1、第3课时 三角形中的几何计算,【知识提炼】 三角形面积的常用公式 (1)S= aha(ha表示a边上的高). (2)S= absinC= bcsinA= casinB. (3)S= r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ 提示：适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立.,(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？ 提示：能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解.,2.在ABC中，A=45，AB=1，AC=2，则SABC的值为( )【解析】选B.SABC= ABACsinA=,3
2、.已知锐角ABC的面积为3 ，BC=4，CA=3，则角C的大小为( ) A.75 B.60 C.45 D.30 【解析】选B.由 BCACsinC=3 ，得 4 3sinC= ，所以sinC= .所以C=60或120. 又ABC是锐角三角形，所以C=60.,4.边长为4的等边三角形的面积为_. 【解析】S= 44sin60=4 . 答案：4,【知识探究】 知识点 三角形面积公式 观察图形，回答下列问题：,问题1：若AB=c，AC=b，BC=a，你发现ABC的面积S可以直接用a，b，c表示吗？ 问题2：运用三角形面积公式时应注意哪些问题？,【总结提升】 1.运用三角形面积公式时应注意的问题 (1
3、)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式.,(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.,2.处理三角形问题时常用公式 (1)l=a+b+c(l为三角形的周长). (2)A+B+C=. (3)S= aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高).,(4)S= (R是三角形外接圆的半径). (5)S=2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径). (6)海伦公式：S= ，其中p= (a+b+c).,【题型探究】 类型一 与三角形面积有关的计
4、算问题 【典例】1.(2015福建高考)若锐角ABC的面积为10 ，且AB=5，AC=8，则BC等于_. 2.已知ABC中，若cosB= ，C= ，BC=2，则ABC的面积为_.,【解题探究】1.典例1中，由三角形的面积及AB，AC的值可以求出何值？求BC的值采用哪个定理？ 提示：由三角形的面积及AB，AC的值可利用SABC=ABACsinA=10 ，求出A.求BC的值可采用余弦定理.,2.典例2中，求ABC的面积的思路是什么？ 提示：解答本题可先求出sinA，再用正弦定理求出AB，再利用SABC= BCABsinB，求ABC的面积.,【解析】1.由SABC= 58sinA=10 ， 得sin
5、A= .因为A为锐角，所以A=60， 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos60 =25+64-258 =49. 所以BC=7. 答案：7,2.因为cosB= ，所以sinB= . sinA=sin(-B-C)= =sin cosB-cos sinB 由正弦定理得 ，得AB= 所以SABC= BCABsinB= 2 答案：,【延伸探究】 1.(改变问法)若典例2的条件不变，求ABC的外接圆的面积是多少？,【解析】设ABC的外接圆的半径为R， 由正弦定理可知 =2R， 由典例解析知AB= ，C= ，即 =2R，解得R= ABC的外接圆的面积为S=R2=( )2= .,2.(变换条件
6、)若将典例2中条件“C= ，BC=2”变为“cosA=- ，BC=5”，其他条件不变，试求ABC的面积.,【解析】由cosA=- ，得sinA= 由cosB= ，得sinB= 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB由正弦定理得AC= 所以SABC= BCACsinC= 5,【方法技巧】三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般用公式S= absinC= bcsinA=acsinB进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.,(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角
7、，再利用三角形面积公式进行求解.,【补偿训练】1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C= ，则ABC的面积为( ),【解析】选B.因为B= ，C= ，所以A=-B-C=- - = 由正弦定理 ，得 即 ，所以c=2 . 所以SABC= bcsinA= 22 sin,2.已知在ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则AC边上的高为_.,【解析】设AC边上的高为h，由余弦定理知 cosB= 所以sinB= 所以SABC= 又SABC= 4h，所以2h= ，所以 答案：,类型二 与三角形中线段长度有关的计算问题 【典例】1.(2015重庆高考)在ABC中，B=120
8、，AB= ，A的角平分线AD= ，则AC=_. 2.(2015安徽高考)在ABC中，A= ，AB=6，AC=3 ，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长.,【解题探究】1.典例1中，求AC长度的思路是什么？ 提示：首先根据正弦定理可求出BDA的大小，从而能够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形，再利用余弦定理可求出AC的值. 2.典例2中，求AD长度的思路是什么？ 提示：先用余弦定理求出BC的长，再利用余弦定理求出AD的长.,【解析】1.在ABD中，由正弦定理可知即 所以sinBDA= ，即BDA=45， 所以BAD=15， 又因为AD为角A的平分线，,所以BAC=30，BCA=30，即AB=
9、BC= ， 在ABC中，由余弦定理可知 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=2+2-2 ( )=6， 所以AC= . 答案：,2.在ABC中，由余弦定理得， BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC= 62+(3 )2-263 cos =90， 所以BC=3 ，,在ABD中，设ADB=，则ADC=180-， 设AD=x，则BD=x，DC=3 -x，由余弦定理得： AB2=AD2+BD2-2ADBDcos， 即36=2x2-2x2cos AC2=AD2+DC2-2ADDCcos(180-)， 即18=x2+(3 -x)2+2x(3 -x)cos 由解得x= ，即AD= .,【方
10、法技巧】三角形中几何计算问题的解题要点及关键 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.,【变式训练】如图，在ABC中，B= ，AB=8，点D 在BC边上，且CD=2，cosADC= .(1)求sinBAD. (2)求BD，AC的长.,【解析】(1)在ADC中，因为cosADC= ， 所以sinADC= ， 所以sinBAD=sin(ADC-B) =sinADCcosB-cosADCsinB,(2)在ABD中，由正弦定理得 BD= =3，所以BC=BD+
11、CD=5. 在ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB =82+52-285 =49. 所以AC=7.,类型三 三角形中的综合问题 【典例】1.(2015唐山高二检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足则ABC的面积为_.,2.在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C= . (1)若ABC的面积等于 ，求a，b. (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求ABC的面积.,【解题探究】1.典例1中，求三角形面积的关键是什么？ 提示：由条件 ，利用cosA=2cos2 -1求出sinA的值.,2.典例2中，(1)
12、中如何求a，b的值？(2)由条件sinC+sin(B-A)=2sin2A可得出怎样的结论？ 提示：(1)利用余弦定理得出a2+b2-ab=4，再由ABC的面积等于 ，得出ab=4，联立关于a，b的方程组，得到a，b的值.,(2)由sinC+sin(B-A)=2sin2A，结合两角和与差的正弦公式及倍角公式，可得sinBcosA=2sinAcosA.,【解析】1.因为 ，所以cosA= 则sinA= .又由 =3，得bccosA=3，所以bc=5， 所以SABC= bcsinA=2. 答案：2,2.由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4. (1)因为ABC的面积等于 ，所以 absinC=
13、，得ab=4， 联立方程组 解得a=2，b=2.,(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA， 即sinBcosA=2sinAcosA. 当cosA=0时， 当cosA0时，得sinB=2sinA， 由正弦定理得b=2a，联立方程组,解得 所以ABC的面积S= absinC=,【方法技巧】解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解.,(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据
14、题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.,【变式训练】a，b，c分别是锐角ABC的内角A，B，C的对边，向量p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA-cosA，1+sinA)，且pq，已知a= ，ABC面积为 ，求b，c的大小.,【解题指南】由pq，根据共线向量基本定理即可求得sin A= ，所以A=60，根据ABC的面积可求得bc=6，而由余弦定理便可得到b2+c2=13，联立式即可求出b，c.,【解析】因为p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA-cosA，1+sinA)，且pq， 所以(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-
15、cosA) =0，即4sin2A-3=0， 又A为锐角，则sinA= ，所以A=60， 因为ABC面积为 ，所以 bcsinA= ，,即bc=6， 又a= ， 所以7=b2+c2-2bccosA，b2+c2=13， 联立，解得 或,【补偿训练】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA=ccosA+acosC， (1)求A的大小. (2)若a= ，b+c=4，求ABC的面积.,【解析】(1)由已知条件得 2cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB. 又因为sinB0，所以cosA= . 又因为角A为ABC的内角，所以A=60.,(2)
16、由余弦定理得 7=b2+c2-2bccos60 =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc， 将b+c=4代入，得bc=3. 故ABC面积为S= bcsinA= .,规范解答 与三角形面积有关的综合问题 【典例】(12分)(2015天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3 ，b-c=2，cosA=- . (1)求a和sinC的值. (2)求cos( )的值.,【审题指导】 (1)要求a的值，只需要利用 bcsinA=3 求出bc的值，然后与b-c=2联立求出b，c，再利用余弦定理求解；要求sinC的值，只需要利用正弦定理 求解. (2)要求cos( )的
17、值，只需要利用两角和的余弦公式及倍角公式求解.,【规范解答】(1)在ABC中，由cosA=- ， 得sinA= ，1分 由 bcsinA=3 得bc=24 2分 又由b-c=2，解得b=6，c=4. 3分,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 可得a=8. 5分 由正弦定理得 得sinC= .7分,(2)由(1)知cosA=- ，sinA= ， 所以cos2A=2cos2A-1=- ，9分 所以sin2A=- ，10分 因此cos =cos2Acos -sin2Asin = .12分,【题后悟道】 1.熟练掌握定理和公式 对正弦定理、余弦定理及三角公式要熟练掌握其形式及特点，并结合条件确定边、角之间的关系.如本例中求 的值，要联想到两角和的余弦公式及倍角公式.,2.注意数学语言的规范应用 使用简洁、准确的数学语言描述解答过程，是解答得分的根本保证，如本例中“由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得a，由正弦定理得 得sinC”，将正弦定理、余弦定理与已知条件结合列出对应表达式，是解三角问题的规范格式.,
