1、2017 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示【课前小测摸底细】1.【课本典型习题】在ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP 2C，点 Q 是 AC 的中点，若PA 4,3， Q 1,5，则 BC等于( )A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)【答案】 B【解析】 3PC ( 2Q PA) 6 3P 6,012,961(), ,选 2. 【2015 高考新课标 1，文 2】已知点 (0,1),2B，向量 (4,3)AC，则向量BC( )A. 7,4 B. (7,4) C. (,4) D. (1,)【答案】A【解析】 BOA
2、=（3,1） ， BCA=(-7,-4)，故选 A. 3. 【2016 年高考四川文数】在平面内，定点 A，B，C ，D 满足 A= B= DC, AD= C=D=-2，动点 P，M 满足=1， P= M，则2的最大值是( )（A） 43 （B） 49 （C） 3764 （D） 3724【答案】B【解析】甴已知易得 1220,AADBBC.以 为原点，直线 为 x轴建立平面直角坐标系，则 ,3,1,设,Py由已知 1P，得 2xy，又1313,22xyxyPMCBM 224B，它表示圆 2xy上点 ,xy与点1,3距离平方的1，222max149314B，故选 B4. 【改编自北京高考】向量
3、a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若cab( ，R)，则 _【答案】 32 5. 【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 ab，则 m=_. 【答案】 6【解析】因为 ab，所以 2430m，解得 6【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现【经典例题精析】考点 1 平面向量基本定理及其应用【1-1】 如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设AD a， B b，若 A2
4、DC，则 O_(用向量 a和 b表示)【答案】 21a3b【课本回眸】平面向量基本定理如果 12e， 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a，有且只有一对实数 ， ，使 12ae+.其中，不共线的向量 12e， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【方法规律技巧】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a都可被这个平面的一组基底 12e， 线性表示，且在基底确
5、定后，这样的表示是唯一的【新题变式探究】【变式一】如图，已知 AP 43B，用 OA， 表示 P，则 O等于( )A. 13OA 4B B. 13OA 4B C. 13OA 4B D. 13OA 4B【答案】C【解析】 OP A 43AB O 43 ( A) 13O 4B，选 C.【综合点评】在几何图形中应用平面向量基本定理，往往要借助于几何图形的特征，灵活应用三角形法则、平行四边形法则考点 2 平面向量的坐标运算【2-1】 【百强校】2016 届海南省海南中学高三考前模拟十二】已知向量1,31,2,4ABCAD，则 C（ ）A 4 B 09 C 2,1 D 2,9【答案】D【2-2】 【百强
6、校】2016 届广西柳州市高三下 4 月模拟】已知向量 (,)(1,2)axyb，且 (1,3)ab，则 |2|ab等于（ ）A1 B3 C4 D5【答案】D【解析】因 (1,3)ab, (,2),故 (,1)a,所以 2(4,3)ab,故 2|435ab,故应选 D.【课本回眸】1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ,ij作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 axyij ，这样，平面内的任一向量 a都可由 x
7、、y 唯一确定，因此把 (,)xy叫做向量 a的坐标，记作(,)axy，其中 x 叫做 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a在 y 轴上的坐标(2)若 12()AB， ， ， ，则 2121()AxB ， 3平面向量的坐标运算(1)若 12()()axybxy， ， ， ，则 1212()aby， ；(2)若 ， ，则 ， (3)设 12()()AxyB， ， ， ，则 2121()AxyB ， ，2121|()AxyB .【方法规律技巧】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息【新题变式探究】【
8、变式一】 【北京卷】已知向量 2,4a， 1,b，则 2ab（ ）A.5,7 B. 59 C.3,7 D.39【答案】A【解析】因为 2(4,8)ar，所以 2(4,8)1,abr=5,7，故选 A.【变式二】 【百强校】2016 届河北省衡水中学高三下学期一模】已知平面直角坐标系内的两个向量， 1,3m，且平面内的任一向量 c都可以唯一的表示成cab（ ,为实数） ，则 的取值范围是（ ）A ,2 B 2, C , D ,2,【答案】D【综合点评】涉及平面向量坐标运算的题目，还常常与平面解析几何曲线方程有关.灵活应用曲线的方程，联立方程组，利用函数方程思想予以解答.考点 3 平面向量共线的坐
9、标表示【3-1】 【百强校】2016 届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】向量1,tancos,13b，且 /ab，则 cos2（ ）A B 3 C 3 D 23【答案】A【3-2】设向量 a=21x,， b=14x,，则“ 3x”是“ a/b”的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 3x时， 2,a， 4,b，此时 /ab；当 /时，148，解得 3x.所以“ x”是“ ”的充分而不必要条件.【课本回眸】向量共线的充要条件的坐标表示若 12()()axybxy， ， ， ，则 ab 120xy-.【方法规律技巧】1.向量
10、共线的充要条件有两种：（1） ab (0)=.（2）若 12()()axybxy， ， ， ，则 ab 120xy-.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.【新题变式探究】【变式一】 【百强校】2015-2016 学年河北省武邑中学】已知向量2,3cos,inab，且 /ab，则 tn（ ）A B 32 C 23 D 23【答案】A【解析】由 /ab，可知 2sin3cos0，解得 tan2，故选 A.【变式二】 【2016 届山东省德州市高三上学期期末】已知向量 =（2，2） ，=（ cos， sin） ，则向量 的模的最小值是（
11、 ）A3 B3 C D2【答案】C【综合点评】涉及平面向量坐标运算的题目，还常常与向量的共线、垂直有关，向量的坐标常常与三角函数有关.关键是根据向量共线的充要条件，建立方程（组）解题.考点 4 平面向量共线的应用【4-1】 【百强校】2016 届福建省上杭县一中高三 12 月考】设 (1,2)OA，(,1)OBa， (,0)Cb， ,0a， 为坐标原点，若 、 B、 C三点共线，则 12ab的最小值是（ ）A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】 (1,)a， (,1)ba，若 A、 B、 三点共线， /ABC，由向量共线定理得 ， 2，故248abab【4-2】如图，在 ABC中, 13N,
12、 P是 B上的一点 ,若 29APmBC ,则实数m的值为( ) A 1 B 31 C 19 D 3【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1） ab (0)=.（2）若 12xyxy， ， ， ，则 ab 120xy-.【方法规律技巧】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便.【新题变式探究】【变式一】 【百强校】2016 届天津市和平区高三第四次模拟】设两个向量2,cos,sin2ab，其中 ,R若 2ab，则 的最小值为_【答案】 6-【变式二】如图所示，在ABCD 中，已知 ，AC 与 BE 相交于点 F， ，AE 13BC AF AC 则 _.
13、【答案】 14【解析】设 a， b.则 13ab.而 a ，BA BC BE BA AE AC 所以 ()b AF AC 故 ()(1abab .BF BA AF 与 共线，且 a 与 b 不共线，BE BF 11,43.【综合点评】平面向量共线的应用，主要有两种情况，一是已知向量的坐标和两向量共线求参数值（或范围） ，利用向量共线的充要条件，建立方程（组）或建立函数式，应用函数方程思想求解；二是涉及几何图形的问题，从不同角度，利用三点共线，确定共线向量，建立方程（组）求解.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧
14、上的任意一点，设向量 为,ADC 易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解正确解析：以 A为 原 点 ， 以 B所 在 直 线 为 x轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 .设 正 方 形 BCD的 边 长 为 1，则 1E00A02（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 设 Pcosin(,)（ ， ） ，.又向 量 ,APDEC所以， 1csicossin2（ ， ） （ ， ） （ ， ） ， o 2sin，2sincosi 3 ， 2sinco(2sin)3si3sin 1co2co 由 题 意 得 010i，
15、 ， ， 当 cos1时 ， 同 时 ， sin时 ， 取 最 小 值 为 .温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数“与“ 形“反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】 【河南省豫北重点中学 2016 届高三下学期第二次联考】已知平面向量 ,abc，满足 1ababc，则 的最大值为 M_.【答案】 31a+ba-bbaC BDAE
