1、鞍山科技大学硕士学位论文大系统的模型降阶研究姓名：马连增申请学位级别：硕士专业：控制理论与控制工程指导教师：陈雪波20050301鞍山科技大学硕士论又摘要本文对状态空间描述的大系统模型降阶问题进行了研究。大系统的模型降阶作为一个理论课题，自上世纪六十年代末至今日益受到广大控制界人卜的关注，提出了大量模型降阶的方法。本文做了如下工作:(1)对大系统模型降阶问题进行了综述，毛要说明了研究仁作的缘起、沿革、日的、涉及范围、fril内外研究现状、研究设想和方法以及拟解决的问题。c2根据模?o降阶处理方法的发展过程，分别对模型降阶的经典方法、平衡降阶力法及其联合降阶法进行了归纳总结，给出了每种方法的定义
2、和算法以及优缺点。(3)对包含原理在模型降阶方面的应用进行了研究。包含原理是简化复杂系统和大系统分析与设计的方法之一，根据包含原理，一个系统包含另一个系统，即包含了其所具有的性质，系统(山高阶到低阶)的收缩必须满足约束类或聚集类条件。因而，模型降阶的关键问题是如何选取满足约束类或聚集类条件的使系统收缩的约束阵或聚集阵。本文独创之处在于针对约束阵或聚集阵的选取将包含原理与当前广泛采用比较实用的诸如平衡法、奇异值分解法、链集结法以及它们的组合等降阶方法相结合，对被控系统、反馈控制器、状态观测器进行了降阶处理，给出了降阶实例。井应用系统对偶包含的定义及定理，将能控性与能观性之间的对偶关系转化为约束阵
3、4与聚集阵U之间的对偶关系，这给原能控或能观的系统难于降阶处理提供了一种降阶方一法，带来了一定的万便性。关键词:模型降阶，包含原理，聚集，约束，对偶原理鞍山科技大学硕士论又ABSTRACTABSTRACTThis thesis treats model reduction for large-scale systems describing instate space. Since 1960s many scholars at home and abroad have beenfollowing with interest the research on the model reduction
4、 method forlarge-scale systems as a theoretical problem. A lot of model reductionmethods have been presented. This thesis has completed some works asfollow: firstly, model reduction problems for large-scale systems aresurveyed in this thesis. Origin of research work, development, and theproblems nee
5、ded to solve are mainly elaborated. Secondly, according todevelopment process of model reduction proposal methods, classical methodsand balanced methods and united methods are separately delivered.Meanwhile, definition and algorithm of every method are summarized;advantage and disadvantage are point
6、ed out. Finally, Inclusion principle as amethod to simplifying analysis and design for complex systems andlarge一scale systems has been proceeding elementary research on the aspect ofmodel reduction. According to inclusion principle, a system including anothersystem means including its all property.
7、Model reduction must satisfy theconditions of restriction or aggregation. So, important problem for modelreduction is the choice of restriction matrices or aggregation matricessatisfying the conditions of restriction or aggregation. Aiming at the choiceof restriction matrices or aggregation matrices
8、, this thesis puts originallyInclusion principle and advanced methods such as balanced methods, singularvalue decomposition, chained aggregation etc. at present together andseparate Iyconsiders model reduction probIemsofcontroIled plant, feedbackcontroller, state observer and gives a model reduction
9、 example. Thedefinition and theorem of dual system inclusion principle are applied. Itbrings out a method and gets a certain extent convenience dealing with thedifficulty of originally controllable or observable systems model reduction.Key words: model reduction, inclusion principle, aggregation,res
10、triction, dual principle鞍科技大学硕士论文第一章引言第一章:引言复杂大系统控制而临的重要问题之一是维数问题。控制器的成本和复杂性随着系统维数的增加而显著提高，因此通常希望采用一个好的降阶模型来代替原系统。尽价迈似低阶模型的使用一般将导致次优的控制器，而且会降低整个性能，但可以减少计算量、简化控制结构并便于控制算法的实时实现。第一节综述复杂大系统在现实世界中广泛存在.在诸如社会、商务、管理组织、环境、数据网络、电力系统、运输、航空航天、水资源、能源等领域，复杂大系统往往表现为递阶(多层次)和分散信息结构，在本质上是大规模的、随机的，而不是人为选择的结果。对大系统的界定主要
11、存在两种观点:一种是出于计算或者实践的原因，如果系统能被解祸或被分解为一些互联子系统，那么系统可以被认为大系统。另一种是系统的维数很大，通常的建模、分析、控制、设计和计算技术不能给出一个合理的解，这样的系统被称作大系统。换句话R，大系统需要多于一个的控制器。基于大系统的这些重要特性和潜在的应用，一些研究者对人系统从不同的力一血进行了研究，例如建模、模型降阶、控制、稳定性、可控性、可观性、最优化等。科学家和工程师经常面临现实世界的分析、设计和综合问题。在这样的研究中，第一步是建立数学模型以替代现实问题。在任何建模任务中，“简化”和“精确”这两个往往矛盾的因素需要加以考虑。一方面，如果一个系统模型
12、过于简化。假设从计算的效果上看，可能会得到不正确的结论。另一方面，过于详细的模型将带来大量的不必要的复杂性，以致于对系统行为的研究从实践的角度考虑变得不可能。很显然，我们需要一种方法，在复杂、更精确模型和简单、不太精确模型之间作出折中。模型降阶在许多建模和控制应用中具有很重要的作用。系统的模型降阶问题，是对系统所建模型具有的高维性提出的。模型降阶代表各种或多或少不同的概念和技术，但共同的目标是一致的:减少大系统的数学模型维数以简化控制和估计方案的设计。模?V降阶一般采用的步骤是:首先，根据系统的稳定性、最优化、频率响Ni.等Ili能特性要求，将数学模型的元素比照作用大小分为两部分。其次，将作用
13、大的部分用于整个系统控制方案的设计。最后，用仿真分析力案的实现和性能的测试。在控制系统设计中，模型简化一直是控制工程师十分关注的问题。模型简化是鞍山科枝大学硕士论文第一章引言根据控制系统的要求，运用数学手段，使得原来模型由高阶化成低阶，由复杂变为简单，同时确保简化后的模型输出能逼近原来模型输出的数学处理过程。如果个高阶过程能用低阶模型来逼近，那么用低阶逼近模型来进行控制系统的设计，不但能大大简化设计过程，而且能更加充分地发挥计算机控制的潜力。模型简化的途径一般有3种:(1)在机理建模时，针对系统的特点，借助于数学的方法，直接从系统机理推导出低阶模型，使之能符合控制系统的要求;(2)己知系统的高
14、阶模型，用数学方法将其简化成低阶模型，即传统意义上的模型降阶;(3)根据实验或计算#)仿真结果，用低阶模型拟合高阶过程的输出，属于模型辨识的范畴。用一个保留原系统相关动态特性的低阶模型来近似高阶模型是我们经常希望的。在数学的意义上，这种近似常常是由一种合适的误差范数的最小化来实现的。一般而言，高阶过程的模型降阶方法可归纳为时域降阶法和频域降阶法，具体有:集结法、奇异摄动法、模态近似法、Pade逼近法、Routh逼近法、误差极小化法等。在经典的模型降阶方法中，以状态空间描述的时域降阶法主要有聚集法和摄动法。这些力法的个共同特点是通过纯粹的数学计算来降阶，计算量很大，有的不能保证降阶模型的稳定性，
15、有的不适于多输入多输出(M工Mo)系统。Jamshidi1对此进行了详尽的介绍。在经典的模型降阶方法的基础_匕一些研究者针对出现的问题做了一些改进，文献2通过有序实Schur分解将系统矩阵变成分块对角阵，得到一种数值稳定的集结法模型降阶，并给出降阶的L误差界。降阶系统保留了原系统的主导极点且为最小实现。文献3基于大系统理论中的集结法，提出了一种简便的动力学模型降阶处理方法。针对系统不同的动力学特性，存在相对快变量、存在小量及一般情况，通过选择适当的集结阵和作线性变换处理，分别推导出了相应的降阶模型。并分析了该三种降阶模型的降阶精度和适应范围。该方法一方面吸取了一般模态集结法保留原系统主要动态特
16、性的优点，同时克服了一般模态集结法需求原高阶系统的特征值和特征向量而带来E大工作量的缺点。1981年，Moore4从系统内平衡实现(IRR)的角度出发，对稳定、可控、)if观的系统，提出了一种渐进稳定的平衡降阶方法。之后，许多学者在许多方面发展了这种降阶方法，对不稳定5, 6)、不可控、不可观7, 81线性定常系统，离散、随机【9, 10、双线性系统【11-13，分别研究了平衡降阶方法，并形成了一整套完整的理论。另外，平衡降阶方法与奇异摄动法14, 15、奇异值分解法16等结合起来而形成的联合降阶法，不仅完善了降阶方法本身的理论，而且使得降阶方法的实际应用成为可能。文献51对于线性定常不稳定系
17、统，利用部分分式展开，通过分离系统不稳定部分与稳定部分，把平衡技术推广到了不稳定场合。而文献6利用坐标变换的方法将不稳定系统转换成稳定系统，然后利用Moore的平衡降阶法对鞍山科技大学硕士论文第一章引言系统进行降阶。文献【7,8首先提出了链集结法并作了一些推广。对于不可观、不11丁控的系统，可以利用链集结法将系统的不可控和不可观部分分离，而后将平衡技术应用于可控、可观部分。链集结法与平衡法结合将是一种强有力的算法。在平衡实现的基础上，研究人员针对不同应用领域、不同数学描述的系统模型、系统模型的不同性态提出了许多种降阶处理方法L17-281，例如:平衡截断法、最优Hankel范数近似法、线性矩阵
18、不等式法(LMI)等。每种方法有各自的应用范围ill特人。然而，平衡降阶法也有待完善之处。如Moore的平衡降阶方法，降阶模型阶的确定是按二阶模态法来选取的，可是由于系统的二阶模态没有包含关于系统足够的信息，用它来估计主导子系统的阶，其结果就不尽人意。系统的包含原理作为简化复杂系统和大系统分析与设计的方法之一，在模型降阶方面已做了一定的研究。根据包含原理，一个系统包含另一个系统，即包含了其所共有的性质和信息，包含原理的早期结果仅仅被限制在状态空间的扩展和收缩。文献29, 301首先将输入输出的扩展和收缩加以考虑。后来，文献31对带有状态和输入包含的控制器设计加以考虑，并引进一个称为extens
19、io。的新概念，作为包含的一个特例。该文献表明，如果采用extension方法，那么在扩展空间进行的控制规律设计可以收缩回原系统，为了在扩展系统与原系统之间保持希望的关系，收缩性用来保证适当的控制器或估计器的应用。在文献32, 331中，提出了线性系统包含的基本定义，将约束和聚集作为包含原理的主要形式，并表明任何状态包含可以分解为一个约束和一个聚集。在这基础之上，文献仁30-38分别论述了性能指标的包含、分散控制器和估计器的设计、随机包含和非线性系统包含。尤其强调的是在扩展空间进行的重叠分散控制规律收缩回原空间的收缩性问题。文献仁34, 35, 391得出了状态包含的可收缩性条件，可以保证任何
20、约束(控制器)和聚集(估计器)类型的状态反馈律能够收缩回原系统实现。文献39中，在随机包含原理的扩展收缩枢架下。对由重叠子系统组成的线性离散时变系统的分散估计和控制问题提出了种解决为一案，克服了重叠信息结构的约束，在扩展空间独立的进行分散估计和控制律的计算，在实现上收缩回原系统。文献【33, 36, 40, 411得到了作为约束条件特例的extension条件，可以保证分散动态输出控制器的可收缩性。更进一步，文献42在更一般的意义上对动态输出控制器的收缩性进行讨论，并表明:聚集更适合观测器参数的收缩，约束更适合静态的状态/输出反馈增益的收缩。可以看出，包含原理的约束条件，为重叠分解控制提供了数
21、学框架，即山重叠子系统组成的被控对象存在共用的输入、状态和输出时，可以在扩展空间进行控制律的没计，然后收缩回原系统实现控制。而包含原理的聚集条件是大系统控制中模鞍山科技大学硕士论文第一章引畜型降阶方案的数学基础。应用包含原理进行复杂大系统的模型降阶已经做了初步的研究。文献481基于包含原理给出了系统11型聚集条件，在系统与其11型聚集的可控性与可观性格拉姆矩阵之积范数之差最小意义下，把系统的n型聚集作为其降阶模型。文献491在Moore平衡法和Schur平衡法的基础上，针对Moore平衡法在系统的可控性可观性阵非正定无法实施平衡变换，进而不能进行平衡降阶的问题利用LU分解对Moore平衡法做了
22、改进，使之能进行平衡降阶。文献【50提出线性时变离散随机系统的状态观测器包含问题，根据系统状态、输入和输出的包含，研究并给出一般情况下状态观测器及其性能指标包含的约束和聚集两类特殊条件，讨论了Ka1man滤波形式最优估计器的收缩条件，为系统降阶观测器的设计提供了有效的方法。文献5门根据线性随机系统的包含原理，研究了系统状态反馈和输出反馈控制器的降阶问题，给出了系统控制器降阶的约束与聚集两类条件，以个18阶系统降阶反馈控制器的设计为例，说明该方法既简化了控制器结构，又不失全阶控制器的主要性能。文献仁52提出对偶系统的对偶包含问题，给出其包含条件及与原系统包含条件之间的对偶关系，对偶系统的约束条件
23、是原系统模型降阶聚集条件的补充，对于原系统聚集条件难于满足而不能降阶的情况，对偶包含条件提供了利用约束条件来达到降阶目的的方法。然而，在应用包含原理进行模型降阶时，比较关键的问题是如何找到满足聚集类和约束类条件使系统收缩的聚集阵和约束阵。本研究课题拟解决的问题就是在包含原理的框架下，结合当前普遍采用的降阶方法，得到满足聚集类和约束类条件使系统收缩的聚集阵和约束阵，达到模型降阶的目的。第二节本课题研究的目的和意义对于复杂的动态大系统，在诸如控制器设计、参数优化、不确定性条件卜的设计评估和对系统行为的比较好的洞察等力一面，找到一个简化模型经常是有用的。因此，许多年以来，在控制系统的分析中，模型降阶
24、方法经过了研究并有儿种方法被用于低阶近似。在解决控制工程问题中，模型降阶技术完成两个重要任务。首先，在使用现代控制综合方法去解决控制设计问题的时候，降阶模型具有高效性;其次，在获得较简单的硬件或软件控制器方面，控制器阶数简化是一个具有前景的研究领域。另外，在研究复杂的物理现象方面，动态系统的直接数字仿真是极为有效的工具，然而，当更多的细节被包括在内时，这种仿真的维数可能增加到不可管理的地步，以致超出了要求的存储和计算的水平。解决这类问题的方法之一是通过模型降阶产I一个与原系统具有相同响应特性的低阶系统，代替在大规模仿真中的原系统，或在实时应用中构建低阶控制器。因而，对本课题的研究具有理论价值和
25、现实的意义。鞍山科技大学硕士论文第二章模型降阶的经典方法第二章模型降阶的经典方法第一节集结方法所谓集结I,就是将系统的状态变量进行合并，用数目较少的一组状态变K-来描述系统的模型。其基本方法是:设刀阶定常线性状态方程X=AX+BU(2一1)令集结变量X=乙IX其中U E R7“(n 0时，上式变为:z, (t)=(A，一A,Z4， Ax,)x,+(B, -AA2-B,)uz, (t)二一A,一， A2,x,一A,-B,u,方程(2-7)代表原系统的近似集结模型。用奇异摄动法进行模型降阶，主要存在如下问题:(飞)动态方程如何转化为奇异摄动的形式:(2)奇异摄动参数如何确定。(2一7)小结本章研究
26、了模型降阶经典方法中的集结方法和摄动方法。大系统的集结可理解为使用“粗糙”集变量的模型。有两种情况希望得到集结模烈当集结状态很重要时和当集结状态近似实际物理变量时。在第种情况下，只要满足集结条件，则可以得到集结模型。但当集结模型用于反馈目的时，系统未保留的模态被反馈信号激励，将导致系统的不稳定。第二种情况则更难以集结。集结的准确性则依赖于集结技术、系统输入和输出摄动是指一些系统动态相互作用被忽略的情况。这个概念导致“弱藕合”和“强藕合”两个相关的问题。其共同点是大系统在多时间域上有影响系统动态的闭环极点或特征值)对于奇异摄动系统，降阶存在的卞要P碍是系统的特征值必须排序和快慢变量必须设法分离。
27、鞍山科技大学硕士论又第三章平衡降阶方法及其联合降阶法第三章平衡降阶方法及其联合降阶法第一节平衡模型降阶Mooref4利用系统可控、可观的概念，最光提出种平衡降阶方法，即系统的内平衡实现理论。基于这个理论，可以确定线性定常渐稳系统的降阶模型。在模型降阶中，平衡实现己被证明是至关重要的。主要思想是测量系统模态的可控性、可观性的强弱程度并舍弃弱可控、弱可观的状态。对于非最小实现系统通常的计算步骤为:()系统最小实现的计算;(2)平衡系统的实现;(3)对于给宁的误差界，用平衡截断实砌.樟型降阶:3.1.1最小实现对川司一系统，由于采用不同的状态变量，所得到的状态方程和输出力程足不同的，状态流图也不同。
28、这些不同的方程表示了系统的不同物理结构。当系统的输入输出特性确定后，不同的物理结构会有不同的物理意义，因此，在控制理论上将如何实现所需输入输出特性的问题称为实现问题。所有可实现所需输入输出特性的实现中，维数最小或物理结构中所使用的积分器最少的实现称为最小实现。在物理结构中，一个积分器的输出就是一个状态变量，因此，积分器最少就是所使用的状态变量最少，即维数最小。可以证明，系统最小实现的充分必要条件是系统的状态完全可控和完全可观测的。即系统的可控性矩阵和可观性矩阵的秩都为n(系统的维数)。MATLA3中的minreal函数用于系统的最小实现。3.1.2系统可控格拉姆阵和可观格拉姆阵系统可控格拉姆阵
29、W和可观格拉姆阵W.定义如下鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法Wa=to e“dC e“dtW,=扩e B Br e“rdt(3一I)当系统稳定时，可控格拉姆阵W和可观格拉姆阵W。可根据下列Lyapuno方程求解。W, A+AW.+CC=OW, A+AW,+B BT=0(3一2)可观格拉姆阵W。与可控格拉姆阵W,具有下列特点:(I)当系统是状态完全可控时，W。是正定矩阵;(2)当系统是状态完全可观测时，W。是正定矩阵;(3) W矩阵中第i个元素的值表示输入变量对第i个状态变量的贡献，其值越大，输入变量对该状态变量的贡献越大。(4) W。矩阵中第i个元素的值表示第I个状态变量对
30、输出变量的贡献，其值越大，该状态变量对输出变量的贡献越大。平衡系统的定义考虑1个一致稳定的线性时不变系统(3一3)其中:x(t) E R， u(t) E R“，Y(t) E R: A、R、C为适当维数的常值知r4-.定义该系统的可控格拉姆阵和可观格拉姆阵分别为:WD=扩。，己C e“dtW,=jeBBre“dt它们分别满足下列的Lvapuriov方程附DA+A W+CT C=0W, A+A W,+B BT=0鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法假如存在4个非奇异坐标变换阵，T E R“作变换x=Tz，则(3- 3)式变为:(3-4)式寸A=TAT,B=T B, C二CT定义1假
31、定系统(3-3)是可控、可观、渐进稳定的，则系统(3-3)的司观格拉姆阵Wo与可控格拉姆阵W。是正定的。如果W。二W,，且为对角阵，则称(3-3)为平衡系统。3.1.4平衡实现在复杂系统分析中，有时一些输入变量对系统输出的影响比另些输入变量对系统输出的影响要小得多，为了使分析和设计更简便，常采用相似变换，使这些状态具有可比性。这种使状态具有可比性的实现称为平衡实现。通常系统3-3)为平衡系统的条件难以满足，对于可观、可控、渐稳系统，Moore找到了一种相似变换T，之后，Laub16提出了计算T的有效方法，即:使可控格拉姆阵W。分解为:班二UUT其中:C为上畏角阵使可观格拉姆阵W,分解为:W=L
32、L其中:乙为下三角阵将UT L奇异值分解为:U7乙=ZSYT鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法T二SZZTU一，二S-3 yT厂通过相似变换:x=TX则平衡实现为:z=Az+BuY=Cx式中:A=T AT, B二T- B,C=CT其算法为:(1)解Lyapunov方程(3-2)，求次，次，(2) WZ,W.，的特征值和正交特征向量。设叮的特征值为:;一玩1凡2气2，对应的正交特征向量为V.V12一V u, f，记E, = (8其中，氏_o,(i二1 ,2,，交阵.设W的特征值为:，一kl:。、Vo:一v_，乙己艺。=boy其中，氏，o,(i = 1 ,2交阵r8, ,n)6“
33、，V=V,-Yc为非负对角阵，VcV为正sa，对应的正交特征向量为:Sazs,“小V二lo, Vo;二Vn) , Z。为非负对角阵，VO为正(3)令T=Vc Zc，得输入平衡系统众一不A不,B二不I B,亡=C不，求(A B司的能观格拉姆阵W:及它的特征值和特征向量得E, ,(。令T=vE v氮告则得内部平衡系统，表示为:A=T- AT, B=TB,C二CT例4:给定一致稳定的线性时不变系统(A, B,动为0 0一150一245一113一19r，”=一。,C=0 0 0 1 LOJ八曰nU11八曰0.一一 A鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法求得坐标变换阵为:一0.10893
34、0一0.107060 0.102163 0.1000040.104121 0.101317 0.1008 27一0.1000 270.1006 45 0.1049 25一0.125146 0.190668一0.111810一0.113071一0.1056 34 0.1006 875-!leslleslesesesesesL- T经变换后得内部平衡系统为:一0.4378一1.1681.168一3.135一0,4143 2.835一0.050 98 0.328 8一0.4143 0.050982.835 0.3288-12.48 3.249一3.249一2.952一!1lwe，.wese.J一一八
35、月B=一0.11810.13070.056340.006 875C=-0.1181一0.1370一0.05634 0.0068753.1.5 Moore的二阶模态法定义2对系统(3-3)，当在坐标变换下成为内部平衡形式(3-4)W a = diag份!s,盯)在坐标变换-F k不变的。二1 ,2,.，n)为平衡系统的二阶模，且有s, Z , 0.时，其我们称s;价模氏，(1=1 ,2,，n)是内部平衡系统的可控可观格拉姆阵的对角元素，它们的大小反映了系统的可控可观程度，同时也能反映系统的输入输出性能。根据前面的分析计算，任何一个一致稳定的线性时不变系统，都可以经过一个合适的坐标变换表示成为内部
36、平衡的系统，它的二阶模是唯一的，反映了系统的输入和输出性能，并且给出了系统可控可观程度的一个量模型降阶的一个很自然的方式是略去系统中弱可控、弱可观的部分，而那些可控可观度较强的状态子.e. I1+J ;it c, f作为原系统的个低阶近似这样就鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法可以根据二阶模的大小来确定一个降阶系统，即考虑一个内部平衡的系统模型，它的二阶模按降序排列J、2之v,2乡一a,2 。根据这些元素对A, B, C进行适当地分块*一A A, BA2, A52一BB, C二(C, CZ可以确定降阶模型A,BC例5:系统模型同上例内部平衡系统的二阶模为:,2 822 832
37、 8421=0.0159 0.272x10- 0.127x10-2 0.8x10-5当取1阶时，得降阶模型:2=-0.43782 + (-0.118)u歹=-0.118123.1.6平衡截断法对于大系统，映射方法是构建降阶模型的十分有效的降阶算法。给定一个连续时间状态空间模型:z(t)=Ax(t)+Bu(t)v(t)=C(t)(3-6)其中:输入。(t) e R“，状态x(t) E R,输出y(t) e R对于一个降阶状态双t) e R“，定义一个。_A, _ .Am0,人十，=0则Hankel奇异值为:H=艺u*二*v,。、一兄，u, (t)=。，拱-w,Ak,Z(t，0)v, (t)=Ak
38、 Be-A照城2 kw,(t， U,I.)E,=diaS(6.,1,.，口:凡r，二，UAh.)分别根据Ilankel奇异值取舍。(4)计算Ti一E:一玉XK%_c oT,-=班%K凡一iWYE -_5)得到降阶模型S，其中:A二兀A双“B=兀BC二CT例6:考虑如下m1mo系统鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法0.500500).2:00 00 00.250 00 04 0一00.2500.25000.250.5O0.50.25Intn曰八曰系统的Hankel奇异值为:H一1.34599705068; 0.561442935324; 0.229553347221; 0.12
39、1751694629;0.994480795128x 10-; 0.377508751606x 10，;0.137796554002 x，。一，舍去后3个Hankel奇异值，得降阶模型万一1.19912 1.176690.22153 -0.614531.20966 0.993030.23454 -0.348570,31978 1.715690.66409一0.2241一0.09831。85714L 0.10835 0.252350.774781.589650.31744一:19715.78316.19452一0.20410一0.23408一2.28659一0.253570,426831一0.4
40、4588!0.55265!一0.37904)0.827380.064240.600920.081150.092760.50952一0.89976BC二一0.327520.16676一0.28986第二节平衡系统的奇异摄动模型降阶算法:(1)利用相似变换确定平衡系统S (A, B, C)(2)将S (A, B, C)分块确定强子系统5,8C)和弱子系统鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法S(A,B21C);(3)计算A,茂:的特征值，检查弱子系统是否为快子系统;1)如果(3)真，则降阶系统S(,9,反C)为万=All - 42A,2-A2B=B:一A一，Az2B,C=c一C,一第
41、三节奇异值分解与平衡降阶利用平衡法与奇异值分解法对系统进行联合降阶，获取的降阶模型较为可靠，而且使得降阶方法的实际应用成为可能(47103.3.1矩阵的奇异值分解(SVD)奇异值分解是矩阵近似的一种通用方法，是矩阵分析的标准工具。矢卜阵的奇异值可以看成是矩阵的种测度。对任意的nxm矩阵A来说，总有ATA_O, AA _0目响rank(AT A) = rank(AAT )=rank(A)可以证明，ATA与AA有相同的非负特征值A，在数学一L把这些非负特征值的平方根称作矩阵A的奇异值，记为。(，)=丫;(ATA)假设rank(A) = r，则矩阵A可以分解为，=:01m7L0 0鞍山科技大学硕士论
42、文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法其中L和M为正交矩阵，d = diag位，。，)为对角矩阵，其对角元素，口，满足不等式Q， (72 .-_a, 0-矩阵的奇异值大小通常决定矩阵的性态，如果矩阵的奇异值的差异特别大，则矩阵中某个元素有一个微小的变化将严重影响到原矩阵的参数，这样的矩阵又称为病态矩阵或坏条件矩阵，而在矩阵存在等于0的奇异值时称为奇异矩阵。3.3.2平衡法与奇异值分解法的联合降阶假设系统S的状态对应某一大系统(其阶次n_n)稳定模态的状态，即系统S稳定。系统(3-3)的可控性格拉姆矩阵W。与可观性格拉姆矩阵W。之积的奇异值大小代表了系统(3-3)状态可控性与可观性的强弱。当系统(3
43、-3)为平衡时，有W二W。二W, = diag(8,8占;，占;.，其中:a,_._&.112:一2!,5, ?0，如果Bn ) &n.,，则系统(3-3)可写成分块形式:Ail月21A121rx1l. rBil B121F-11fl十IA22JLx2J LB21 B22JLu2JY2Cll C12C21 C22一ILX21厂|卜曰一!1介lesllesJ，esesesesesesJxl.xZylrll.1Lreewe.tL根据奇异值的取舍可得降阶模型。第四节近似误差给定一个稳定的线性定常系统x=Ax+Buy=Cx在满足一定误差限的条件下，可以求得降阶系统:鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方
44、法及其联合降阶法AX+BuCx一一一-.X丫即:，*十(S)_ ls一SN 5Ea. (S)其中:E为偏差系统的范数，偏差系统如图所示:a为系统的Hankel奇异值。矩阵的范数是对矩阵的一种测度，其完全的定义如下对于任意的非零向量x，矩阵A的范数为:IGAxllIJAI卜sup u= uIlxll知阵常用的范数定义方法如下IIAII=IIAII,一了smar (A A)=max1喧户丛柑客la, I其中:s_ (A哟为AA矩阵的最大特征值。模型降阶实例一个两区域间电力系统，其系统方程为九阶双输入双输出模型:形如系统(3-3)其中:鞍山科技大学硕士论文第三牵平衡降阶方法及其联合降阶法，leewe
45、esweeslre.se菠llesesJ一1 0.545 1 0 0 0 00一1 1 0 0 0 00一3.27一0.05一S 0 0 00 0 3.333一3.333 0 0 0A=0 0一5.208 0一12.5 0 00 0 0 0 0一1 00 0 0 0 0一3.27一0.050 0 0一6 0 0 00 D 0 0 0 0一5.283Fl 0 0 0一1 0 1 0 11+ “一，。1。1。，F1 o 1 1 1一1 1 1 1C=_._.! 一t1 0 1一1 1 1 0 1 1j系统不是平衡的，将其转化为平衡系统:形如系统(3-4)其中:r一0.6007 1.083 0.07
46、469一0.6526 0.2091 0.2097一。.933，一0.3948一3.029 1.563一0.07923 - 0.20771.17 3.009一1.93一0.6306一1.251一0.3249一0.5474_1.576 1.129.1.694 0.4964 0.9203.4二-0.3622一0.4736 0.6725 -1.824一1.497 2.244一。.09745 - 0.2184一0.01621一。.9901 -3.361一0.3919一0.4921一0.3791)174 -1.538一3.471一0.96181 0.0003089一0.175一0.2686一0.4751一
47、0.7445一0.669:0.0249 0.01075一0.07305 0.05494 0.1101 0.0069440000006一3.333000000003.333一12.5|.，lllJ.|，lwe，weweJ一0.2377一0.13860】798 0.1951.348一0.18520.004434一0.73873.997一0,39461.33 0.4385一14.49 2.973一0.3843一12.491.518一1.206一0.020010刃18930.06716038590.1750.0858一1.522一0.05539一1.280.6132一0.59820.99711.488
48、0.6195一0.8970.2692一0.47290.2363一0.1291一0.04949一0.63550.2486-0.01621鞍山科技大学硕士论文第三章平衡降阶方法及其联合降阶法c=o - .08087一0.2216 1.598 0.5545 0.4714 0.03493 -0.5393 0.1824一0.021271.549 0.8275 0.8079一0.9386 0.2718 0.267一0.3399一0.1696一0.02696平衡系统的格拉姆阵的奇异值为:S=4.0067 0.86360.6907 0.1281 0.0098 0.00860.0002 0.0000 0.0000根据奇异值的大小，取前4个奇异值，可得降阶模型:形如系统(3-8)其中:1.eses卫.，.一0.6007一0.93371.17一0.5474083 0.07469一0.3948一3.029一0.65261.5633.009一1.93一0.6306576 1.129一1.694一leseseseseseseseseseseseseses一0.1020石1320.99710石195一1.547-0.59821.488一0.897一.1几IIllesLLtllesesese
