1、 1 第 5 章 线性系统的频域分析 【基本要求】 1正确理解频率特性的基本概念，熟练掌握频率特性的图形表示法。 2熟练掌握典型环节的频率特性及其特征。 3熟练掌握绘制开环系统奈氏图和Bode图的方法。 4重点掌握奈奎斯特稳定判据、频域性能指标的意义和计算。 6掌握开环对数频率特性与系统性能之间的关系，正确理解低、中、高三频段的概念。 7掌握由最小相位系统的开环Bode图确定系统传递函数的方法。 时域分析法是利用系统微分方程通过拉氏变换来求解系统的动态响应。这种方法较为直接，也符合人们的习惯。但求解过程比较麻烦，尤其是对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析，而且当系统的某些参数发生变化时，
2、系统性能的变化难以直接判断，很不方便。 根轨迹分析法是以系统传递函数为基础的图解分析法，它根据图形的变化趋势，可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，快速、简洁而实用，特别适用于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声以及难以建立数学模型等问题仍然无能为力。 频域分析法是以系统频率特性为基础的又一图解分析法。它以系统频率特性作为数学模型，可方便地用于控制系统的分析与设计。频域分析法具有如下特点： (1) 利用系统的开环频率特性图可直接分析闭环系统的性能，而不必求解闭环系统的特征根。 (2) 频域分析法具有明显的物理意义，可以用实验的方法确定系统的传递函数。对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具
3、有重要的实际意义。 (3) 对于二阶系统，频域性能指标和时域性能指标具有一一对应的关系。对高阶系统存在可以满足工程要求的近似关系，使时域分析法的直接性和频域分析法的直观性有机地结合起来。 (4) 可以方便地研究系统参数和结构的变化对系统性能指标带来的影响，为系统参数和结构的调整和设计提供了方便而实用的手段，同时可以设计出能有效抑制噪声的系统。 (5) 在一定条件下，可推广应用于某些非线性系统。频域分析法不仅适用于线性定常系统分析，而且还适用于传递函数中含有延迟环节和部分非线性系统的分析。 5.1 频率特性 5.1.1 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应，它是系统（或环节）对不同频率正弦信
4、号的响应特性。对于稳定的线性定常系统，当输入一频率为的正弦信号时，则系统到达稳态后，其输出是具有和2 输入同频率的正弦函数，而且其幅值和相位随的变化而变化。如图5-1所示。这一结论，除了用实验方法验证外，还可以从理论上予以证明。 图5-1 频率响应示意图 设线性定常系统的传递函数为 1 2 n( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) C s U s U sG sR s s p s p s p V s（5-1） 式中，-p1、-p2、-pi、-pn为传递函数G(s)的n个极点，它们可能是实数或共轭复数。对于稳定的系统，这些极点都位于s左半平面，即其实部Re-pi均为负数。
5、为下面分析简单，设G(s)的极点均为相异的实数极点（不影响最后的结论）。 设系统输入信号为 r( ) sinr t A t ，其拉氏变换为 r2 2( ) AR s s 。则系统的输出为 2 21 2( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( j )( j )r rnA AU s U s U sC s R sV s V s s s p s p s p s s nii 1 i j jC B Ds p s s （5-2） 式中Ci，B，D均为待定系数。对上式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为 inj ji t si 1( ) e ( e e ) ( ) ( )pt
6、 t tc t C B D c t c t （5-3） 式中，第一项 int ii 1( ) e ptc t C 由 G(s)的极点决定，是输出响应的暂态分量；第二项j js( ) e et tc t B D 由输入信号 ( )R s 和系统初始条件决定，是输出响应的稳态分量。对于稳定的系统，其极点-pi均具有负的实部，当t时，ct(t)0，其稳态分量为 j js( ) lim ( ) e et ttc t ct B D （5-4） 式中系数B和D由下列两式确定 r r2 2j( ) ( j ) ( j ) 2jsA AB G s s Gs （5-5） r r2 2jj j 2jsA AD G
7、(s) (s ) G( )s （5-6） 因G(j)可表示为 j ( )(j ) ( ) j ( ) ( )eG P Q A （5-7） 3 其中， 2 2 ( )( ) (j ) ( ) ( ) ( ) arctan( )QA G P QP ；。 由于 G(-j)是 G(j)的共轭复数，即： -j ( )( j ) (j )eG G ，将式(5-5)和式(5-6)代入式(5-4)得，稳态分量为 ( ) ( )r c( ) ( ) 2( )sin (j ) ( )sin ( )j t G j j t G js re ec t A G jjAA t G A t （5-8） 式中， c r ( )
8、A AA 为稳态输出的幅值； ( ) (j )G 为稳态输出的相位。 从 式(5-8)可以看出： (1) 线性定常系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位均是输入信号频率 的函数。输出与输入的幅值比为 ( ) (j )A G ，相位差为( ) (j )G 。 (2) 对于正弦输入，系统稳态的正弦输出与输入一一对应。 (3) 对所有的频率值()，线性系统输出与输入的一一对应关系可用稳态输出与输入之比值随变化的曲线来描述，这就是系统的频率特性。 下面以RC电路网络为例，说明频率特性的基本概念。 如图5-2所示，电路传递函数为 oi( ) 1( )( ) 1U sG sU
9、 s Ts 。其中，T RC 为电路时间常数。 图5-2 RC电路图 设输入信号为 i( ) sinu t A t ，其拉氏变换为 i 2 2( ) AU s s ，则输出的拉氏变换为 o 2 21( )1AU sTs s 经拉氏反变换得，电容两端的输出电压为 1o 2 2 2 2( ) e sin( arctan )1 1TtA T Au t t TT T 其稳态响应为 os o c2 2( ) lim ( ) sin( arctan ) ( )sin ( )1tAu t u t t T U tT 其中，稳态响应的幅值和相位分别为 c 2 2( ) ( ) arctan1AU TT ； 4
10、可见，RC 电路在正弦信号作用下，响应到达稳态时，输出信号为与输入信号同频率的正弦量；其幅值和相位均是输入信号频率的函数，其变化规律由系统的固有参数RC决定。 1频率特性的定义及意义 线性定常系统(或环节)在正弦输入信号的作用下，系统到达稳态时，输出与输入的复数比叫做系统(或环节)的频率特性，记为G(j)。方框图如图5-3所示。 (j )G (j )R (j )C 图5-3 频率特性方框图 对于一般的系统，其正弦输入的复数形式可表示为 j0r(j ) eR A ；其稳态输出对应的复数形式可表示为 j ( )c(j ) ( )eC A ，则其频率特性为 j ( )j ( )cj0r( )e(j
11、) ( )eeAG AA （5-9） 其中， ( )( ) (j ) crAA GA 称为幅频特性，表征系统稳态输出与输入的幅值之比； ( ) (j )G 称为相频特性，表征系统稳态输出与输入的相位之差。 因此频率特性的物理意义在于表征线性系统对于正弦信号幅值和相位的改变情况。显然，频率特性仅决定于系统的结构、参数，而与其它因素无关。 对于RC电路网络，其频率特性可写为 j ( )2 21 1(j ) e1 j1G TT （5-10） 比较式（5-10）和RC电路传递函数可知，只要将传递函数中的s以j置换，即可得到电路的频率特性。即 j1 11 j 1sT Ts （5-11） 此结论同样适用于
12、一般系统。即 j(j ) ( )sG G s （5-12） 2关于频率特性的几点讨论 (1) 频率特性G(j)为复数，有如下几种表示形式 幅频相频形式 ： (j ) (j ) (j )G G G ； 极坐标形式（幅相形式）： (j ) ( ) ( )G A ； 指数形式： j ( )(j ) ( )eG A ； 实频虚频形式： (j ) ( ) j ( )G P Q ； 三角函数形式： (j ) ( )cos ( ) jsin ( )G A 式中， ( ) (j )A G 为幅值比，是的函数，称为幅频特性； 5 ( ) (j )G 为相位差，是的函数，称为相频特性； P()为G(j)的实部，是
13、的函数，称为实频特性； Q()为G(j)的虚部，是的函数，称为虚频特性。 其关系如图5-4所示。 )(G(j )P( )Q( )A( )ReIm0图5-4 频率特性的图形表示 (2) 几种数学模型之间的关系 与传递函数、微分方程一样，频率特性也是一种数学模型，它包含了系统和元部件全部的结构特性和参数。三者之间存在一定的关系，如图5-5所示。 图5-5 三种数学模型之间的关系 (3) 有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适用。 (4) 频率特性虽然是用系统稳态响应定义的，但可以用来用分析系统全过程的响应特性，这一点可通过傅里叶变换加以证明。事实上，当 从0向变化时， (j )G 将对不同的
14、 作出反映，这种反映是由系统自身结构和参数决定的，所反映出不同的特性也正好反映了系统各种性能。由此还可以得到输入信号不限制为正弦信号，也可以是非周期信号，这时频率特性正是输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比。 (5) 频率特性具有明显的物理意义。由传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能，而频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力，并且具有三要素，即同频率、变幅值、移相位。因此，对稳定的系统，可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。 5.1.2 频率特性的求取 在对系统分析之前，首先应求取系统的频率特性。频率特性可以按定义、解析法和实验法三种方法来求取。 6 1由定义求取
15、 在已知系统传递函数的情况下，先求出系统正弦信号输入的稳态解，然后再求稳态解的复数和输入信号的复数之比，即得频率特性。 2解析法 由传递函数直接求取。即以 j取代传递函数中的s，就可求出系统的频率特性，即j(j ) ( ) sG G s 。 3. 实验法 给已知系统输入幅值不变而频率变化的正弦信号，并记录各个频率对应输出信号的幅值和相位，即可得到系统的频率特性。 1 1 1 12 2 2 2: (j ) (j ), ( ): j(j ) (j ), ( )G GG G : (j ) (j ), ( )n n n nG G 这种方法只能先绘出系统的频率特性曲线，然后再根据特性曲线分析系统的性能，
16、并可求出数学模型。 5.1.3 频率特性的图示法 在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线图，从这些曲线出发进行研究。因此为了掌握频域分析法，首先要了解并掌握频率特性的各种图示法。工程上常采用两种频率特性的图示形式，即极坐标图和对数坐标图。 1. 极坐标图 极坐标图是在复数平面中，描述以输入信号的频率 为参变量，频率特性幅值 ( )A 和相位 ( ) 之间关系的曲线图。所以极坐标图上的每一点可以用极坐标形式表示，也可以用复数形式表示。极坐标图主要用于对系统稳定性的研究，是由奈奎斯特(HNyquist)在1932年发明的，因此人们将这种图形又称为奈奎斯特图，简称奈氏图。图中的曲线称为幅相频率特
17、性曲线或奈奎斯特曲线，简称幅相曲线或奈氏曲线。 由于幅频特性 ( )A 是 的偶函数，相频特性 ( ) 是 的奇函数，当 从零变化到时的奈氏曲线与 从变化到零的奈氏曲线关于实轴对称。因此，通常只画出 从零变化到时的奈氏曲线，并在曲线上用箭头表示 增大的方向。 2. 对数坐标图 对数坐标图由两幅图组成：一幅是对数幅频特性图，表示对数幅值20lg ( )A 与频率的关系，即对数幅频特性曲线，其纵坐标为20lg ( )A ，常用 ( )L 来表示；另一幅是对数相频特性图，表示相位 ( ) 与频率 之间关系，即对数相频特性曲线，其纵坐标为 ( ) 。为了分析问题方便，通常将两幅图绘制在同一张对数坐标图
18、纸上，而且横坐标分度相同，称为对数频率特性图。两幅图的纵坐标都按线性分度，单位分别为分贝(dB)和度（）或弧度（rad），7 横坐标都是角频率，单位是 rad/s 或写为 s-1，采用 lg分度，但标注的是频率本身的自然值，因此横轴的刻度是不均匀的，如图5-6所示。 0( ) 图5-6 对数坐标系 这里需要注意的是，因 取值是 0，因此在横坐标 轴上不可能有零或负值，而且对于不同的系统，由于其实际的频率范围不同，因而其轴上的有效频率段也不相同。在以lg 分度的横坐标轴上，1-10的距离等于10-100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec(decade)表示。为了记念伯德（HWBode）对
19、经典控制理论所作的贡献，对数频率特性图又称为Bode图。 采用Bode图有以下优点： （1）轴的坐标刻度压缩了高频段，扩展了中低频段，能反映工程系统的实际情况。 （2）幅值取对数以后，可以将幅值增益的乘除运算降低为加减运算，使对数幅频特性图由曲线变为直线段的组合，可以用渐近线近似表示，简化了图形的绘制。 （3）对一些用分析法较难求得传递函数的环节或系统，可将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲线，能较容易估计被测系统的传递函数。 5.2 典型环节的频率特性 一个自动控制系统通常总是由若干典型环节组成，归纳起来有八类，即比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节、二阶微分
20、环节和延迟环节。这一节主要讨论这些典型环节的频率特性。 5.2.1 比例环节 由比例环节的传递函数可得其频率特性表达式为 j(j ) ( ) 0sG G s K （5-13） 8 1奈氏图 由比例环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 ( ) (j )( ) (j ) 0A G KG (5-14) 由此可绘制当=0变化时比例环节的奈氏图如图5-7所示。 ReIm0K图5-7 比例环节奈氏图 可以看出，比例环节的幅频特性和相频特性均与频率无关，奈氏曲线是复平面实轴上的一个点（K，j0），表明比例环节正弦稳态响应的幅值是输入信号的 K 倍，且与输入同相位。 2Bode图 比例环节的
21、对数幅频特性和对数相频特性表达式为 ( ) 20lg ( ) 20lg( ) 0L A K (5-15) 由此可绘制当=0变化时比例环节的对数幅频特性和对数相频特性图如图5-8所示。 0K1K10( ) /s-1/s-1L()/dB20lgK20lgK( ) 0 图5-8 比例环节Bode图 可以看出，比例环节的对数幅频特性曲线是平行于横轴的两条直线。 1K 时( ) 0dBL ，对数幅频特性 ( )L 是一条位于轴上方的水平直线，当0 1K 时 ( ) 0dBL ，对数幅频特性 ( )L 是一条位于轴下方的水平直线。而对数相频特性即 ( ) 曲线就是轴9 线。 5.2.2 积分环节 由积分环
22、节的传递函数可得其频率特性表达式为 jj1 1 1(j ) ( ) 90js sG G s s （5-16) 1奈氏图 由积分环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 90)(1)(A (5-17) 由此可绘制当=0变化时积分环节的奈氏曲线如图 5-9 所示，是与负虚轴重合，从无穷远处指向坐标原点的直线。 图5-9 积分环节奈氏图 2Bode图 积分环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 1( ) 20lg ( ) 20lg 20lg( ) 90L A (5-18) 由于Bode图的横坐标按lg刻度，故积分环节的对数幅频特性可视为自变量为lg，因变量为 ( )L 的函数式，其关
23、系在Bode图上是一条斜率为-20dB/dec的直线，并且它在=1s-1点穿过零分贝线。注意在画对数幅频特性曲线时，应在曲线上注明每一段的斜率值。 积分环节的对数相频特性曲线是一条位于轴下方，且平行于轴的水平直线。 由此可绘制积分环节的对数幅频特性和对数相频特性图如图5-10所示。 10 0-200.1 1 10)(-900L()/dB/s-1/s-1-20200.1 1 10图5-10 积分环节Bode图 由此可得，个积分环节1/s的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 1( ) 20lg 20 lg(j )( ) 90L （5-19） 式（5-19）表示个积分环节的对数幅频特性曲线是斜率为
24、20 dB/dec 的直线；对数相频特性曲线是幅值为-90的水平直线。 5.2.3 纯微分环节 由纯微分环节的传递函数可得其频率特性表达式为 j j(j ) ( ) j 90s sG G s s （5-20) 1奈氏图 由纯微分环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 ( )( ) 90A (5-21) 由此可绘制当=0变化时积分环节的奈氏曲线如图5-11所示，是与正虚轴重合，从坐标原点出发，趋向于无穷远的直线。 ReIm00图5-11 纯微分环节奈氏图 11 2Bode图 纯微分环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 ( ) 20lg( ) 90L (5-22) 比较式(5-
25、20)和式(5-16)以及式(5-22)和式(5-18)可以看出，纯微分环节和积分环节的频率特性互为“倒数”，其对数幅频特性和对数相频特性与积分环节互为“相反数”。因而其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别与积分环节以轴互为“镜像对称”。 纯微分环节的对数幅频特性是斜率为20dB/dec，过 1 的直线，对数相频特性是一条位于轴上方，且平行于轴的水平直线。如图5-12所示。 ( ) 图5-12 纯微分环节Bode图 5.2.4 惯性环节 由惯性环节的传递函数可得其频率特性表达式为 jj1 1(j ) ( )1 1 js sG G s Ts T （5-23) 1奈氏图 由惯性环节的频率特性表达
26、式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 21 1( )1 j 1 ( )1( ) arctan1 jA TTTT (5-24) 由式（5-24）可知，当 0 时，幅值 ( ) 1A ，相角 ( ) 0 ；当 时， ( ) 0A ，( ) 90 。可以证明，惯性环节的奈氏曲线是一个圆心为点(0.5, j0)、半径为0.5，位于第四象限的半圆。如图5-13所示。 12 图5-13 惯性环节奈氏图 2Bode图 惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 221( ) 20lg ( ) 20lg 20lg 1 ( )1 ( )( ) arctanL A T TT (5-25) 一阶及以上环节的对数幅
27、频特性曲线都有转折点，可分段绘制其渐近线，然后再加以修正；其对数相频特性是一条以转折点频率为中心的斜对称曲线。 (1) 低频段0(或1/T)，则由式(5-25)可得 0dB0L( )( ) （5-26） 式(5-26)表明，惯性环节的对数幅频和对数相频特性的低频段渐近线分别是 0dB 线和 0线，与其轴重合。如图5-14所示。 ( ) 图5-14 惯性环节Bode图 (2) 高频段(或1/T)，则由式(5-25)可得 ( ) 20lg( ) 90L T (5-27) 式(5-27)表明，惯性环节的对数幅频特性曲线高频段渐近线是一条斜率为-20dB/dec 的直线，对数相频特性曲线高频段渐近线是
28、一条-90的水平线。 （3）转折点 13 对数幅频特性曲线高、低频段的转折点即为高、低频段渐近线的交点，对数相频特性曲线高、低频段的转折点就是其对称点。两条曲线转折点频率相同。 令 0 0( ) 20lg 0dBL T ，或者令 0 0( ) arctan 45T 可得转折频率（也称交接频率）为 0=1/T （5-28） 转折频率求出后，就可方便的绘制出惯性环节Bode图的概略曲线，如图5-14所示。 将 T/10 代入式（5-25）可得转折点处的精确值为 0020lg 2 3dB45L( )( ) 由于对数幅频特性曲线渐近线接近于精确曲线。因此，在一些不需要十分精确的场合，就可以用渐近线代替
29、精确曲线进行系统分析。在要求精确曲线的场合，需要对渐近线进行修正。渐近线代替精确曲线必然存在误差L()，L()可按下式计算 L()= L()- La() （5-29） 式中，L()表示准确值，La()表示近似值。 图5-15为惯性环节的误差修正曲线。 图5-15 惯性环节对数幅频特性曲线的误差修正曲线 由图5-15可以看出，误差值相对于转折频率是对称的，最大误差发生在转折频率处，其误差值为-3dB。将误差曲线叠加到渐近线上，就可得到精确的对数幅频特性曲线，如图5-14中的曲线所示。 注意到相频特性 ( ) 是一条关于（0, 45 ）斜对称的曲线。 5.2.5 一阶微分环节 由一阶微分环节的传递
30、函数可得其频率特性表达式为 2 2j j(j ) ( ) 1 1 j 1 arctans sG G s Ts T T T （5-30) 1奈氏图 由一阶微分环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 2 2( ) 1( ) arctanA TT (5-31) 由式（5-30）可知，=0变化时, 奈氏曲线的实部始终为单位1，虚部则随线性增大到。即奈氏曲线由（1, 0）点线性增大到（, 90）。因此一阶微分环节的奈氏图如图5-16所示。 14 图5-16 一阶微分环节奈氏图 2Bode图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节互为倒数，容易求出其对数幅频特性和对数相频特性表达式为 2 2(
31、) 20lg 1( ) arctanL T T (5-32) 将式(5-32)与式(5-25)对比可知，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式也互为相反数，因而其对数频率特性曲线与惯性环节以轴为镜像对称，均位于轴上部。如图5-17所示。 ( ) 图5-17 一阶微分环节Bode图 5.2.6 振荡环节 由振荡环节的传递函数可得其频率特性表达式为 2 2 2 22jn n1 1 1(j )2 1 1 j2 1 ( ) j2sG T s Ts T T （5-33) 式中， n 1T 15 1奈氏图 由振荡环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 2 22 22 2n
32、 n1( )(1 ) 4A (5-34) nn22nnn22n2arctan1( )2180 arctan1 ， (5-35) 由式（5-33）和式（5-34）可知振荡环节奈氏曲线的起始段0时， ( ) 1 ( ) 0A ， ；终止段 时， ( ) 0 ( ) 180A ， 。可见振荡环节的奈氏曲线从(1, 0)点单调变化到(0, -180)点，位于第、象限。令 90)( ，则=n=1/T，此时 ( ) 1/2A ，可得奈氏曲线与负虚轴交点的极坐标为(1/2,-90)。因此振荡环节的奈氏曲线是随取值不同的一簇曲线，如图5-18所示。 由图5-18可见，幅频特性的最大值随的减小而增大，其值可能大
33、于1。可以求出，在对应于某一频率=r（r称谐振频率）处，会产生谐振峰值 rM 。 图5-18 振荡环节奈氏图 令 rd 0d A( ) （5-36） 解之可以得到振荡环节的谐振频率和谐振峰值分别为 16 2r nr r 21 21( )2 1M A (0 0.707)(0 0.707) （5-37） 由式（5-37）可以看出：0.7071 时没有谐振，A()单调衰减；00.707 时，出现谐振峰值，而且越小，谐振峰值Mr越大。峰值越大意味着动态响应的超调越大，动态过程越不平稳，这与时域分析法的结论是一致的。 2Bode图 振荡环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 2 2 2 222( )
34、20lg ( ) 20lg (1 ) (2 )2arctan 11 ( )( )2180 arctan 1( ) 1L A T TT TTT TT ， (5-38) 依照惯性环节 Bode 图的绘制方法，先概略绘制振荡环节对数幅频特性和对数相频特性高、低频段的渐近线，然后再平滑连接。 (1) 低频段0(或1/T)，则由式(5-38)可得 0dB0L( )( ) （5-39） 式(5-39)表明，振荡环节对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线的低频段渐近线与惯性环节一样，也分别是0dB和0水平线，分别与其轴重合。 (2) 高频段(或1/T)，由式(5-38)可得 n( ) 40lg 40lg( )
35、180L T (5-40) 式(5-40)表明，振荡环节对数幅频特性曲线的高频段渐近线是一条斜率为-40dB/dec 的直线，对数相频特性曲线的高频段渐近线是一条-180的水平线。 （3）转折点 令 0 0( ) 20lg 0dBL T 可得转折频率为 0=1/T=n （5-41） 由此可绘制出振荡环节Bode图的概略曲线，如图5-19所示。 17 1 100.1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 6 8 2.03.05.07.00.11.01.02.03.05.07.00.1L( )/dB( ) 200-20-400-60-120-180T=0.1=0.2=0.3=0.5=
36、0.7=1.0=0.=0.=0.=0.=0=1.0图5-19 振荡环节Bode图 以上得到的对数幅频特性曲线高、低频段两条渐近线都与阻尼比无关。实际上对数幅频特性在谐振频率处有峰值，峰值大小取决于阻尼比，而且在转折点0=n=1/T处误差最大。这一特点也必然反映在对数幅频特性上。因此用渐近线近似表示对数幅频特性曲线会存在误差，图5-20给出了振荡环节对数幅频特性曲线图的误差修正曲线。 误差(dB)200 15105 1051 100.1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 6 8 05.01.015.02.025.03.04.05.06.07.08.00.1误差（dB）T=0.
37、5=0.1=0.15=0.2=0.25=0.3=0.4=0.5=0.6=0.7=08= .图5-20 振荡环节对数幅频特性的误差曲线的误差曲线 振荡环节的对数相频特性也是与阻尼比 有关的一簇曲线，而且这些曲线都是以转折点(n,，-90)为斜对称。 18 5.2.7 二阶微分环节 由二阶微分环节传递函数可得其频率特性表达式为 2 2 2njn n1(j ) 2 1 1 ( ) j2 ( )sG T s Ts T （5-42) 由式(5-42)可知，二阶微分环节奈氏曲线的起始段 0 时， (j ) 1 0G ；终止段 时， (j ) 180G 。可见二阶微分环节的奈氏曲线从(1, 0)点单调变化到
38、(, -180)点，位于第、象限。与振荡环节一样，0.7071时没有谐振，A()单调变化；00.707时，会有谐振出现，读者可自行分析。 由于二阶微分环节和振荡环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式互为倒数，所以其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线都与振荡环节对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线曲线以轴为镜像对称，很容易绘制，这里不再赘述。 5.2.7 延迟环节 由延迟环节的传递函数可得其频率特性表达式为 j j(j ) ( ) e 1 ( )ss sG G s （5-43） 1奈氏图 由延迟环节的频率特性表达式可得其幅频特性和相频特性的表达式为 jj( ) (j ) 1 e 1( ) (j )
39、 e (rad) 57.3 ( )A GG (5-44) 由此可绘制当=0变化时延迟环节的奈氏曲线如图5-21a所示。 ( ) a) 奈氏图 b) Bode图 图5-21 延迟环节频率特性图 可以看出，延迟环节的奈氏曲线是复平面上的一个单位圆，表明延迟环节不会改变输入信号的幅值，但会使输入信号的相位滞后。 2Bode图 延迟环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式为 19 ( ) 20lg ( ) 20lg1 0dB( ) 57.3 ( )L A (5-45) 由此可绘制当=0变化时延迟环节的Bode图如图5-21b所示。 可以看出，其对数幅频特性是0dB线，而对数相频特性随的增大线性滞后，这将
40、会严重影响到系统的稳定性。 5.3 控制系统的开环频率特性 在掌握了典型环节频率特性的基础上，可以作出控制系统的开环频率特性曲线，即开环奈氏图和开环 Bode 图，进而可以利用这些图形进行系统的性能分析。而闭环频率特性由于作图较困难，因此较少使用。 5.3.1 开环奈氏图 开环奈氏图的绘制和典型环节一样，可以根据开环幅频特性和相频特性表达式用解析法绘制；也可以利用开环频率特性的一些特点近似绘制其概略图。开环奈氏图主要用于分析系统的稳定性，概略图虽然不太准确，但是完全可用于系统的稳定性分析。因此在实际系统分析中，往往只需要绘制其大致图形即可。 通常当 变化时，根据幅频特性和相频特性的变化趋势，就
41、可以概略画出系统开环奈氏图。要正确绘出曲线形状，就应掌握概略绘制开环奈氏曲线的“三要素”，即起点()、终点()和与坐标轴（主要是负实轴）的交点。 下面定性地来讨论控制系统开环频率特性的特点。 系统开环传递函数可表示为 mii 1n1( 1)( )( 1)llsKG ss Ts （5-46） 对应系统开环频率特性表达式为 mii 1n1(1 j )(j )(j ) (1 j )llKGT （5-47） 1开环奈氏曲线的起点 开环奈氏曲线的起点对应复平面上0的位置。由式（5-47）得，此时 00(j ) 90(j )K KG （5-48） 可见，奈氏曲线的起始位置与系统型别有关。不同型别的系统，其
42、奈氏曲线起点的表达式为 0 , 0(j0)90 , 1,2KG （5-49） 20 对于0型系统，当0时，奈氏曲线起始于(K, j0)点；对于型系统，奈氏曲线沿着与负虚轴平行的渐近线方向从无穷远处出发；对于型系统，奈氏曲线沿着与负实轴平行的渐近线方向从无穷远处出发。不同型别系统的开环奈氏曲线起点位置如图5-22 a所示。 a) 起点位置 b) 终点位置 图5-22 不同型别的系统开环奈氏曲线的起点和终点位置 2开环奈氏曲线的终点 开环奈氏曲线的终点对应复平面上的位置。由式（5-47）得，此时 (j ) 90 ( )(j )n m n mK KG n m （5-50） 其中，mii 11nllK KT 。 可见开环奈氏曲线的终止位置主要决定于传递函数的零点数m和极点数 n。 当n=m时， (j ) 0G K ，奈氏曲线终止于正实轴上的一个有限点（K, 0）；当 nm时， (j ) 0 90 (n-m)G ，奈氏曲线沿不同坐标轴方向终止于坐标原点。 开环奈氏曲线的终止位置情况见
