1、教 学 研 究 费曼一海尔曼定理在教学中的应用钱伯初 兰州大学可以证明曾谨言 北京大学费曼( R . F . F e y n m a n )一海尔曼( H . H e ll m a -n n) 定理又称费曼一海尔曼关系, 发表于 30 年代后期门. 它应用极广, 既可用作理论分析,又可用于具体计算。 凡用维里定理可以处理的问题, 肯定都可以用费曼一海尔曼定理(以下简称 F 一H 定理)来处理. H 一F 定理的用处远在维里定理之上, 理应在量子力学教材中占有一席地位. 可惜国内外教材中, 讲到它的极少;即使提到2, 也是轻轻一带而过, 未予充分论述,很难使读者留下深刻印象. 现从我们正在编写的
2、量子力学习题集中摘取部分内容, 向读者作扼要介绍.了一宜1、_ 二 2 拜 / ” 合灯二v F ” (4 )这就是维里定理. 证明方法通常是利用力学量算符的海森伯运动方程, 大家都很熟悉, 这里不再重复.其实 , 证明维里定理最简单的途径就是利用 F 一H 定理, 如下.(3) 式中 V (r )为经典势能, 与 h 无关.如视 h 为参变量, 根据 F 一H 定理 , 就有d E . / 口H / h _ , 一万了叫 = 气万; - / = 一又一V / =以 , 、 LJ “ / 。 拼 /一 、 费曼一海尔曼定理设某量子体系的束缚态能级和归一化波函数为 E , , 叻, , (。 为
3、量子数 或编号数) 它们是定态薛定谬方程的解, 即满足方程H 劝, 一 E 二 l叻。 = 0 (1 )设久为哈密顿算符户含有的任何一个参数(如普朗克常数 h , 粒子质量 召, 势能中表征作用强度的参数, 等等. )视久为参变量, 则 E . ,叻. 均为只的函数. ( l) 式对 只求导 , 得到2 / p Z 百 厄万 / 。 . ,另一方面 , 如对坐标作尺度变换(这对能级没有影响) , 以 R 一 r / h 作为坐标变量, 则哈密顿算符可以写成H 一 _ _夕V灵+ 不了( h R ) 二H这时d H d V d r - - 一花丽 一万万一巧万 v F “盆 v 厂(器一鲁卜、
4、(“一, 命!砂 一 “以一。 2 ,H 的本征值仍为 E , , 则 F 一 H 定理给出旦里二- / 卫旦、口无 d h / 一冬( , . v 。,“( 3 , )(6)(2 ) 式通常称为 F 一 H 定理, 符号. 表示么态下的平均值.比较( 5) 、 (6) 式 , 即得维里定理(4) 式. 这个证明的优点是 , 除用到 F 一H 定理外 , 仅需尺度变换的概念, 完全用不着像海森伯运动方程这样的成套理论.二、 关于维里定理的证明如果体系的哈密顿算符可以表示成动能加势能舟 p Z , , , , 、 h Z _ , . , , , 、 , _ 、H = 子犷 + V (r ) 二
5、一 长牛, V Z + V ( r ) ( 3)2 拜 、 一 2 召 三、 利用F 一 H 定理分析能级构造具体讨论两个典型例子.例 l 幂函数型中心力场V ( r ) = 只r ” , 一2 0 . ( 7)(如 只v 。, E 随户之增大而减小; 而由( 8) 式,忍一拼p一之一月一召.口一d刀根据F 一H 定理, 对于任何一个束缚态, 均有一 * 器(1 0)( 1 1)d H户-百二一一户2/ 2 产, (又与户无关) ( 29 )相加, 即得刀由F 一 H 定理 , 对任何束缚态均有d E一, 六; 十 入口Pd Ed 几一 二 E ( 1 2 );盟一( 13 )比较( 1 0)
6、 、 ( 13)式 , 即得/ p “ ( 住升一. 夕= , 二 ( V 2 拼 / 2 “ 这正是维里定理(4) 式的具体化.将( 1 1) 、 ( 13 )式合并 , 消去 , 得到即粒子质量的增加总是导致能级下降.由( 18 )式还可看出 , 如久oc 丫2 , 则 E 与召 无关. 这方面的著名例子就是谐振子(v 一2 ,1只 一音户。“) .2 厂 一用 F 一 H 定理分析、计算时 , 可以如 本例这样将维里定理的导出和应用融为一体, 因此凡是用维里定理可以得出的结论 , 用 F 一H 定理肯定也能得出.例 2 粒子在对数函数型 中心势场中运动.( 14 ) : (卜 (六),
7、C , 一 0 川d E v . d E, 哥二凡一二, 二 人 , : ; 尸O P 2 0 人 (1 5)将( 1 5)式代入( 12)式 , 即得(1 + 昔)“(1 + 号)“d君 _一了二一 二万V 人 (1 6 )d E0刀 一 E ( 17 )。, , 。均与质量 # 无关. 试证明( i) 各束缚态动能平均值相同, (i i) 能级 间距与粒子质量无关.这是 19 81 年C U SP E A 考试中最引人瞩目的难题. 但只要利用 F 一 H 定理 , 证明并不困难, 如下.总能量算符为将( 16 )式积分, 即得 E 和 只间构造关系:E = C 只2 2 ( 2 + , )
8、C 为“积分常数” , 和 又无关, 将( 17) 式积分则得。一其、 。( : )一其v Z 、 。In (李、 拜 拜 、沂 /(2 2)如改用 R 二杯万r 为坐标变量, 则 H 可以改写为H 一专v a + c n R 一 n (r 。丫万)- ” 豁一。 一号借.( 2 2 / ) 而由( 28) 式易见显然,d H e户飞下一了利用 F 一H 定理, 即得d E . / d H “川万万 一“ 一石万/ 。而对(2 2 )式应用 F 一 H 定理则得d E . / dH 一产万万,一召 不万/ .和(2 3 )式比较 , 即得/ p Z 己 2 拼 / , 2此即要求证明的第(i)
9、 个结论.分 , 得到一 C万。 = 一万吸In 拼) + “二1 dE 。1玲 十 - 二户Zd E 。d h 二下 。/ 1 义U ! 几 十 - , .、 艺/1 d E= 一冬 ( 2 3 )乙 代人( 5)式, 即得3 _ 了.卫立、 2 娜 / .了其、二李( , + 工但鬓 艺召 / , 艺 Z / O 份( 2 4 )对( 2 3 ) 式积这是准经典近似条件下特有的结论如果势能是幂函数型V ( x ) = 只.二 l , , 久, v 0利用维里定理可得“一(十导).( 2 5) 和(29 )式合并, 即得微分方程。二 为“积分常数” , 与 召无关. 任何两个能级之差为E ,
10、 一 E 。“。一e 。 ( 2 6 )与 拜无关. 此即要求证明的第(i )个结论.例 2 可以作 为例 1 中 vO 的情形 来理解.d E 梦 2飞玩- 一不百万, 一丁丁n 十 - 丁口艺E 。(5 )( 29)( 30)( 3 1)解之, 即得。 , 、了. 1 2 , , ( 2 + , )力 = “、, ,、n 十 丁/ , n = ”, 1 , 2 , ”四、 F 一 H 定理用于准经典近似在准经典近似条件下 , 在势场V (二)中作一维运动的粒子, 其束缚态能级由量子化条件芡丫厄下亡面二瓦刃“ -l 1几介 十 二一 I汀几 艺 /决定. n 一O , 1 , 2 , 为量子
11、数.转折点 , 满足关系V (二; ) = V (二2 ) = E给定 V ( x )后, (27 )式左端为( 2 7 )二: , 二: 为经典E 的函数 , 因此可以判断 , E 为。 十钓。的函数, 即、 /( 32)c ( v )为“积分常数”它应具有能量的量纲. 但能级的量纲构造应该由 h , 拌, 久唯一地决定 , 它只能取( 1 8 )式的构造, 亦即 。(v) 应取下列结构 , 、 一攀一/ h Z 诀七c ( v ) 二通( v ) 久一(若一)帝 ( 53 )、2 召 / “一尹A ( v )为无量纲纯数. 结论是。 J , 、 / 1 丫翼牛 . 箭琴,E , = A (
12、v ) l 妈 + 令】2 + v 几豆不 2 / h Z 一上,一. 几.下甲寸一. j ? , ( 34 ) 2 召 / 、. /事实上 , 当 V (二 )取( 30 )式时, ( 27 )式中的积分可以严格计算出来 , 从而得出A (v) 的精确表达式: 仁4 E一(。 + 合), ) (2 8)A ( v ) = ( 35 )根据 F 一H 定理, 前面已经得到_ /一 。 / 1. 3 、1; 不了娜 y 兀 p l l 十一二一 . 口I二一一一工兰一生匕Il 。/ 1 l! I t j l V I J对于诺振子, v出1一 艺, 人= 不, 拼。 , L乃4 ) 、( 35 )
13、式给_ / 1 、,右一又儿 + 万)介。, 几 = ”, 1 , z , ” 刚好和能级的准确值一致.五、 其他应用例 3 质量为 拜的粒一子, 在势场 V l (二) 中运动时 , 能级为 E , 。 , 在势场 V Z( x) 中运动时 ,能级为 E Z , . ( n 二 1 , 2 , 为能级编号数 . )设对 F任何 x 值 , 均有 V , (劝簇V : (x) . 试证明E I 。蕊 E Z : (对任何 n) .证: 考虑另一个介乎 V ; , V Z之间的势场 (几, 二) = V I (二) + 几V Z(二) 一V : (二) ,0簇久( 1 . ( 36 )相应的哈密
14、顿算符为E : , , , 一一。2 + 1)兴。 ) 0即 E 。 (幻为只的单调渐增函数. 因此 E 。 ( 0) 成E , ( 1 ) , 亦即 E : 。簇E Z。 . 证明完毕本例的结论常被用来分析复杂势场所产生能级的分布概况.众所周知, 中心力场问题中决定能级的径向方程等价于一个一维运动定态薛定谬方程,等效势能为d E刀 = 2 扑, + f 一云了一 一U Ld Ed N / l ( l + 1 ) h Z l ( l + 1 ) *又石-一夕一一: 二尸下一: 一一左。 t 4 艺) 艺月了 / 乙 一 1参 考 文 献V (r ) = V ( r ) +l ( l + l )
15、 h Z2 召r =O , 1 , 2(3 8 )第二项为离心势能 , l 为角量子数. 每一个 l ,存在一组能级, 不妨记作 E I , , ( n , 为径向量子数 , 即能级编号 , 。r = 0 , 1 , 2)显然对于任何, 均有 V 。( r) V . + : ( r) . 根据例 3 的结果可知1 H.H e l lm a n n , A c t a p h y s e o e h 仍ic a U R s s l , 6 ( 19 3 5 ) ,9 1 3 ; I V , 2 ( 19 3 6 ) , 2 2 5 .R . F.F e y n m a n , P h y 合. R 已刀, 5( 1 9 3 9 ) , 3 4 0 .2 】例如朗道等(苏) 量子力学” 与1 , 人民教育出版社中译本 _3 见 D 特哈尔选编“量子力学习题集。 钱l , 19 题 . 高等教育出版社中译本 . 原著者导出本文(2 9) 式时未用 F 一H 定理, 论证较复杂.4 C. Q uig g a n d J . L一R o s n e r . p h y 言c a R e 夕o r t a , 5 6( 1 9 7 9 ) , 16 7一2 3 5 .
