1、初三数学期末复习专题提优抛物线与特殊四边形抛物线中的特殊四边形问题通常是在抛物线图像与性质的背景下，通过运算证明特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形 )的判定条件，解法比较灵活，综合性较强，偏重于考查考生分析图形、以算代证、综合应用数学知识解决问题的能力.学生要较熟练地应用待定系数法、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想和特殊四边形的性质和判定公理.类型一 抛物线与平行四边形1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的一个交点为(2,0),与 轴24yaxbxy的交点为 ，对称轴是直线 ，对称轴与 轴交于点 .C3xB(1)求抛物线的函数表达式;(2)经过 的直线 平移
2、后与抛物线交于点 ，与 轴的交点为 ，当以,Bl MxN为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 的坐标.MN2.如图，经过点 的抛物线 与 轴相交于 , 两点.(0,4)C2(0)yaxbcx(20)AB(1) 0, 0(填“”或 “”);a2bac(2)若该抛物线关于直线 对称，求抛物线的函数表达式 ;x(3)在(2)的条件下，连接 是抛物线上一动点，过点 作 的平行线交 轴于点,AEEACx.是否存在这样的点 ，使得以 为顶点所组成的四边形是平行四边形?若F,CF存在，求出满足条件的点 的坐标;若不存在，请说明理由.3如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与坐标轴交
3、于 A、B、C 三点，其中点 A 的坐标为（0，8），点 B 的坐标为（ 4，0）（1）求该二次函数的表达式及点 C 的坐标；（2）点 D 的坐标为（0，4），点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以 CD、CF 为邻边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF 的面积为 S求 S 的最大值；在点 F 的运动过程中，当点 E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S 的值4如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x
4、轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标； 若不存在，请说明理由类型二 抛物线与矩形、菱形、正方形5.如图，已知抛物线 的图像经过 两点.21yxbc(1,0)4,AB(1)求抛物线的解析式;(2)若 是抛物线上位于第一象限内的点， 是线段 上的一个动点( 不与(,)CmD重合)，过点 分别作 交 于 交 于 .ABD/EBCA,/EFCBF求证:四边形 是矩形 ;F连接 ，线段 的长是否存在最小值?若存在，求出 的最小值;若不存在，请E说明理由.6.在平面直角坐标系中， 为原点，直线 与 轴交于点 ，与直线 交O21
5、yxyAyx于点 ，点 关于原点的对称点为点 .BC(1)求过 三点的抛物线的解析式; ,AC(2) 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 .PQ当四边形 为菱形时，求点 的坐标;PBQCP若点 的横坐标为 ，当 为何值时，四边形 的面积最大? 并说(1)ttPBQC明理由.7.如图，矩形 顶点 的坐标为 (8,3)，定点 的坐标为(12, 0)，动点 从点 出OABCDPO发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 轴的正方向匀速运动，动点 从点 出发，以每秒xQD1 个单位长度的速度沿 轴的负方向匀速运动， 两点同时运动，相遇时停止.在运动,P过程中，以 为斜边在 轴上方作等腰直角三角形 ，设运动
6、时间为 秒.PQxRt(1)当 = 时， 的边 经过点 ;t RQB(2)设 和矩形 重叠部分的面积为 ,求 关于 的函数表达式;ROABCSt(3)如图，过定点 作 ，垂足为 ,当 的顶点 落在矩形(5,0)EFFPQR的内部时，过点 作 轴、 轴的平行线，分别交 于点 ，若ABRxy,EBC,MN，求 的值.4MNt8. 如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像相交于 两点，点ykxb2yx,AB的横坐标分别为 .,AB,(0,)mn(1)当 时， = , = ;1,4mnkb当 时, = , = ;23(2)根据(1)中的结果，用含 的代数式分别表示 与 b，并证明你的结论;mnk(3)
7、利用(2)中的结论，解答下列问题:如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ,点 关于 轴的对称点为点 ，连ABxyCDAyE接 .,OED当 时，求 的值(用含 的代数式表示); 3,mnACOEDS四 边 形 n当四边形 为菱形时， 与 满足的关系式为 ;Am当四边形 为正方形时， = ， = .E9如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（3
8、）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M的坐标参考答案1.(1) 抛物线 与 轴的一个交点为 ，对称轴是 ，24yaxbx(2,0)A3x解得 ，4032ba13,2抛物线的函数表达式为 .4yx(2)当 时，如图 /CMBN点 和点 关于 对称， 点 的坐标为(6,4)3M当 时，如图/点 的纵坐标是4，在抛物线上， 或 ，214x41x341x点 的坐标为 或 .M1(3,)2(,)2.(1)(2)直线 是对称轴，2x(6,0)B将 的坐标分别代
9、入 ，解得 ，,ABC2yaxbc14,3abc抛物线表达式为 .2143yx(3)存在，理由如下：(i)假设存在点 ,作如图 1 辅助线，四边形 为满足条件的平行四边形，EACEF抛物线 关于 对称， 存在点 .243yx2x(4,)(ii)假设还存在点 ，作如图 2 辅助线， 为满足条件的平行四边形， ， 的纵坐标是 4，CAOFG 213x解得 ，127x27x.(,4)(,)E3. （1）把 A（0，8），B（ 4，0）代入 y= x2+bx+c 得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y= x2+x+8；当 y=0 时， x2+x+8=0，解得 x1=4，x 2=8，所以 C 点坐标为（
10、8，0）；（2）连结 OF，如图，设 F（t ， t2+t+8），S 四边形 OCFD=SCDF+SOCD=SODF+SOCF，SCDF=SODF+SOCFSOCD= 4t+ 8（ t2+t+8） 48=t2+6t+16=（t3） 2+25，当 t=3 时，CDF 的面积有最大值，最大值为 25，四边形 CDEF 为平行四边形，S 的最大值为 50；四边形 CDEF 为平行四边形，CDEF，CD=EF，点 C 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D，点 F 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 E，即 E（t 8， t2+t+12），E（ t8， t2+t+12）
11、在抛物线上， （t 8） 2+t8+8= t2+t+12，解得 t=7，当 t=7 时，S CDF=（73） 2+25=9，此时 S=2SCDF=184.（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，A（ 1， 0） ，B（5，0） ，C（ 0， ）三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0） ，C（0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0） ， ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x ，当 x=2 时，y=1 = ，P（ 2， ）
12、 ；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0， ） ，N1（4 ， ） ；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2 作 N2Dx 轴于点 D，在AN 2D 与M 2CO 中，AN2DM2CO（ASA） ，N2D=OC = ，即 N2 点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，N2（2+ ， ） ，N 3（2 ， ） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， ） ， （2+ ， ）或（2 ， ） 5.(1) 图像过点 ，(1,0)4,AB1028|4bc.23yx(2)作如图辅助线， 代入 ，(,1)Cm23yx解得 或
13、(舍去). .32(3,2AB/,DEBFAC是矩形.DECF存在，连接 .当 时， ， 的值最小是 2.,EDF6.(1) 21yx(2) 点坐标为 或P(2,)(12,) 时，四边形 的面积最大.0tPBQC7.(1) 1(2)三种情况： 时，如图甲，1t3962St 时，如图乙,2t 251t 时，如图丙，4748(3) 827t8.(1)3,4 1,6(2) kmnb(3) 3()26ACOEDSn四 边 形若四边形 为菱形， ；2m若四边形 为正方形， .1,n9.（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点， ，解得， ，经过 A，B，C 三点的抛物线的函
14、数表达式为 y=x2+2x+3；（2）如图 1，连接 PC、PE，x= = =1，当 x=1 时，y=4，点 D 的坐标为（1，4），设直线 BD 的解析式为：y= mx+n，则 ，解得， ，直线 BD 的解析式为 y=2x+6，设点 P 的坐标为（x ， 2x+6），则 PC2=x2+（3+2x 6） 2，PE 2=（x1） 2+（2x +6） 2，PC=PE，x2+（3+2 x6） 2=（x 1） 2+（ 2x+6） 2，解得，x=2，则 y=22+6=2，点 P 的坐标为（2，2）；（3）设点 M 的坐标为（a， 0），则点 G 的坐标为（a， a2+2a+3），以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形，FM=MG，即|2 a|=|a2+2a+3|，当 2a=a2+2a+3 时，整理得，a 23a1=0，解得，a= ，当 2a=（a 2+2a+3）时，整理得，a 2a5=0，解得，a= ，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（ ，0），（，0），（ ，0），（ ，0）
