1、- 1 -普通高考数学科一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一课标要求1平面向量的数量积通过物理中“功“ 等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向
2、量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 59 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三要点精讲1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作 ， ，则A A（ ）叫 与 的夹角；OABbab说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， 与 反向；ab（3）当 时， 与 垂直，记 ；ab（4）注意在两向量的夹角定义，两
3、向量必须是同起点的，范围 0180。（2）数量积的概念已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 叫做 与 的abababC- 2 -数量积（或内积） 。规定 ；0a向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影。投影的绝对值称b|bba为射影；（3）数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积。a（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系： 。2|乘法公式成立；22abab；22ab平面向量数量积的运算律交换律成立： ；ab对实数的结合律成立： ；abR分配律成立： 。cc向量的夹角：cos = = 。os,ab 221yxyx当且仅当两个非零向量 与 同
4、方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =1800，同时ab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。0（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 ，则 = 。12(,)(,)axybab12xy（6）垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 。ab两个非零向量垂直的充要条件： O ，平面向量数量021yx积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设 ，则 或 。),(yxa22|yxa2|yxa如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，那么),(1x),(2y- 3 -(平面内两点间的距离公式) 。2121()(| yxa2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）
5、向量在物理中的应用。四典例解析题型 1：数量积的概念例 1判断下列各命题正确与否：（1） ；0a（2） ；（3）若 ，则 ；,bc（4）若 ，则 当且仅当 时成立；a0a（5） 对任意 向量都成立；()()c,bc（6）对任意向量 ，有 。2a解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚 为零a0向量，而 为零。a0例 2 （1）若 、 、 为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）bcA B)()( cbacb)(Cm（ ）=m +m Da )(（2）设 、 、 是任意的非零平面向量,且相互不共线
6、,则bc（ ） （ ） = | | | | （ ） （ ） 不0abbcab与 垂直 （3 +2 ） （3 2 ）=9| |24| |2 中，是真命题的有（ ）cabA. B. C. D.解析：（1）答案：D；因为 ，而cbacos|)(；而 方向与 方向不一定同向。acbaos|)(（2）答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、 | |、| |恰为一个三角形的三条边长，由 “两边之差小于第三边 ”，故 真；因为- 4 -（ ） （ ） =（ ） （ ） =0，所以垂直.故假；bcabcacbc（3 +2 ） （3 2 ）=9 4 =9| |24| |2 成立。故真
7、。b点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型 2：向量的夹角例 3 （1）已知向量 、 满足 、 ，且 ，则 与 的夹角为（ a1|4|2bab）A B C D643（2）已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,sin ),且 ，那么 与 的夹角ababab的大小是 。（3）已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的012,3cdcd夹角。（4）| |=1，| |=2， = + ，且 ，则向量 与 的夹角为 （ abcabcab）A30 B 60 C120 D150解析：（1）C；（2） ；2（3）由题意， ，且 与 的夹角为 ，1abab
8、012所以， ，0cos，2c()(2)2247b，7同理可得 。13d而 ，c 217(2)()73abab设 为 与 的夹角，d则 。1829372cos（4）C；设所求两向量的夹角为 cabc 2.()0cabab- 5 -即：2|cosab2|1cos2ab所以 10.点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式 ，要掌握向量坐标形式的运算。|cosba向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于 这个公式的变形应.|cos用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。例 4 （1）设平面向量 、 、 的和 。如果向量 、 、 ，1a230321a1b23满足 ，且 顺时针旋转
9、后与 同向，其中 ，则（ ）|2|iibi 0oib,iA + + = B - + =13b0123C + - = D + + =2 b0（2）已知 且关于 的方程 有实根, 则 与 的夹角,|ax|2axab的取值范围是（ ）A B C D6,0,33,6解析：（1）D；（2）B；点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。题型 3：向量的模例 5 （1）已知向量 与 的夹角为 ， 则 等于（ ）ab120o3,1,abA5 B4 C3 D1（2）设向量 满足 , ,则 （ ）,cc|,|2|cA1 B2 C4 D5解析：（1）B；（2）D；点评：掌握向量数量积的逆运算 ，以
10、及 。Qbacos|2|a例 6已知 （ 3，4） ， （4，3） ，求 x,y 的值使(x +y ) ，ab且x +y =1。b解析：由 （ 3，4） ， （ 4，3） ，有 x +y =(3x+4y,4x+3y)；ba又（x +y ） (x +y ) 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；aa- 6 -即 25x+24y ；又x +y =1 x +y ；abab（x+4y） （x+3y） ；整理得 25x 48xy+25y 即 x(25x+24y)+24xy+25y ；由有 24xy+25y ；将变形代入 可得：y = ；75再代回 得： 。75324yx和点评：这里两个条件互相制约，注
11、意体现方程组思想。题型 4：向量垂直、平行的判定例 7已知向量 ， ，且 ，则 。)3,2(a)6,(xbba/x解析： ， ， ， 。b/11yx34例 8已知 ， ， ，按下列条件求实数 的4,m2n值。 （1） ；（2） ； 。mn/n()解析： ,32,ab7,8ab（1） ；0874952（2） ；/mn81(3) 084572322。512点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。题型 5：平面向量在代数中的应用例 9已知 。abcdacbd22111， ， 求 证 ： |分析： ，可以看作向量 的模的平方， )()(dcyx， 而 则是 、 的数量积，从而运用数
12、量积的性质证出该不等式。cdxy证明：设 )()(dcba， - 7 -则 。22| dcybaxbdacyx ， 1|22dc，点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。|ababab， ；例 10已知 ，其中 。cosincosin， ， ， 0（1）求证： 与 互相垂直；ab （2）若 与 （ ）的长度相等，求 。kk0解析：（1）因为 ()()ababab 2 2ab2222220|cosincosin所以 与 互相垂直。 （2） ，kabk ，cossin，所以 ，|cskk21，|oab因为 ，|kab所以 ，k2 211cscos有 ，koos因
13、为 ，故 ，0c0又因为 ，所以 。2点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。- 8 -题型 6：平面向量在几何图形中的应用例 11已知两点 ，且点 P（x，y）使得 ，)01(， NMMNP成公差小于零的等差数列。PNP，（1）求证 ；)(32xyx（2）若点 P 的坐标为 ，记 与 的夹角为 ，求 。0，PNtan解析：（1）略解： ，由直接法得12yxNM)0(32xyx（2）当 P 不在 x 轴上
14、时， |21tansi|0yMNSMN而 2|1)1()( 2000 MNyxxP ，所以 ，当 P 在 x 轴上时， ，上式仍成立。|tan0ytan， y P M O N x 图 1点评：由正弦面积公式 得到tan21tancos|2sin|21 bbbaS了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。例 12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB 是 O 的直径，点 P 是O 上任一点（不与 A、B 重合） ，求证：APB 90。- 9 -证明：联结 OP，设向量 ，则 且 ，bOPaA， aBbaOPAbaOPB0|a|A22，即APB 90。点评：平面向量
15、是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型 7：平面向量在物理中的应用例 13如图所示，正六边形 PABCDE 的边长为 b，有五个力 、PDCBPA、作用于同一点 P，求五个力的合力。PE解析：所求五个力的合力为 ，如图 3 所示，以 PA、PE 为边PEDCBPA作平行四边形 PAOE，则 ，由正六边形的性质可知 ，且 O 点EOb|PA|在 PC 上，以 PB、PD 为边作平行四边形 PBFD，则 ，由正六边形的性质可知BF，且 F 点在 PC 的延长线上。b3|P由正六边形的性质还可求得 b2|PC故由向量的加法可知
16、所求五个力的合力的大小为 ，方向与 的方向b632PC相同。- 10 -五思维总结1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而 abab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，b也不能用“”代替；（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 0，且 =0，不ab能推出 = 。因为其中 cos有可能为 0；b0（4）已知实数 a、b、c( b0)，则 ab=bc a=c。但是 = abc；
17、ca如右图： = | | |cos = | |OA|， c = | |c|cos = | |OA| = ，但 babbabca ；c(5)在实数中，有( ) = ( )，但是( ) ( )，显然，这是因为左端abcabc是与 c 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立： ；abcc（2）消去律不成立 不能得到 ；b（3） =0 不能得到 = 或 = 。aba03向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成
18、知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。- 11 -向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式 ，沟通了向量2a与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向
19、量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量 在 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定ab比分点公式中的 随分点 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。5突出向量与其它数学知识的交汇“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。
