1、数据结构的提炼与压缩,上海市上海中学 曹钦翔指导教师：上海市上海中学 毛黎莉,数据结构的“化繁为简”,减少存储规模化简存储结构,时空复杂度降低处理方式多样,“化繁为简”的三种手段,提炼：忽略无效信息，减少存储规模压 ：调整存储方式，化简存储结构缩 ：合并重复信息，减少存储规模,1.二维结构的化简,问题一：Ural 1568 Train car sorting问题描述：对于一个序列an，定义一种操作，将an分成两个子列，把其中一个置于另一个前面，得到一个新的序列。现给出一个序列（这个序列是1到n的一个排列），求一种方案，通过最少的操作次数是它变成升序序列。,一个操作的例子,5 4 3 2 1,5
2、 3 2 4 1,5 3 2 4 1,算法,（5，3，2，4，1）,优化数据结构,朴素实现，单次操作复杂度O(n2)。需要优化,零元素过多，形成冗余,提炼：忽略零元素,问题二：CEOI 2007 Day 2 Necklace,问题描述：要求编译一个库，能够对若干已知的整数串进行两个操作：（1）在某个已知串的左端或右端增加或减少一个元素，得到一个新的已知的串。（2）输出某个已知串的最左端或最右端的数。在问题的一开始，只有一个已知的串：空串。,分析,朴素方法：每个串分别储存复杂度过高，难以承受,大量重复信息，空间严重浪费,缩：合并重复信息,两个特例,星形 链形,特例,存储方式,数据结构:Left-
3、Right Tree,添加新结点,删除结点,转化结论,已知树中某链的两端点，求底部端点的父亲已知树中某链的两端点，求顶部端点在链中的儿子,2.树形结构的化简,问题五：问题二的遗留问题问题描述：给定一棵有根树，在线回答两种询问：（1）已知树中某链的两端点，求底部端点的父亲（2）已知树中某链的两端点，求顶部端点在链中的儿子,分析,提炼：后代信息成为冗余，不再储存,转化：顶结点的儿子底结点的超级祖先,数据结构:Supper Father,Su(x,0),Su(x,2),Su(x,1),用Su(x,k)表示结点x的第2k代祖先,3.图结构的化简,问题六：ural 1557 Network Attack
4、问题描述：给定一个无向连通图，若从中删去两条边能使它不连通，求所有这样的方案的总数。图点数n边数m。,分析,核心问题：图结构复杂不易处理,关键信息：连通性,压：以图的DFS树为解题突破口,两种情况,只有两条边：一树边一回边,只有两条边：两条树边,X,X,Y,Y,Z,小结,因题而易，用好“三大手段”提炼：忽略无效信息，减少存储规模压 ：调整存储方式，化简存储结构缩 ：合并重复信息，减少存储规模,谢谢,算法,原序列的最简母矩阵中偶数行的非零元素，形成一个子列，前置。原序列的最简母矩阵中奇数行的非零元素，形成一个子列，后置。形成新序列。不断重复，直到的到升序列。,2.树形结构的化简,问题三：浙江20
5、07年省选 捉迷藏问题描述：给定一棵树，每个节点要么是黑色，要么是白色，能执行一个操作：把某一个点取反色。动态维护并返回树中距离最远的黑色点对。,分析,问题类型：局部参数调整+整体属性返回,解题障碍：树形结构不易整体处理,压：线性结构存储“点对距离”,数据结构:括号编码,A,B,C,D,E,ABCDE, ,数据结构:括号编码,存储方式：（） （2，1）,结论：对于两个点PQ，如果介于某两点PQ之间编码S可表示为(a,b)，PQ之间的距离就是a+b。,数据结构:括号编码,对于（a,b)=(a1,b1)+(a2,b2)a+b=a1+b2+|a2-b1|=a1+b2+Maxa2-b1,b1-a2 =
6、Max(a1+a2)+(b2-b1),(a1-a2)+(b1+b2),数据结构:括号编码+线段树,维护以下变量dis(s) ：a+b|S(a,b)是S的一个子串，且S介于两个黑点之间 right_plus：maxa+b|S(a,b)是S的一个后缀，且S紧接在一个黑点之后right_minus：maxa-b|S(a,b)是S的一个后缀，且S紧接在一个黑点之后left_plus：maxa+b|S(a,b)是S的一个前缀，且有一个黑点紧接在S之后left_minus：maxb-a|S(a,b)是S的一个前缀，且有一个黑点紧接在S之后,数据结构:括号编码+线段树,利用以下公式实现合并：S=S1+S2，
7、其中S1(a,b)、S2(c,d)dis(S)=maxright_plus(S1)+left_minus(S2)，right_minus(S1)+left_plus(S2)，dis(S1)，dis(S2) right_plus(S)=maxright_plus(S1)-c+d,right_minus(S1)+c+d,right_plus(S2)left_plus(S)=maxleft_plus(S2)-b+a,left_minus(S2)+b+a, left_plus(S1)right_minus(S)=maxright_minus(S1)+c-d,right_minus(S2)left_mi
8、nus(S)=maxleft_minus(S2)+b-a,left_minus(S1),问题三小结,关键点1：树形变线形，为使用线段树创造条件。,关键点2：数对表编码，沟通整体部分关系。,最简母矩阵,称一个p*q的矩阵A为序列an的母矩阵，当且仅当，矩阵A中的所有非零元素，自上到下自左到右逐列读出得到an ，自左到右自下到上逐行读出得到升序序列。称序列an的所有母矩阵中，行数列数都最小的那个矩阵为序列an的最简母矩阵。,最简母矩阵,（5，3，2，4，1）的最简母矩阵,5,3,4,2,1,原序列,5,3,4,2,1,升序序列,DFS VS BFS,其一：性质上（结构决定性质），DFS遍历后的可以得到DFS树，图中的边在DFS树中要么是树边要么是回边；而BFS遍历后往往得到层状结构，图中的边要么连接同一层中的两个点，要么连接相邻两层的两个点。其二：用途上（性质决定用途），DFS能较有效解决与连通性相关的问题（因为任意一棵子树只与它的祖先相联）；BFS能较有效解决与点对距离相关的问题（由前面的性质，两点的距离，与所在层数密切相关）。,
