1、1 期中 检测 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1已知 A=30 ，下列判断正确的是（ ） A sinA= B cosA= C tanA= D cotA= 2如果 C 是线段 AB 的黄金分割点 C，并且 AC CB， AB=1，那么 AC的长度为（ ） A B C D 3（ 4分）如果锐角 的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ） A =30 B =45 C 30 45 D 45 60 4已知非零向量 、 之间满足 = 3 ，下列判断正确的是（ ） A 的模为 3 B 与 的模之比为 3： 1 C 与 平行且方向相同 D 与 平行且方向相反 5如果从甲船看乙
2、船，乙船在甲船的北偏东 30 方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A南偏西 30 方向 B南偏西 60 方向 C南偏东 30 方向 D南偏东 60 方向 6如图 1，在 ABC 中，点 D、 E 分别在边 AB、 AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 ED BC的是（ ） (A) BA CABD CE； (B) EA DAEC DB； (C) ED EABC AC； (D) 2 EA ACAD AB 二、填空题：（本大题共 12 小 题，每题 4 分，满分 48 分） 7如果 那么 _ 8如果两个相似三角形的相似比为 1： 4，那么它们的面积比为 9如图， D 为 ABC的边
3、AB 上一点，如果 ACD= ABC时，那么图中 是 AD和 AB的比例中项 第 9 题图 第 10 题图 第 12题图 10如图， ABC 中 C=90 ，若 CD AB 于 D，且 BD=4， AD=9，则tanA= 11计算： 2（ +3 ） 5 = 12如图， G 为 ABC 的重心，如果 AB=AC=13， BC=10，那么 AG 的长为 32ab baab3 13在直角坐标平面内有一点 A（ 3,4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为 ，那么角 的余弦值是 _ 14如图 13，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高是 20 米，背水坡
4、AB 的坡角为 30，迎水坡 CD 的坡度为 1 2，那么坝底 BC的长度等于 _米（结果保留根号） 图 13 15（ 4 分）在 ABC中，点 D， E 分别在边 AB， AC上， ADE ABC，如果 AB=4， BC=5， AC=6， AD=3，那么 ADE的周长为 16如果在一个斜坡上每向上前进 13 米，水平高度就升高了 5 米，则该斜坡的坡度 i= 17（ 4 分）一张直角三角形纸片 ABC， C=90 ， AB=24， tanB= （如图），将它折叠使直角顶点 C 与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为 4 18如图， D 为直角 ABC 的斜边 AB 上一点， DE AB 交
5、 AC 于 E，如果 AED沿 DE翻折， A 恰好与 B 重合，联结 CD交 BE 于 F，如果 AC8， tanA ，那么 CF： DF 三、解答题：（本大题共 7 小题，满分 78 分） 19(10分 )计算： cos30 5 20（ 10分）已知：如图，第一象限内的点 A， B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴上， BC x 轴，点 A 的坐标为（ 2， 4），且 cot ACB=求：（ 1）反比例函数的解析式； （ 2）点 C 的坐标； （ 3） ABC的余弦值 21（ 10 分 ） 如图， AB、 CD 分别表示两幢相距 36 米的大楼，高兴同学站在 CD 大楼的 P 处窗
6、口观察 AB 大楼的底部 B 点的俯角为 45 ，观察 AB 大楼的顶部 A 点的仰角为 30 ，求大楼 AB的高 6 22（本题满分 10 分） 已知：如图 9，四边形 ABCD 的对角线 AC和 BD相交于点 E， AD=DC，DC2=DEDB . 求证：（ 1） BCE ADE； （ 2） ABBC=BDBE 图 9 23如图，点 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合），作 EF AC交边 BC 于点 F，联结 AF、 BE交于点 G （ 1）求证： CAF CBE； （ 2）若 AE： EC=2： 1，求 tan BEF的值 7 24（ 14 分）如
7、图，在梯形 ABCD 中， AD BC， AC 与 BD 相交于点 O，AC=BC，点 E 在 DC的延长线上， BEC= ACB，已知 BC=9， cos ABC= （ 1）求证： BC2=CDBE； （ 2）设 AD=x， CE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （ 3）如果 DBC DEB，求 CE 的长 8 25（本题满分 14分，第（ 1）小题满分 3 分，第（ 1）小题满分 5分，第（ 1）小题满分 6 分） 如图 11， BAC的余切值为 2， AB 25，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A、 B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG
8、的另两个顶点 E、 F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧联结 BG，并延长 BG，交射线 EC 于点 P （ 1）点 D 在运动时，下列的线段和角中， _是始终保持不变的量（填序号）； AF； FP； BP； BDG； GAC； BPA； （ 2）设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域； （ 3）如果 PFG与 AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长 图 11 备用图 9 2017 年上海市宝山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1已知 A=30，下列判
9、断正确的是（ ） A sinA= B cosA= C tanA= D cotA= 故选： A 2如果 C 是线段 AB 的黄金分割点 C，并且 AC CB， AB=1，那么 AC 的长度为（ ） A B C D 故选： C 3二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为（ ） A x 0 B x 为一切实数 C y 2 D y 为一切实数 故选 B 4已知非零向量 、 之间满足 = 3 ，下列判断正确的是（ ） A 的模 为 3 B 与 的模之比为 3： 1 C 与 平行且方向相同 D 与 平行且方向相反 故选： D 5如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的
10、（ ） A南偏西 30方向 B南偏西 60方向 C南偏东 30方向 D南偏东 60方向 故选： A 6二次函数 y=a（ x+m） 2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 10 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 故选 C 二、填空题：（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分） 7已知 2a=3b，则 = 8如果两个相似三角形的相似比为 1： 4，那么它们的面积比为 1： 16 9如图， D 为 ABC 的边 AB 上一点，如果 ACD= ABC 时，那么图中 AC 是 AD 和 AB的比例中项 10如图， ABC
11、 中 C=90，若 CD AB 于 D，且 BD=4， AD=9，则 tanA= 11计算： 2（ +3 ） 5 = 2 + 12如图， G 为 ABC 的重心，如果 AB=AC=13， BC=10，那么 AG 的长为 8 13二次函数 y=5（ x 4） 2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是 y=5（ x 2） 2+2 14如果点 A（ 1， 2）和点 B（ 3， 2）都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，那么抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2 15已知 A（ 2， y1）、 B（ 3， y2）是抛物线 y= （ x 1） 2+ 的图
12、象上两点，则 y1 y2（填不等号） 16如果在一个斜坡上每向上前进 13 米，水平高度就升高了 5 米，则该斜坡的坡度 i= 1：2.4 11 17数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如 y=ax2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数 a、 b、 c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数 a、 b、 c，（请你求）在研究活动中被记作特征数为 1、 4、 3的抛物线的顶点坐标为 （ 2， 1） 18如图， D 为直角 ABC 的斜边 AB 上一点， DE AB 交 AC 于 E，如果 AED 沿 DE 翻折，A 恰好与 B 重合，联结 CD 交 BE
13、于 F，如果 AC 8， tanA ，那么 CF： DF 6： 5 解： DE AB， tanA ， DE= AD， Rt ABC 中， AC 8， tanA ， BC=4， AB= =4 ，又 AED 沿 DE 翻折， A 恰好与 B 重合， AD=BD=2 ， DE= ， Rt ADE 中， AE= =5， CE=8 5=3， Rt BCE 中， BE= =5， 如图，过点 C 作 CG BE 于 G，作 DH BE 于 H，则 Rt BDE 中， DH= =2， Rt BCE 中， CG= = ， CG DH， CFG DFH， = = = 故答案为： 6： 5 三、解答题：（本大题共
14、7 小题，满分 78 分） 19计算： cos30+0 解：原式 = +1= + +1= + +1 21（ 10 分）（ 2017静安区一模）已知：如图，第一象限内的点 A， B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴上， BC x 轴，点 A 的坐标为（ 2， 4），且 cot ACB=12 求：（ 1）反比例函数的解析式； （ 2）点 C 的坐标； （ 3） ABC 的余弦值 【分析】 （ 1）待定系数法求解可得； （ 2）作 AE x 轴于点 E， AE 与 BC 交于点 F，则 CF=2，根据 cot ACB= = 得AF=3，即可知 EF，从而得出答案； （ 3）先求出点 B 的坐
15、标继而由勾股定理得出 AB 的长，最后由三角 函数可得答案 【解答】 解：（ 1）设反比例函数解析式为 y= ， 将点 A（ 2， 4）代入，得： k=8， 反比例函数的解析式 y= ； （ 2）过点 A 作 AE x 轴于点 E， AE 与 BC 交于点 F，则 CF=2， cot ACB= = ， AF=3， EF=1， 13 点 C 的坐标为（ 0， 1）； （ 3）当 y=1 时，由 1= 可得 x=8， 点 B 的坐标为（ 1， 8）， BF=BC CF=6， AB= =3 ， cos ABC= = = 【点评】 本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关
16、 键 21如图， AB、 CD 分别表示两幢相距 36 米的大楼，高兴同学站在 CD 大楼的 P 处窗口观察AB 大楼的底部 B 点的俯角为 45，观察 AB 大楼的顶部 A 点的仰角为 30，求大楼 AB 的高 解：如图，过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 E， PD AB， DB AB， 四边形 PDBE 是矩形， BD=36m， EPB=45， BE=PE=36m， AE=PEtan30=36 =12 （ m）， AB=12 +36（ m） 答：建筑物 AB 的高为 米 22直线 l： y= x+6 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B，过 A、 B 两点的抛物线 m 与 x 轴的另
17、一个交点为 C，（ C 在 B 的左边），如果 BC=5，求抛物线 m 的解析式，并根据函数图象指出当 m 的函数值大于 0 的函数值时 x 的取值范围 14 解： y= x+6 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B， x=0 时， y=6， A（ 0， 6）， y=0 时， x=8， B（ 8， 0）， 过 A、 B 两点的抛物线 m 与 x 轴的另一个交点为 C，（ C 在 B 的左边）， BC=5， C（ 3， 0） 设抛物线 m 的解析式为 y=a（ x 3）（ x 8），将 A（ 0， 6）代入，得 24a=6，解得 a= ， 抛物线 m 的解析式为 y= （ x 3）（ x 8
18、），即 y= x2 x+6； 函数图象如右：当抛物线 m 的函数值大于 0 时， x 的取值范围是 x 3 或 x 8 23如图，点 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点（不与 A、 C 重合），作 EF AC 交边 BC 于点 F，联结 AF、 BE 交于点 G （ 1）求证： CAF CBE； （ 2）若 AE： EC=2： 1，求 tan BEF 的值 （ 1）证明： 四边形 ABCD 是正方形， ABC=90， EF AC， FEC=90= ABC， 又 FCE= ACB， CEF CAB， ，又 ACF= BCE， CAF CBE； （ 2） CAF CBE， CAF
19、= CBE， BAC= BCA=45， BAF= BEF， 15 设 EC=1，则 EF=1， FC= ， AE： EC=2： 1， AC=3， AB=BC= AC= ， BF=BC FC= ， 25（ 14 分）（ 2017静安区一模）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， AC 与 BD 相交于点 O， AC=BC，点 E 在 DC 的延长线上， BEC= ACB，已知 BC=9， cos ABC= （ 1）求证： BC2=CDBE； （ 2）设 AD=x， CE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （ 3）如果 DBC DEB，求 CE 的长 【分析】 （ 1）只要
20、证明 DAC CEB，得到 = ，再根据题意 AC=BC，即可证明 （ 2）过点 C 作 CF AB 于 F， AG BC 于 G， DH BC 于 H由 CEB DAC，得= ，由此即可解决问题 （ 3）首先证明四边形 ABCD 是等腰梯形，再证明 ABG DCH，推出 CH=BG=2，推出 x=GH=BC BG CH=9 2 2=5，再利用（ 2）中即可即可解决问题 【解答】 解：（ 1） DCB= ACD+ ACB， DCB= EBC+ BEC， ACB= BEC， ACD= EBC， AD BC， DAC= ACB= CEB， DAC CEB， = ， 16 BCAC=CDBE， AC
21、=BC， BC2=CDBE （ 2）过点 C 作 CF AB 于 F， AG BC 于 G， DH BC 于 H 在 Rt CBF 中， BF=BCcos ABC=9 =3， AB=6， 在 Rt ABG 中， BG=ABcos ABC=6 =2， AD BC， DH=AG， DH2=AG2=AB2 BG2=62 22=32， AG DH， GH=AD=x， CH=BC BG GH=7 x， CD= = = ， CEB DAC， = ， = ， y= ， y= （ x 0 且 x 9） （ 3） DBC DEB， CDB= BDE， CBD DBC， DBC= DEB= ACB， OB=OC，
22、 AD BC， = ， 17 AC=BD， 四边形 ABCD 是等腰梯形， AB=CD， ABC= DCB， AGB= DHC=90， ABG DCH， CH=BG=2， x=GH=BC BG CH=9 2 2=5 CE=y= 【点评】 本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会 添加常用辅助线，属于中考压轴题 25如图（ 1）所示， E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、 Q 同时从点 B 出发，点 P 以1cm/秒的速度沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止，点 Q 以 2cm/秒的速度沿
23、BC 运动到点 C 时停止设 P、 Q 同时出发 t 秒时， BPQ 的面积为 ycm2已知 y 与 t 的函数关系图象如图（ 2）（其中曲线 OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段） （ 1）试根据图（ 2）求 0 t 5 时， BPQ 的面积 y 关于 t 的函数解析式； （ 2）求出线段 BC、 BE、 ED 的长度； （ 3）当 t 为多少秒时，以 B、 P、 Q 为顶点的三角形和 ABE 相似； 18 （ 4）如图（ 3）过 E 作 EF BC 于 F， BEF 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度，如果 BEF中 E、 F 的对应点 H、 I 恰好和射线 BE、 CD 的交点 G
24、 在一条直线，求此时 C、 I 两点之 间的距离 解：（ 1）观察图象可知， AD=BC=5 2=10， BE=1 10=10， ED=4 1=4， AE=10 4=6 在 Rt ABE 中， AB= = =8， 如图 1 中，作 PM BC 于 M ABE MPB， = ， = ， PM= t， 当 0 t 5 时， BPQ 的面积 y= BQPM= 2t t= t2 （ 2）由（ 1）可知 BC=BE=10， ED=4 （ 3） 当 P 在 BE 上时， BQ=2PB， 只有 BPQ=90，才有可能 B、 P、 Q 为顶点的三角形和 ABE 相似， BQP=30，这个显然不可能， 当点 P
25、 在 BE 上时，不存在 PQB 与 ABE 相似 当点 P 在 ED 上时，观察图象可知，不存在 当点 P 在 DC 上时，设 PC=a，当 = 时， = ， a= ， 此时 t=10+4+（ 8 ） =14.5， t=14.5s 时， PQB 与 ABE 相似 （ 4）如图 3 中，设 EG=m， GH=n， DE BC， = ， = ， m= ， 在 Rt BIG 中， BG2=BI2+GI2， （ ） 2=62+（ 8+n） 2， n= 8+8 或 8 8 （舍弃）， BIH= BCG=90， B、 I、 C、 G 四点共圆， BGH= BCI， GBF= HBI， GBH= CBI， GBH CBI， = ， = ， IC=
