE 的距离.10 分由已知，PD=2 ，PF=2.17,21PCDPFHPCD 12 分34P21如图，正三棱柱 AC1 中，AB=2，D 是 AB 的中点，E 是 A1C1 的中点，F 是 B1B 中点，异面直线 CF 与 DE 所成的角为 90.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角 CAFB 的大小.解：（1）取 BC、C 1C
36、的中点分别为 H、N ，连结 HC1，连结 FN，交 HC1 于点 K，则点 K 为 HC1 的中点，因FN/HC，则 HMCFMK，因 H 为 BC 中点BC=AB=2，则 KN= ，23,F,32MC则 HM= ，在 RtHCC1，HC 2=HMHC1，15HC解得 HC1= ， C1C=2.另解：取 AC 中点 O，以 OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为 h，则 C（0，1，0） ，F（ ） ，D（ ） ， E（0，0，h） ，2,03h,213 ，由 CFDE，得 ，解得),1(),23(EF 0213CFh=2.（2）连 CD，易得 CD面 AA1
37、B1B，作 DGAF，连 CG，由三垂线定理得 CGAF，所以CGD 是二面角 CAFB的平面角，又在 RtAFB 中，AD=1 ，BF=1，AF= ，5从而 DG= tanCGD= ，,515DGC故二面角 CAFB 大小为 arctan .22如图，正方体 ，棱长为 a，E 、 F 分别为 AB、 BC 上的点，且1DAAEBFx （1）当 x 为何值时，三棱锥 的体积最大？BEF1（2）求三棱椎 的体积最大时，二面角 的正切值；B1 BEF1（3） （理科做）求异面直线 与 所成的角的取值范围A1（1） ，当 时，三xaxaVBEF )(6)(231 24)(3axx棱锥 的体积最大 （
38、2）取 EF 中点 O，由 ，所以EFOB1，就是二面角 的平面角在 Rt 中O1B1 EF，aEFB22 （3）在 AD 上取点 H 使 AH BF AE，则 ，tan11O 1/BACDHF， ，所以 （或补角）是异面直线 与 所1BACDHFFH1/EA1E1成的角 在 Rt 中， ，在 Rt 中， ，在 Rt； 2xa12xaHAE 中， ，在 中，xxHE22EHA1 EAH1221cos因为 ，所以 ， ，2xaa022a2ax，1cos1EA31EHA23 已知，如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， PG平面 ABCD，垂足为 G，G 在 AD 上，且 AG
39、= GD，BG GC，GB=GC=2，E 是 BC 的中点，四面体 PBCG 的体积为 .38（）求异面直线 GE 与 PC 所成的角；（）求点 D 到平面 PBG 的距离；（）若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求 的值.FCP解法一：（I）由已知 3821331 PGBPGSVBCBGPPG=42如图所示，以 G 点为原点建立空间直角坐标系 oxyz，则B（2，0，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，4）故 E（1，1，0） 102|,cos 3),()( GEP异面直线 GE 与 PC 所成的角为 arccos 4（II）平面 PBG 的单位法向量 )0,1(0n6)0,23
40、(45,|4| GDCGDB点 D 到平面 PBG 的距离为 823|0n（III）设 F（0，y , z ） 230)23()0,(,23( 01),2(),(),(),( yyyGCDGCzzO 则在平面 PGC 内过 F 点作 FMGC，M 为垂足，则 1,MCG123CGP解法二：（I）由已知 382131 PBPSVBCGBPPG=42在平面 ABCD 内，过 C 点作 CH/EG交 AD 于 H，连结 PH，则PCH（或其补角）就是异面直线 GE与 PC 所成的角.3在PCH 中， 18,20,PH由余弦定理得，cos PCH= 1异面直线 GE 与 PC 所成的角为 arccos
41、 40（II）PG 平面 ABCD，PG 平面 PBG平面 PBG平面 ABCD在平面 ABCD 内，过 D 作 DKBG，交 BG 延长线于 K，则 DK平面 PBGDK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离6 23432BCAGBC在DKG，DK=DGsin45= 2点 D 到平面 PBG 的距离为 8（III）在平面 ABCD 内，过 D 作 DMGC，M 为垂足，连结 MF，又因为 DFGCGC平面 MFD， GCFM由平面 PGC平面 ABCD，FM 平面 ABCD FM/PG由 GMMD 得：GM=GDcos45= 1023123321FCPGDMCGFP可 得由24如图，已知正
42、方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 AA1、BB 1 的中点，求：（I）CM 与 D1N 所成角的余弦值；（II）异面直线 CM 与 D1N 的距离解：（I）如图，以 D 为原点，DA、DC、DD 1 分别为 x、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，1则 C（0，2，0） 、D 1（0，0，2） 、M（2，0，1） 、N （2，2，1） ， （ 2，2，1） ， （2， 2，1） ，M3设 CM 与 D1N 所成的角为 ，则 cos 01C2()1()3|AA9 为钝角，CM 与 D1N 所成的角为 ，即 cos 1（解法 2：设 CM 与 D1N 所成的角为 ，则
43、cos ）1|CM|2()1()|3AA96（II）取 DD1 的中点 E，分别连接 EM、EB ，则 EMBC， EBD1N，B、C、E 、M 共面且 D1N平面 BCEM，xzyNMC1D1B1A1CDA BD1 到平面 BCEM 的距离 d 等于异面直线 CM 与 D1N 的距离， 8、 （ ）2 3 10、11 1BCEMACDBAMCDEBNAVV244即 SBCEMd34而 SBCEMBMBC 2 5d 12、5解法 2： 设 ， 的法向量为 （x，y，z）CM1DNn则 ，0xyz2x取 （0，1，2）8n异面直线 CM 与 D1N 的距离 d 121|25MnA25如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PA 底面 ABCD，PA=AD=2，点 M、N 分别在
