1、3 空 间 力 系,本章主要研究力在空间直角坐标轴上的投影、力对轴之矩、各种空间力系的平衡方程及应用、重心的概念及计算。,本章提要,空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内的力系。在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，则称为空间汇交力系（图3.1（b)；若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力系（图3.1(d)）；若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行，则称为空间一般力系（图3.1（f)。,图3.1,本 章 内 容,3.1 力沿空间直角坐标轴的投影 3.2 力对轴之矩 3.3 空间力系的平衡方程 3.4 重心,3.1 力沿空间直角坐标轴的投影,3.1.1 一次投影法,设有一力F和空间直
2、角坐标系Oxyz(图3.2)。,图3.2,如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为、，则Fx=FcosFy=FcosFz=Fcos,如图3.3所示，如果已知力F与z轴的夹角及F和z轴所形成的平面与x轴的夹角，为求出力F在三个坐标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为Fxy=Fsin然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z轴上的投影分别为Fx=FsincosFy=FsinsinFz=Fcos ,3.1.2 二次投影法,【例3.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图3.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN
3、，试分别计算这三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得P1x=-P1=-2kNP1y=0P1z=0力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴上。,于是可得P2x=0P2y=-P2yzcos45=-0.707kNP2z=P2yzsin45= 0.707kN设力P3与z轴的夹角为，它在xOy面上的投影与x轴的夹角为，则由式(3.2)可得P3x=P3sincos= 2.89kNP3y=
4、P3sinsin= 2.89kNP3z=-P3cos=-2.89kN ,图3.3,图3.4,3.2 力对轴之矩,图3.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如果力F作用在垂直于z轴的平面内（图3.5(b)），则门就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩用mz(F)表示，则mz(F)=mO(F)=Fd在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图3.5(c)所示。,力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩
5、来度量，因此可得mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=Fxyd上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取正号；反之，取负号（图3.6(a)）。也可用右手法则来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图3.6（b)；反之，取负号（图3.6(c)）。,(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0）时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力矩定理。如以R表示一空间力系F
6、1、F2、Fn的合力，则合力矩定理可以表示为mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+mz(Fn)=mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分力对该轴之矩的代数和。,【例3.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力P=100N(图3.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求此力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（3.3)可得力P对x轴之矩为mx(P)=-P(AB+CD)= -35Nm力P对y轴之矩为my(P)=-PBC=-40Nm力P对z轴之矩为mz(P)=0,【例3.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力P=2000N，方向如图3.8所示。图中C点在xOy
7、平面内，试求力P对三个坐标轴之矩。 【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。将Pxy沿x、y轴方向分解为Px和Py两个力，然后即可方便地求出P对z轴之矩。根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8Nmmy(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7Nmmz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1Nm,图3.5,图3.6,图3.7,图3.8,3.3 空间力系的平衡方程,空间一般力系的平衡方程列举如下：Fx=0Fy=0Fz=0mx(F)=0my(F)=0mz(F)=0,3.3.1 空间一般力
8、系的平衡方程,上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分别等于零。,如图3.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的投影都等于零。于是式（3.5）中的Fx=0,Fy=0,mz(F)=0都成为恒等式而可以舍弃。因此空间平行力系的平衡方程为Fz=0mx(F)=0my(F)=0,3.3.2 空间平行力系的平衡方程,上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在与力的作用线平行的坐标轴上的投影的代数和等于零，同时各
9、力对两个与力的作用线相垂直的轴之矩的代数和分别等于零。,图3.9,如图3.10所示为一受空间汇交力系作用的物体，取各力的汇交点O为空间直角坐标系Oxyz的原点。因为各力的作用线都与坐标轴x、y、z相交，所以式（3.5）中的mx(F)=0,my(F)=0,mz(F)=0都成为恒等式而可以舍弃。因此空间汇交力系的平衡方程为Fx=0Fy=0Fz=0,3.3.3 空间汇交力系的平衡方程,上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投影的代数和分别等于零。,图3.10,当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后，应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡
10、问题时，物体所受的约束有些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力的数目也有所不同。现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物体上的约束反力与约束反力偶列于表3.1中。,3.3.4 空间力系平衡方程的应用,【例3.4】有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由分别垂直于两墙的光滑铰接二力杆AC、BC和钢绳CE组成，且E在两墙的交线上。已知=30，=60，铰链C处吊一重W=1.2kN的重物（图3.11（a)），试求两杆和钢绳所受的力。图中A、B、C、D四点都在同一水平面上，杆和绳重都略去不计。 【解】取铰链C为研究对象，画其受力图如图3.11(b)
11、所示。取坐标系如图3.11(b)所示，列出平衡方程Fx=0,SB-TCEcossin=0Fy=0,SA-TCEcoscos=0Fz=0,TCEsin-T=0,因为T=W，故由式（3）得TCE=W/sin=2.4kN将TCE的值分别代入式（2）和式（1）得SA=TCEcoscos=1.04kNSB=TCEcossin=1.8kNSA、SB均为正值，说明原假设方向正确，即两根杆件均受压力作用，其中杆AC所受的力的大小为1.04kN，杆BC所受的力的大小为1.8kN。钢绳受拉力作用，其大小为2.4kN。,【例3.5】用三角架ABCD和绞车提升重W的物体如图3.12(a)所示。设ABC为一等边三角形，
12、各杆及绳索DE都与水平面成60角。已知W=30kN，求将重物匀速吊起时各杆所受的力。滑轮大小及摩擦不计。 【解】取滑轮D为研究对象，其受力图如图3.12(b)所示。 取坐标系如图3.12(b)所示，为了便于计算SA、SB、SC在x、y轴上的投影，首先将各力投影到xy平面上，即SAxy=SAcos60,SBxy=SBcos60,SCxy=SCcos60,T1xy=T1cos60，如图3.12(c)所示。再列出平衡方程Fx=0,SBxysin60-SAxysin60=0即SBcos60sin60-SAcos60sin60=0,Fy=0,T1xy+SCxy-SAxycos60-SBxycos60=0
13、即T1cos60+SCcos60-SAcos260-SBcos260=0W+SC-SAcos60-SBcos60=0Fz=0,SAcos30+SBcos30+SCcos30-T1cos30-T2=0即(SA+SB+SC)cos30-(1+cos30)W=0由式（1）得SA=SB联立式（2）、式（3）、式（4）求解，得SA=SB=31.5kN,SC=1.55kN,【例3.6】三轮起重车可简化为如图3.13(a)所示。已知车身重W1=12.5kN，重力W1的作用线通过ABC平面内的C1点，A点与C1点的连线延长后垂直平分线段BC。起吊物重W2=5kN，重力W2的作用线通过ABC平面内的h点。各尺寸
14、如图所示，试求地面对起重车各轮的约束反力。 【解】取整个起重车为研究对象，画其受力图如图3.13(b)所示。取坐标系如图所示，列出平衡方程Fz=0,-W1-W2+NA+NB+NC=0mx(F)=0,-W11.1+W20.6+NA2=0my(F)=0,-W11.3/2-W20.2+NA1.3/2+ NC1.3=0,由式（2）得NA=5.4kN将NA的值代入式（3）得NC=4.3kN将NA、NC的值代入式（1）得NB=W1+W2-NA-NC=7.8kN,【例3.7】正方形板ABCD由六根杆支承，如图3.14(a)所示，在板上的A点沿AD边作用有一水平力P。板和各杆的重量不计，尺寸如图，试求各杆所受
15、的力。取板ABCD为研究对象，由题意知各杆均为二力杆，故各杆对板的作用力均沿各杆轴线，设各杆均受拉力，画出板的受力图如图3.14(b)所示。板所受各力组成一空间一般力系。 【解】取坐标系如图所示，列出平衡方程Fx=0,-S2cos45-S5cos45=0Fy=0,P-S4cos45=0Fz=0,-S1-S3-S6-S2cos45-S4cos45-S5cos45=0,mx(F)=0,-S1a-S2cos45a-S3a-S4cos45a=0my(F)=0,-S3a-S4cos45a=0mz(F)=0,S2cos45a+S4cos45a=0由式（2）、（5）、（6）联立解得S4=P/cos45=2P
16、S3=-S4cos45=-PS2=-S4=-2P将上面各值代入式（1）、（4）得S1=-S3=PS5=-S2=2P 最后由式（3）得S6=-S1-S3-S2cos45-S4cos45-S5cos45=-P,【例3.8】装有两个带轮C和D的水平传动轴AB，支承于径向轴承A、B上（图3.15(a)），轮的半径r1=200mm，r2=250mm，距离a=b=500mm,c=1000mm。已知轮C上胶带拉力的方向成水平，其大小T2=2T1=5kN；轮D上两边的胶带互相平行，并与铅垂线夹角=30，其拉力大小T3=2T4。不计轮和轴的重量，试求在平衡状态下胶带拉力T3、T4及轴承A、B的约束反力。 【解】
17、取轴与轮整体作为研究对象。其受力图如图3.15(b)所示。取坐标系如图所示，可求解六个未知量RAx、RAz、RBx、RBz、T3及T4。列平衡方程,Fx=0,RAx+RBx+T1+T2+(T3+T4)sin=0Fz=0,RAz+RBz+(T3+T4)cos=0mx(F)=0,RBz(a+b+c)-(T3+T4)cos(a+c)=0my(F)=0,(T3-T4)r2-(T2-T1)r1=0mz(F)=0,-RBx(a+b+c)-(T1+T2)a-(T3+T4)sin(a+c)=0T3=2T4由式（4）和（6）联立解得T3=4kN,T4=2kN,将T3、T4值代入式（5）和（3）解得RBx=-4.
18、13kN,RBz=3.90kN再由式（1）、（2）得RAx=-6.37kN,RAz=1.30kNRAx、RBx得负值，表明反力RAxRBx的指向与图示的相反。,表3.1 空间约束的类型及其约束反力举例,图3.11,图3.12,图3.13,图3.14,图3.15,3.4 重心,（1） 重心由实验可知，无论物体怎样放置，其重力的作用线始终通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。 例如，在起吊物体时（图3.16），为防止重物倾斜，吊钩必须位于被吊物体的重心正上方，而起重机的重心又必须在一定的范围内才能保证在起吊重物时的安全。 ,3.4.1 重心和形心,设有一重为W的物体（图3.
19、17），将它分成许多微小部分，若各微小部分所受的重力分别用W1、W2、Wn表示，则有W=W1+W2+Wn即 W=W取空间直角坐标系Oxyz，设各微小部分重力作用点的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(xn,yn,zn)，物体重心C点的坐标为（xC,yC,zC)。对y轴应用合力矩定理有my(W)=my(W),即 WxC=W1x1+W2x2+Wnxn故 xC=Wx/W同理对x轴取矩可得yC=Wy/W将物体连同坐标轴转动90，使坐标平面xOy成为水平面，由重心的概念可知，此时物体的重心位置C不变。再对x轴应用合力矩定理，可得zC=Wz/W因此，一般物体重心的坐标公式为xC=Wx/
20、WyC=Wy/WzC=Wz/W,（2） 形心若物体是匀质的，即物体每单位体积的重量是常量。设匀质物体各微小部分的体积分别为V1、V2、Vn，整个物体的体积为V，则有W=VW1=V1,W2=V2,Wn=Vn将上述关系代入式（3.8）并消去后得xC=Vx/VyC=Vy/VzC=Vz/V,上式表明，匀质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关，因此，匀质物体的重心也称为形心。对于匀质物体来说，形心和重心是重合的。式（3.9）是体积形心坐标的计算公式。若物体是匀质等厚的薄平板，设板及其各微小部分的面积分别为A和A1、A2、An，板的厚度为，则板及其各微小部分的体积分别为V=AV1=A
21、1,V2=A2,Vn=An,取板的对称面为坐标平面xOy（图3.18)，则zC=0。将上述关系代入式（3.9）中的前两式，消去后得xC=Ax/AyC=Ay/A由上式所确定的C点称为薄板的形心，或平面图形的形心。例如圆球的形心在其对称中心（球心）上（图3.19(a)），T形薄板的形心在其对称轴上（图3.19(b)），管道的形心在其对称面和对称轴的交点C上（图3.19(c)）等。,图3.16,图3.17,图3.18,图3.19,工程中常见的物体往往是由一些简单形体所组成的组合形体；求组合形体的重心一般采用组合法，即将组合形体分割成几个简单形体，而这些简单形体的重心通常是已知的或易求的，这样整个组合
22、形体的重心就可用式（3.8）直接求得。若求匀质物体的重心，则就是求该物体的形心，采用组合法时，可用式（3.9)或(3.10)计算，公式中的V或A即为所分割的简单形体的体积或面积，x、y、z为相应的形心坐标。表3.2中给出了几种常见的简单形体的形心位置，以便在求组合形体的形心时应用。,3.4.2 组合法求物体的重心,【例3.9】角钢截面的尺寸如图3.20所示，试求形心位置 【解】取坐标系如图示，将角钢截面分割为两个矩形，以A1、A2分别表示其面积，C1、C2分别表示其形心位置，则A1=(125-10)10mm2=1150mm2A2=8010mm2=800mm2x1=5mm,y1=10+(125-
23、10)/2mm=67.5mmx2=40mm,y2=5mm由式（3.10）可得角钢截面的形心位置为xC=(A1x1+A2x2)/(A1+A2)=19.4mmyC=(A1y1+A2y2)/(A1+A2)=41.8mm,【例3.10】试求图3.21所示振动打桩机中偏心块的形心位置。已知R=10cm,r=1.7cm,b=1.3cm。 【解】取坐标系如图示，由对称性可知，偏心块的形心必在y轴上，因此xC=0将偏心块分割成三部分：半径为R的大半圆A1、半径为(r+b)的小半圆A2和半径为r的小圆A3。因A3是挖去的部分，故其面积应作为负值。这三部分的面积及其形心的纵坐标为A1=/2R2=157cm2A2=/2(r+b)2=14.1cm2,A3=-r2=-9.07cm2y1=4R/3=4.24cmy2=-4(r+b)/3=-1.27cmy3=0由式（3.10）可得yC=(A1y1+A2y2+A3y3)/(A1+A2+A3)=4cm故偏心块的形心位置为xC=0,yC=4cm,表3.2 简单形体的形心位置,图3.20,图3.21,
