1、无穷小的等价替换应用及推广口陈东海(三峡大学理学院湖北宜昌443002)摘要本丈主要研究了无穷小的等价替换在简化不定式极限的运葬过程中的运用，讨论了用洛必达法则和秦勒公式求不定式极限，以及它们所适用的舀数类。这三种方法是求解不定式极限的主要方法。最后，本文利用无穷小童的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式，使其适用的西数类范围扩大，从而简化西数极限的运算过程。关键词无穷小全等价替换不定式极限中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1007-3973(2007)03-071-011.前言本文主要研究等价无穷小替换在求不定式极限过程中的应用，及举例探讨求不定式极限的其它解法，运用等
2、价无穷小的相关性质，提出并证明了等价无穷小的和与差的等价替换.2。无穷小的和与差的等价替换及其应用.数学分析教材上提供给我们的利用等价无穷小替换求函数极限的方法在极限理论中起着关健而基础性的作用。但是，看下面两个例子:由tanx - x(x-0),sinx一x(x-0)，可得又因为I价一1，故上式等于to所以U+g) - (f +g)a可与类似地证得。由可知V+g)(f +g,)，即可知也成立。定理(2)设在自变量的某一变化过程中了认)价)抓 (x).gl(x)都是无穷小量。1. 2x-sinxiuu2x x1x .-o x，得到了正确的结果。而由t一Ax-O), sine一x(x-0)，可推
3、出Iim专=0-0则得到的是错误的结果。并且对某羞Ax卜f付1沙卜g.(x)，则对于未定式型有:lim(l+f)z=lim(l+f,减着/(x)一f (x)1价)一g.(x)，则有li*B+=1im(B+f,成其中“一，且lir;异，一，。若O(x)-1,跄卜1一为).加卜91闭，则有一类函数的极限问题还是没有给出有效而简便的方法。比如，求，arctan2x-arcsin5x-o sin3x及求lim(arcsin3x+cos2x)=.-o的极限问题教材中就没有给出行之有效的方法。因此，在实际应用中存在一定的局限性。为了解决这个间题，本论文将把等价无穷小的替换原理推广到无穷小的和与差的等价替换
4、及不定式型的的等价替换形式。即解决如下问题:定理(1股在自变量的某一变化过程中,nx),g(x).h(x)及f (x),9-(x).h(x)都是无穷小量。证明:在自变量的某一变化过程中，1i“( l+f).=1im(1+f,琳=em-L,fplimo+f, A=1im(1+f,) _砂哈 ,又由(x)一f幼、沙)一91句有ft所以，lim(1+f=lim(l+f,片。注:由此证明过程可得:lim(1+公=d=，这将直接一，(x),，一、，且li (x)g.(X)#:存在且简化求极限的过程。因为lim(ow-=1im 1+(o-1卜.1 (0-1卜0- 1)+f g则有口+g)f (x).g(x
5、)(f +9J.g,(x),且叫,(x)1i 9,(x)存在且则有仃砂认-g,).(“A)一f (X)19(X)一g,(x).h(x)一h,(x),在且Jim (x)g,(x)*1，则有lim h li h ,而lim (B+f, )a=lim1+(0-1冰】_, a-,习 0-,L * ,又因为lin f ，一，故由定)的可li (o兴Ii (o-9 , ,所以，lim(o+fr=lim(B+f,片。注:由此证明过程可得:lim(94刀告即砂毕弋产牛黔，这将直接简化求极限的过程。证明:因为因为lirn时 =1i城1代eeel)寿器产号材蜡，而lim麟=liml代B-1)尚宁-e专=d“咭，(
6、下转第111页)科协论坛么刀7年第3期与假手术组、空白组比较P0. 01;口与模型组比较P0. 01;.与模型组比较P0. 05;*与益气化疲组比较P0.05;口与益气化寮组比较P0.05,3.讨论VEGF是F等于1989年从牛垂体滤泡星状细胞的条件培养基中纯化出来的一种同源二聚体多肤，分子量为34一46KD，可特异性促进血管内皮细胞生长，在很多生理性及病理性血管增生中发挥极其重要的作用。有文献报道191脑梗死后半暗带区存在血管内皮增生，缺血后期还可观察到毛细血管向坏死中心区生长。而梗死灶区新生血管密度与预后具有一定的相关性。提示脑梗死后的血管形成可能是机体对抗缺血性损伤的一种保护性反应。给予
7、外源性的VEGF可能可以通过促进新血管形成及增加血管通透性而达到减轻缺血性脑损伤的目的。但是，目前尚无简便、安全的将VEGF引人脑组织的办法;同时，VEGF是一种多功能因子，如果将其直接引人人休，许多副作用是难以克服的，例如，VEGF增加血管通透性的作用非常强烈，因此，有可能加剧缺血半球的血脑屏障漏的发生，从而加重脑水肿的发生。以上种种极大地限制了VEGF的临床应用。但是，我们可以考虑通过使用中医药来促进VEGF的分泌和释放，从而避免或减轻它的副作用，最大限度的发挥它的治疗作用。因此，近几年，人们将越来越多的目光投向了中医药治疗性血管新生研究。马可夫等使用(金纳多注射液)治疗急性脑梗死患者，结
8、果提示银杏叶制剂可以延缓急性脑梗死患者血清VEGF水平的下降。邹凡等用当归预处理沙土鼠全脑缺血再灌注模型，结果显示当归注射液可以促进VEGF的高表达。在本实验中，我们观察各治疗组对脑梗死大鼠脑组织VEGF mRNA表达的影响。VEGF的各异构体中以VEGF165mRNA表达量最高。这是VEGF的5种变异体的最主要形式，同时也是发挥生物学效应的主要成分。结果显示，各治疗组可以增强大鼠脑组织VEGF 165 mRNA的表达，特别是益气化寮组和祛寮组，增强尤其明显。(上接第71页)所以，lim时=lim时,注:由此证明过程可得:limes=e偿蜡,这将直接简化求极限的过程。应用举例:_1je=1 2
9、 -1一2一由定理(2)的有:- ix:-lx=乙名一1例，*-sinx+x,_o tanx解:因为叛-;0时.sinsx,tanxx,且li se月戈刃口一I勺口-I例(4 )*lim(arcsin3x+cos2x)a解:因为当x-0时，由定34(1)的有:原式lfnx=2.-o x由此例及我们所证明的定理(1)，现在下转第38页)上接第37页俄们可以解释我们前面所讲到的:由tanx、AX-0), sinx一x(x-0),W推出lim-0令与得到的是错误的结果。因为tanx-l不满足定理(1)的，故不能用无穷小的等价替换求解。在加减时，不能确定所得和或差的阶数，只有当阶数不变时才可以替换，故
10、不能随意替换。如x-1城l+x)x-sinx是x的3阶无穷小，x-1城1+x)是的2阶无穷小。arcsin3x:3x cos2x一:、一卜一奋2xY而且勿cos悬.-o arcsrn3x。一，所以，由定1l( 2)的)A就护尸粉宾匆。例(S )jlim(s峥o X p解:由无穷小与无穷大的关系，作变量替换:弓例(2球li解:arc匆n2x坚m-.-o一一sin3x!4x-0时，因为当二.一2x arcsinSxSx,sin3x3x而且lion.9登_2S，一，所以，由定理(2)的有:原式=lim2 Sx- 3则原式变为:lim(sin2t+cost)J叫口助当t-。时.sin2t一2t,cos
11、t-卜一会则Iitn(sin2t+cost)口曰.所以，原式o例(6)*lim(tasnuA解:蜘为1的不定式极限，当x-。时，警一，故由定理(2)的可得:lim(t x )=e例(3)求iiln(l+x)解:liln(cosx拍西巧la= l试1+x。.In1、一，)暗In(1-xum一一一tanxln(l+x一一一，由于万，心时，有:tans - x,1城l+x)- x,1 n 1代cars-1)-一;一1x2. 1试1一幻拭且11Inl+(COSX-1)-li，令1城1-x以上例子说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式，并对的不定式极限的求解作了简化，使其适用的函数类范围扩大，从而简化函数极限的运算过程。对不定式极限的求解有很大的意义。科协论坛2007年第3期4lil
