1、 收 稿 日 期 2006204217基 金 项 目 河 南 省 教 委 科 研 基 金 资 助 项 目 (200410483004) ;商 丘 师 范 学 院 重 点 学 科 资 助第 24 卷 第 3 期 大 学 数 学 Vol. 24 , . 32008 年 6 月 COLL EGE MA T H EMA TICS J un. 2008一 类 增 算 子 不 动 点 定 理 及 其 应 用赵 巧 玲 1 , 王 建 平 2(1. 商 丘 师 范 学 院 数 学 系 ,河 南 商 丘 476000 ; 2. 河 南 农 业 大 学 信 息 与 管 理 科 学 学 院 ,河 南 郑 州 45
2、0002)摘 要 利 用 锥 理 论 和 非 对 称 迭 代 方 法 ,讨 论 了 不 具 有 连 续 性 和 紧 性 条 件 的 增 算 子 方 程 解 的 存 在 唯 一性 .作 为 其 应 用 着 重 讨 论 了 非 增 算 子 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 ,并 给 出 了 迭 代 序 列 收 敛 于 解 的 误 差 估 计 ,改 进 和 推广 了 某 些 已 知 结 果 .关 键 词 锥 与 半 序 ;增 算 子 ;非 对 称 迭 代 ;不 动 点中 图 分 类 号 O189. 2 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 167221454 (2008) 03200882061
3、 引 言迭 代 逼 近 的 方 法 是 处 理 非 线 性 问 题 的 基 本 方 法 之 一 ,特 别 是 对 于 在 适 当 序 条 件 下 的 非 线 性 单 调 算子 问 题 ,应 用 迭 代 方 法 得 出 了 许 多 好 的 结 果 1 - 5 . 本 文 利 用 了 非 对 称 迭 代 法 解 决 了 半 序 空 间 中 惯 用 的 对称 迭 代 法 所 无 能 为 力 的 问 题 . 讨 论 了 方 程 A x = x 解 的 存 在 唯 一 性 及 其 应 用 ,并 给 出 了 迭 代 序 列 收 敛 于解 的 误 差 估 计 ,改 进 和 推 广 了 已 有 文 献 中 的
4、 相 应 结 果 .以 下 总 假 设 E 为 实 Banach 空 间 , P 为 E 中 正 规 锥 , N 为 其 正 规 常 数 , 表 示 E 中 的 零 元 素 , E 中 半序 由 锥 P 导 出 7 . 设 u0 , v0 E且 u0 v0 ,用 D = u0 , v0 表 示 E中 的 序 区 间 . 称 算 子 A : D E 是 增 算子 ,若 u v , u , v u0 , v0 时 , A u A v.2 主 要 结 果定 理 1 设 P 是 实 Banach 空 间 E中 正 规 锥 , A : D E是 增 算 子 ,且 满 足 下 面 两 个 条 件 :(i)
5、 存 在 常 数 (0 ,1) ,使 得 u0 + ( v0 - u0 ) A u0 , A v0 v0 ;(ii) 存 在 正 有 界 线 性 算 子 L : E E 且 算 子 的 谱 半 径 r ( L) 满 足 0 + r( L) 1 ,使 得A v - A u L ( v - u) , 当 u0 u v v0 时 ,则 增 算 子 A 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 . 构 造 迭 代 序 列un + 1 = A un - ( vn - un) , vn + 1 = A vn , n = 0 ,1 ,2 , (1)都 收 敛 于 x 3 ,且 有 误 差
6、估 计 un (或 vn) - x 3 N n v0 - u0 , 其 中 = + r( L) . (2)证 考 察 迭 代 序 列 (1) ,由 条 件 (i) 知u0 A u0 - ( v0 - u0 ) = u1 A u0 A v0 = v1 v0 ,即u0 u1 v1 v0 .再 由 A 是 增 算 子 及 归 纳 法 假 设 ,有un - un - 1 = ( A un - 1 - A un - 2 ) - ( ( vn - 1 - un - 1 ) - ( vn - 2 - un - 2 ) ) ,vn - 1 - vn = vn - 1 - A vn - 1 vn - 1 - A
7、 vn - 2 = ,vn - un = A vn - 1 - A un - 1 + ( vn - 1 - un - 1 ) ( vn - 1 - un - 1 ) .故 由 归 纳 法 可 得u0 u1 un vn v2 v1 v0 .又 由 vn - un A vn - 1 - A un - 1 + ( vn - 1 - un - 1 ) ( I + L) ( vn - 1 - un - 1 ) ( I + L) n ( v0 - u0 ) , (3)其 中 I 为 恒 等 算 子 ,记 H = I + L ,对 任 意 自 然 数 n , p ,有 un + p - un vn + p
8、- un vn - un ( I + L) n ( v0 - u0 ) , vn - vn + p vn - un + p vn - un ( I + L) n ( v0 - u0 ) .对 任 给 的 + r( L) 1 ,由limn Hn 1n = r( H) + r( L) = 1 (参 见 6 第 五 章 定 理 3 ,4)可 知 存 在 n0 ,使 得 Hn n , n n0 .根 据 P 的 正 规 性 ,得 un + p - un vn - un N n v0 - u0 , vn - un + p vn - un N n v0 - u0 .(4)所 以 un , vn均 为 Ca
9、uchy 列 . 由 E 的 完 备 性 知 ,存 在 u3 , v 3 E ,使un u3 , vn v 3 , ( n ) , 且 un u 3 v 3 vn .再 由 v 3 - u3 vn - un ( I + L) n ( v0 - u0 ) 与 锥 P 的 正 规 性 ,易 知u3 = v 3 = x 3 D.由 un un + p vn ,令 p ,得un x 3 vn , n = 1 ,2 ,3 , .又 由 un + 1 A un A x 3 A vn = vn + 1 ,令 n ,得A x 3 = x 3 .下 证 不 动 点 的 唯 一 性 .设 y 3 也 是 A 在
10、u0 , v0 中 的 不 动 点 ,则 仿 上 述 证 明 ,由 归 纳 法 易 得 到un y 3 vn .令 n ,得 y 3 = x 3 . 故 x 3 是 A 在 u0 , v0 中 的 唯 一 不 动 点 .另 外 ,在 (4) 式 中 令 p 便 得 到 误 差 估 计 式 (ii) .定 理 2 设 P 是 实 Banach 空 间 E 中 正 规 锥 , A : D E 是 一 个 增 算 子 . 若 存 在 正 有 界 线 性 算 子L : E E 且 算 子 L 谱 半 径 r ( L) = 1 ,使 得(i) u0 A u0 , A v0 v0 ;(ii) A v -
11、A u L ( v - u) ,当 u0 u v v0 时 ,则 增 算 子 A 在 D 上 有 唯 一 不 动 点 x 3 . 构 造 迭 代 序 列 un + 1 = A un , vn + 1 = A vn , n = 0 , 1 , 2 , ,都 收 敛 于x 3 ,且 有 误 差 估 计 式 un (或 vn) - x 3 N n v0 - u0 .证 利 用 所 给 迭 代 序 列 及 增 算 子 的 定 义 知u0 A u0 = u1 A v0 = v1 v0 , 即 u0 u1 v1 v0 .类 似 于 定 理 1 ,由 归 纳 法 可 得u0 u1 un vn v2 v1 v
12、0 .又 由 vn - un A vn - 1 - A un - 1 L ( vn - 1 - un - 1 ) L n ( v0 - u0 ) ,98第 3 期 赵 巧 玲 ,等 :一 类 增 算 子 不 动 点 定 理 及 其 应 用对 任 意 自 然 数 n , p 有 un + p - un vn + p - un vn - un L n ( v0 - u0 ) , vn - vn + p vn - un + p vn - un L n ( v0 - u0 ) .由 limn L n 1n = r( L) = 1 ,可 知 存 在 n0 ,使 得 L n n , n n0 .根 据 P
13、 的 正 规 性 ,得 un + p - un vn - un N n v0 - u0 , vn - vn + p vn - un N n v0 - u0 .(5)所 以 un , vn均 为 Cauchy 列 . 由 E 的 完 备 性 知 ,存 在 u3 , v 3 E ,使un u3 , vn v 3 ( n ) , 且 un u 3 v 3 vn .再 由 v 3 - u3 vn - un L n ( v0 - u0 ) 与 锥 P 的 正 规 性 ,易 知u3 = v 3 = x 3 D.由 un un + p vn 令 p , 得 un x 3 vn , n = 1 , 2 , 3
14、 , . 又 由 un + 1 A un A x 3 A vn = vn + 1 ,令 n ,得A x 3 = x 3 .参 照 定 理 1 中 唯 一 性 的 证 明 可 得 x 3 是 A 在 u0 , v0 中 的 唯 一 不 动 点 .另 外 在 (5) 式 中 令 p ,便 得 到 误 差 估 计 式 un (或 vn) - x 3 N n v0 - u0 .注 1 本 文 定 理 1 ,2 把 文 献 3 中 定 理 1 ,2 的 常 数 推 广 到 了 正 有 界 线 性 算 子 L ,得 到 了 相 应 的 结 论 ,拓 宽 了 定 理 的 适 应 范 围 .3 应 用当 算
15、子 A 非 增 时 ,应 用 上 面 的 结 果 可 得 到 如 下 的 结 论 .定 理 3 设 P 是 实 Banach 空 间 E中 的 正 规 锥 . 若 存 在 常 数 , (0 , 1) , 0 b 1 , b + 1 ,使得 算 子 A : D E 满 足 下 列 条 件 :(i) u0 + ( v0 - u0 ) A u0 , A v0 v0 ;(ii) b( v - u) A v - A u ( v - u) ,当 u0 u v v0 时 ,则 算 子 A 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 ,且 有 误 差 估 计 un (或 vn) - x 3 N
16、 + - b1 - bn v0 - u0 .证 令 B u = A u - bu1 - b , u D ,由 已 知 条 件 可 得B u0 = A u0 - bu01 - b u0 + ( v0 - u0 )1 - b = u0 + ( v0 - u0 )1 - b ,B v0 = A v0 - bv01 - b v0 - bv01 - b = v0 ,B v - B u = A v - bv1 - b - A u - bu1 - b = A v - A u1 - b - bv - bu1 - b ( - b) ( v - u)1 - b ( u0 u v v0 ) .又 由 (2) 的 左
17、 半 部 分 知 :对 任 给 的 u v , u , v u0 , v0 ,B v - B u = A v - bv1 - b - A u - bu1 - b = A v - A u1 - b - bv - bu1 - b bv - bu1 - b - bv - bu1 - b = ,即 B v B u ,所 以 B 是 增 算 子 . 构 造 迭 代 序 列un + 1 = B un - ( vn - un)1 - b , vn + 1 = B vn , n = 1 ,2 ,3 , .09 大 学 数 学 第 24 卷由 定 理 1 的 证 明 可 知 un + p - un vn - u
18、n N + - b1 - bn v0 - u0 , vn - vn + p vn - un N + - b1 - bn v0 - u0 .(6)并 且 增 算 子 B 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 . 把 A x 3 = x 3 代 入 B u = A u - bu1 - b , u D 中 ,x 3 = B x 3 = A x3 - bx 31 - b ,推 出 (1 - b) x 3 = A x 3 - bx 3 ,所 以 A x 3 = x 3 ,即 x 3 也 是 算 子 A 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 .最 后 在 (6) 式 中
19、 令 p ,便 得 到 误 差 估 计 式 un (或 vn) - x 3 N + - b1 - bn v0 - u0 .定 理 4 设 P 是 实 Banach 空 间 E中 的 正 规 锥 . 若 存 在 常 数 (0 ,1) ,0 b 1 , b 1 ,使 得 算 子A : D E满 足 下 列 条 件 :(i) u0 A u0 , A v0 v0 ;(ii) b( v - u) A v - A u ( v - u) ,当 u0 u v v0 时 ,则 算 子 A 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 ,且 有 误 差 估 计 un (或 vn) - x 3 N -
20、 b1 - bn v0 - u0 .证 令 B u = A u - bu1 - b , u D. 由 条 件 (ii) 的 左 半 部 分 可 知 ,对 任 给 的 u v , u , v u0 , v0 ,B v - B u = A v - bv1 - b - A u - bu1 - b = A v - A u1 - b - bv - bu1 - b bv - bu1 - b - bv - bu1 - b = ,即 B v B u ,所 以 B 是 增 算 子 .又 由 已 知 条 件 可 得B u0 = A u0 - bu01 - b u0 - bu01 - b = u0 ,B v0 =
21、A v0 - bv01 - b v0 - bv01 - b = v0 ,B v - B u = A v - bv1 - b - A u - bu1 - b = A v - A u1 - b - bv - bu1 - b ( - b) ( v - u)1 - b ( u0 u v v0 ) ,即 算 子 B 满 足 定 理 2 的 条 件 . 由 定 理 2 可 构 造 迭 代 序 列un + 1 = B un , vn + 1 = B vn , n = 0 ,1 ,2 ,3 , .由 定 理 2 的 证 明 可 知 un + p - un vn - un N - b1 - bn v0 - u0
22、 . vn - vn + p vn - un N - b1 - bn v0 - u0 .(7)并 且 增 算 子 B 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 . 把 B x 3 = x 3 代 入 B u = A u - bu1 - b , u D 中 ,由 定 理 3 的证 明 可 知 x 3 也 是 算 子 A 在 u0 , v0 中 的 唯 一 不 动 点 .在 (7) 式 中 令 p ,便 得 到 误 差 估 计 式 un (或 vn) - x 3 N - b1 - bn v0 - u0 .注 2 本 文 定 理 3 ,4 中 令 b = 0 可 得 文 献 3 中
23、 定 理 1 ,2 ,进 一 步 拓 宽 了 定 理 的 适 应 范 围 .定 理 5 设 P 是 实 Banach 空 间 E中 正 规 锥 ,若 算 子 A 满 足 条 件 :19第 3 期 赵 巧 玲 ,等 :一 类 增 算 子 不 动 点 定 理 及 其 应 用(i) 存 在 常 数 0 b 1 ,使 得 b( v - u) A v - A u ,当 u0 u v v0 时 ;(ii) 存 在 常 数 (0 ,1) ,使 得 u0 + ( v0 - u0 ) A u0 , A v0 v0 ;(iii) 存 在 正 有 界 线 性 算 子 L : E E 且 算 子 的 谱 半 径 r
24、( L ) 满 足 b + r ( L ) 1 ,使 得 A v - A u L ( v - u) ,当 u0 u v v0 时 ,则 算 子 A 在 u0 , v0 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 ,且 有 误 差 估 计 un (或 vn) - x 3 N n v0 - u0 , 其 中 = + r( L) - b1 - b .证 令 B u = A u - bu1 - b , u D. 由 定 理 3 的 证 明 知B u0 u0 + ( v0 - u0 )1 - b , B v0 v0 ,B v - B u ( L - bI) ( v - u)1 - b ( u0 u v v0 )
25、 ,且 B 是 增 算 子 .类 似 于 定 理 1 的 证 明 可 得 ,对 任 意 自 然 数 n , p ,有 un + p - un vn + p - un vn - un I + L - bI1 - bn( v0 - u0 ) , vn - vn + p vn - un + p vn - un I + L - bI1 - bn( v0 - u0 ) .对 任 给 的 + r( L) - b1 - b 1 ,由limn Hn 1n = r( H) + r( L) - b1 - b = 1可 知 存 在 n0 ,使 得 Hn n , n n0 .根 据 P 的 正 规 性 ,得 un +
26、 p - un vn - un N n v0 - u0 . vn - vn + p vn - un N n v0 - u0 ,所 以 un , vn均 为 Cauchy 列 . 由 E 的 完 备 性 和 定 理 1 的 证 明 可 知 , A 在 u0 , v0 中 有 唯 一 不 动 点 x 3 .且 有 误 差 估 计 un (或 vn) - x 3 N n v0 - u0 , 其 中 = + r( L) - b1 - b .定 理 6 设 P , A , L 的 定 义 同 定 理 3. 若 存 在 常 数 0 b 1 , b r( L) 1 ,且 满 足 下 列 条 件 :(i) u
27、0 A u0 , A v0 v0 ;(ii) b( v - u) A v - A u L ( v - u) ,当 u0 u v v0 时 ,则 算 子 A 在 u0 , v0 上 有 唯 一 的 不 动 点 x 3 ,此 时 误 差 估 计 式 为 un (或 vn) - x 3 N r( L) - b1 - bn v0 - u0 .证 仿 定 理 5 的 证 明 易 得 ,略 .注 3 本 文 定 理 5 ,6 在 A 是 非 增 算 子 的 基 础 上 把 常 数 进 一 步 推 广 到 了 正 有 界 线 性 算 子 L ,得 到了 相 应 的 结 论 . 使 定 理 的 适 应 范 围
28、 更 加 广 泛 .注 4 本 文 结 论 对 算 子 A 在 单 调 性 ,连 续 性 和 紧 性 方 面 没 有 任 何 假 定 .参 考 文 献 1 Guo Dajun , Lakhmikantham V. Coupled fixed points of nonlinear operator with applicationsJ . Nonlinear AnalTMA , 1987 , 11 (5) :623 - 632.2 Zhang Shisheng , Guo Weiping. On the existence and uniqueness theorems of solution
29、s for the systems of mired29 大 学 数 学 第 24 卷monotone operator equations with applications J . Applied Mathematics. A Journal of Chinese Universities(SerB) , 1993 , 6 (8) : 11 - 14.3 盛 梅 波 .增 算 子 新 的 不 动 点 定 理 及 其 应 用 J . 华 东 交 通 大 学 学 报 ,2004 ,21 (1) :114 - 116.4 孙 经 先 ,刘 立 山 . 非 线 性 算 子 方 程 的 迭 代 求
30、解 及 应 用 J . 数 学 物 理 学 报 ,1993 ,13 (3) :141 - 145.5 许 绍 元 .增 算 子 的 不 动 点 定 理 及 应 用 J . 江 西 师 范 大 学 学 报 (自 然 版 ) ,2000 ,24 (1) :25 - 27.6 Taylor A E and Lay D C. Introduction of functional analysis M . New York : Springer2Verlay , 1980 :277 - 281.7 郭 大 均 .非 线 性 泛 函 分 析 M . 济 南 :山 东 科 学 技 术 出 版 社 ,1985
31、.Fixed Point Theorems of a Class of IncreasingOperators and ApplicationsZ H A O Qi ao2li ng1 , W A N G J i an2pi ng2(1. Department of Mathematics , Shangqiu Teachers College , Shangqiu 476000 , China ;2. College of Information and Management Science , Henan Agricultural University , Zhengzhou 450002
32、 , China)Abstract : By using the cone theory and non2symmetry iteration method , it is studied the existence and uniqueness ofsolutions of increasing operator equations without continuity and compactness conditions. For it s application , it is mainlystudied the existence and uniqueness of solutions
33、 of non2increasing operator equations. And the iteration sequences whichconverge to solution of perator equations and the error estimates are also given. The results presented here improve andgeneralize some corresponding results.Key words : cone and partial ordering ; increasing operator ; non2symmetric iteration ; fixed point39第 3 期 赵 巧 玲 ,等 :一 类 增 算 子 不 动 点 定 理 及 其 应 用
