1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/收 稿 日 期 2005201210第 22 卷 第 2 期 大 学 数 学 Vol. 22 , . 22006 年 4 月 COLL EGE MA T H EMA TICS Apr. 2006一 类 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的 积 分 因 子 解 法宁 荣 健 , 唐 烁 , 朱 士 信(合 肥 工 业 大 学 理 学 院 ,合 肥 230009)摘 要 通 过 寻 求 积 分 因 子 f 1
2、( x) , f 2 ( x) ,求 解 一 类 二 阶 线 性 微 分 方 程 ,包 括 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程和 二 阶 Euler 方 程 .关 键 词 二 阶 线 性 微 分 方 程 ;积 分 因 子 ;通 解 ;Ricoati 方 程中 图 分 类 号 O17511 文 献 标 识 码 C 文 章 编 号 167221454 (2006) 0220123204在 一 阶 线 性 微 分 方 程y + P( x) y = Q( x) (1)中 ,两 边 同 时 乘 以 e P( x) dx 后 化 为( e P( x) dx y) = Q( x) e P( x) d
3、x .再 积 分 即 得 (1) 的 通 解y = e- P( x) dx Q( x) e P( x) dx d x + C .这 里 我 们 称 e P( x) dx 为 (1) 的 积 分 因 子 .对 于 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程y + P1 ( x) y + P2 ( x) y = Q( x) , (2)能 否 找 到 非 零 二 阶 可 微 函 数 f 1 ( x) , f 2 ( x) ,同 乘 (2) 式 两 边 后 将 (2) 转 化 为 f 2 ( x) ( f 1 ( x) y) = f 1 ( x) f 2 ( x) Q( x) . (3)如 果 存 在
4、 f 1 ( x) , f 2 ( x) ,使 得 (3) 成 立 ,就 分 别 称 f 1 ( x) , f 2 ( x) 为 (2) 的 第 一 积 分 因 子 和 第 二 积 分 因 子 .此 时f 1 ( x) f 2 ( x) y + f 1 ( x) f 2 ( x) P1 ( x) y + f 1 ( x) f 2 ( x) P2 ( x) y= f 1 ( x) f 2 ( x) y + f 1 ( x) f 2 ( x) + 2 f 1 ( x) f 2 ( x) y + f 1 ( x) f 2 ( x) + f 1 ( x) f 2 ( x) y ,y + P1 ( x)
5、 y + P2 ( x) y = y + f 2 ( x)f2 ( x)+ 2 f 1 ( x)f1 ( x)y + f 1 ( x)f1 ( x) f 2 ( x)f2 ( x)+ f 1 ( x)f1 ( x)y ,故 有P1 ( x) = f 2 ( x)f2 ( x)+ 2 f 1 ( x)f1 ( x), P2 ( x) = f 1 ( x)f1 ( x) f 2 ( x)f2 ( x)+ f 1 ( x)f1 ( x). (4)定 理 如 果 存 在 非 零 二 阶 可 微 函 数 f 1 ( x) , f 2 ( x) ,使 (4) 成 立 ,则 方 程 (2) 的 通 解 为y
6、 = 1f1 ( x) 1f 2 ( x) f 1 ( x) f 2 ( x) Q( x) d x + C1 d x + C2 . (5)现 在 的 问 题 是 f 1 ( x) , f 2 ( x) 是 否 存 在 ? 如 果 存 在 , f 1 ( x) , f 2 ( x) 又 如 何 计 算 ? 记F1 ( x) = f 1 ( x)f1 ( x), F2 ( x) = f 2 ( x)f2 ( x),F1 ( x) = f 1 ( x)f1 ( x)- f 1 ( x)f1 ( x)2, f 1 ( x)f1 ( x)= F1 ( x) + F21 ( x) . 1994-2010
7、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/代 入 (4) ,得P1 ( x) = F2 ( x) + 2 F1 ( x) , P2 ( x) = F1 ( x) F2 ( x) + F1 ( x) + F21 ( x) . (6)F2 ( x) = P1 ( x) - 2 F1 ( x) , (7)F1 ( x) = F21 ( x) - P1 ( x) F1 ( x) + P2 ( x) . (8)关 键 问 题 在 于 (8) 的 求 解 ,如 果 我 们 可 从 方 程 (
8、8) 中 解 出 F1 ( x) (一 个 特 解 即 可 ) ,由 (7) 得 F2 ( x) ,进而 解 得f 1 ( x) = e F1 ( x) dx , f 2 ( x) = e F2 ( x) dx . (9)代 入 (5) ,便 得 (2) 的 通 解 .而 方 程 (8) 为 著 名 的 Ricoati 方 程 ,Liouville 在 1841 年 证 明 了 在 一 般 情 况 Ricoati 方 程 不 能 通 过 初等 积 分 法 求 解 ,这 为 方 程 (8)的 求 解 带 来 困 难 . 但 这 并 不 是 说 所 有 Ricoati 方 程 都 不 可 用 初
9、等 积 分 法 求解 ,我 们 可 在 一 定 情 形 下 求 解 方 程 (8) .在 (8) 中 令 u = F1 ( x) - 12 P1 ( x) ,方 程 (8) 即 为u = u2 + R ( x) , (10)其 中R ( x) = P2 ( x) - 14 P21 ( x) - 12 P1 ( x) , (11)这 里 P1 ( x) 应 要 求 为 可 微 函 数 .如 果 (10) 中 R ( x) 常 数 ,通 过 分 离 变 量 法 可 解 出 u (显 然 ,对 于 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 而 言 ,R ( x) 常 数 ) . 或 在 (10)
10、中 通 过 观 察 法 及 其 它 方 法 解 出 u 的 话 ,由 u = F1 ( x) - 12 P1 ( x) 及 (7) 立 即 得 到F1 ( x) = u + 12 P1 ( x) , F2 ( x) = - 2 u , (12)进 而 由 (9) 解 出 f 1 ( x) , f 2 ( x) . 代 入 (5) ,即 得 (2) 的 通 解 .例 1 解 方 程 y + y = tan x.解 这 里 P1 ( x) = 0 , P2 ( x) = 1 ,得 R ( x) = 1 ,方 程 (10) 为u = u2 + 1.解 得 一 特 解 为 u = tan x. 所 以
11、F1 ( x) = tan x , F2 ( x) = - 2tan x.由 (9) ,可 取f 1 ( x) = 1cos x , f 2 ( x) = cos2 x.将 f 1 ( x) , f 2 ( x) 乘 以 原 方 程 两 边 后 ,得cos2 x 1cos x y = sin x.由 (5) ,得 其 通 解 为y = C1 sin x + C2 cos x - cos xln (sec x + tan x) .此 例 表 明 :对 于 任 意 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 y + p1 y + p2 y = Q( x) ,我 们 均 可 求 出 其 形 式 通
12、解 .为 求 解 方 便 ,我 们 给 出 二 阶 线 性 微 分 方 程 (2) 的 积 分 因 子 方 法 解 题 步 骤 为 :(a) 先 由 (11) 求 出 R ( x) ,建 立 方 程 (10) ,并 从 中 解 出 一 特 解 u(如 果 可 以 解 出 u) ;( b) 由 u 得 F1 ( x) , F2 ( x) ,进 而 由 (9) 解 出 f 1 ( x) , f 2 ( x) ;(c) 在 (2) 两 边 同 乘 以 f 1 ( x) f 2 ( x) ,化 为 (3) 后 ,由 (5) 求 出 (2) 的 通 解 .例 2 解 方 程 y + 2 x2 y + (
13、 x4 + 2 x) y = e -13 x3.解 P1 ( x) = 2 x2 , P2 ( x) = x2 + 2 x , R ( x) = 0 ,得 u = u2 . 取 其 特 解 u = 0 ,则 F1 ( x) = x2 , F2 ( x) = 0.由 (9) ,可 得421 大 学 数 学 第 22 卷 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/f 1 ( x) = e13 x3, f 2 ( x) = 1.在 原 方 程 两 边 同 时 乘 以
14、 f 1 ( x) f 2 ( x) = e13 x3,得(e13 x3y) = 1.积 分 后 得 其 通 解 为y = e -13 x3 12 x2 + C1 x + C2 .例 3 求 x4 y - 2 x2 y + 2 x y = x - 2 的 通 解 .解 先 将 方 程 化 为 y - 2x2 y + 2x3 y = x - 2x4 . 由 P1 ( x) = - 2x2 , P2 ( x) = 2x3 ,得 R ( x) = - 1x4 . (10) 为u = u2 - 1x4 .作 变 量 代 换 u = v - 1x ,化 简 整 理 ,得( x2 v) = ( x2 v)
15、 2 - 1x2 .由 观 察 法 可 取 v = 1x2 ,即 u = 1x2 - 1x . 由 (12) ,F1 ( x) = - 1x , F2 ( x) = 2x - 2x2 .进 而 可 取 f 1 ( x) = 1x , f 2 ( x) = x2 e2x . 将 其 代 入 (5) ,得 通 解 为y = 1 - 12 x + C1 x + C2 xe -2x .现 在 我 们 运 用 积 分 因 子 法 求 解 二 阶 Euler 方 程x2 y + p1 x y + p2 y = f ( x) . (13)其 中 p1 , p2 为 常 数 .不 难 得 到 P1 ( x)
16、= p1x , P2 ( x) = p2x2 , Q( x) = f ( x)x2 . 故R ( x) = 4 p2 - p21 + 2 p14 x2 , u = u2 + 4 p2 - p21 + 2 p14 x2 .该 方 程 显 然 有 形 如 u = x 的 特 解 ( 为 待 定 系 数 ) . 代 入 上 式 后 ,得 2 + + p2 - 14 p21 + 12 p2 = 0 , (14)称 (14) 为 (13) 的 特 征 方 程 .设 为 (14) 的 一 个 根 ,则 u = x ,从 而F1 ( x) = x + 12 p1x = 2 + p12 x , F2 ( x)
17、 = - 2x .可 取 f 1 ( x) = x2 + p12 , f2 ( x) = x- 2 ,所 以 (13) 的 通 解 为y = x -2 + p12 x2 xp1 - 2 - 42 f ( x) d x + C1 d x + C2 . (15)例 4 解 Euler 方 程 x2 y - 4 x y + 6 y = x.解 p1 = - 4 , p2 = 6 , f ( x) = x. 其 特 征 方 程 为 2 + = 0. 可 取 = 0. 代 入 (15) ,原 方 程 通 解 为y = x2 x - 4 xd x + C1 d x + C2 = x2 12 x + C1
18、x + C2 = x2 + C1 x3 + C2 x2 .521第 2 期 宁 荣 健 ,等 :一 类 二 阶 线 性 微 分 方 程 的 积 分 因 子 解 法 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/如 果 从 特 征 方 程 (14) 中 解 得 为 复 根 ,则 (13) 的 通 解 为 (15) 的 实 部 .最 后 需 要 指 出 的 是 ,这 种 寻 求 积 分 因 子 的 方 法 可 以 推 广 到 更 高 阶 的 线 性 微 分 方 程 (
19、包 括 高 阶 常 系 数线 性 微 分 方 程 和 高 阶 Euler 方 程 ) 上 去 . 但 由 于 关 系 更 为 复 杂 ,运 算 更 加 繁 琐 ,这 里 不 再 作 详 细 讨 论 .例 5 解 方 程 x y+ (3 x - 1) y + (3 x - 2) y + (2 x - 1) y = e - x .解 经 过 与 上 述 问 题 类 似 的 讨 论 ,我 们 可 求 出 其 积 分 因 子 f 1 ( x) = ex , f 2 ( x) = 1 , f 3 ( x) = 1x ,从 而原 方 程 可 化 为1x (ex y) = 1x2 .进 而 得 其 通 解
20、为y = e - x - 12 x2 + 16 C1 x3 + C2 x + C3 .参 考 文 献 1 合 肥 工 业 大 学 数 学 教 研 室 .高 等 数 学 (下 册 ) M . 合 肥 :安 徽 科 学 技 术 出 版 社 ,2001.2 王 柔 怀 ,伍 卓 群 . 常 微 分 方 程 讲 义 M . 北 京 :人 民 教 育 出 版 社 ,1979.The Solution of a kind of Second Order LinearDifferential Equation with Integral FactorN I N G Rong2j i an , TA N G
21、S huo , Z H U S hi2x i n( Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China)Abstract : By looking for the integral factor f 1 ( x) , f 2 ( x) , we can get the general solution of a kind of second orderlinear differential equation , including second order linear differential equation with constant coefficients and second orderEuler differential equation.Key words : second order linear differential equation ; integral factor ; general solution ; Ricoati s differential equation621 大 学 数 学 第 22 卷
