1、- 51 -3.2.1 用向量方法求角教材导读1、两条异面直线所成的角（1）定义：设 a,b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线 a/a,b/b,则 a与 b所夹的 叫做 a 与 b 所成的角。（2）范围：两异面直线所成角 的取值范围是 。（3）向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a,b，其夹角为 ，则有 = cos2.直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的 所成的角。（2）范围：直线和平面所成的角 的取值范围是 。（3）向量求法：设直线 的方向向量为 a，平面的法l向量为 u,直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则有 或 cosinc
2、os。3、二面角（1）二面角的取值范围： （2）二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法。若 AB、CD 分别是二面角 的两个面内与l、棱垂直的异面直线，则二面角的大小 是向量的夹角，即 设CDAB、 CDABcosn1、n 2是二面角 的两个面 的法向l、量，则向量 n1、n 2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小。即二面角 的大小 的余l、弦值为 或21osc21nosc对点讲练题型一 求异面直线所成的角【例 1】已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AA 1=2AB,E为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为A. B. C. D. 05035
3、【练习 1】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别为A1D1,A1C1的中点，求异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值。题型二 求线面角【例 2】在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB= AA1,点2D 是 A1B1的中点，点 E 在 A1C1上， 且 DEAE(1) 平面 ADE平面 ACC1A1;(2) 求直线 AD 和平面 ABC1所成角的正弦值。【练习 2】如图，已知直角梯形 ABCD 中，其中AB=BC=2AD,AS平面 ABCD，AD/BC,ABBC,且 AS=AB,求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值。题型三 用向量方法证垂直关系【例 3】在四棱台
4、ABCD-A1B1C1D1中，下底 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1是边长为 1 的正方形，侧棱 DD 1平面 ABCD，DD 1=2.（1）求证：B 1B/平面 D1AC（2）求二面角 B1-AD1-C 的余弦值。【练习 3】若 PA平面 ABC，ACBC,PA=AC=1,BC=ABCA1B1C1EFA DCBSA BCDB1C1A1D1- 52 -,求二面角 A-PB-C 的余弦值。2课时作业一、选择题1、若直线 与 的方向向量夹角是 150，则 与1l2 1l这两条异面直线所成的角等于2lA.30 B. 150 C. 30 或 150 D.以上均错2.若直线 l
5、 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成角等于A. 30 B. 60 C. 150 D.以上均错3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P 分别是棱CC1,BC,A1B1上的点，若B 1MN=90,则PMN 的大小是A.等于 90 B.小于 90 C.大于 90 D. 不确定4、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M,N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么异面直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为A. B. C. D. 2305325、已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 B
6、C 的中点，则异面直线 AB与 CC1所成的角的余弦值为A. B. C. D. 435473二、填空题6、若两个平面 的法向量分别是 n=(1,0,1),、v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是 7、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是 。三、解答题8、已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 ，底面的2边长为 ，E 是 SA 的中点，求异面直线 BE 和 SC3所成的角。9、在三棱锥 S-ABC 中，SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC=4,SB= .24(1)证明：SCBC.(2)求二面角 A-BC-S 的大小；（3）求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值。10、如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC,D,E 分别为 AA1,B1C 的中点，DE平面 BCC1.(1)证明：AB=AC.(2)设二面角 A-BD-C 为 60，求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小。A BCSABCB1A1C1D E
