1、第19节 解直角三角形,考 点 突 破,课 前 预 习,第2课时 解直角三角形的应用,课 前 预 习,1. （2014襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45，测得大树AB的底部B的俯角为30，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）.,解析：作CEAB于点E，在RtBCE中，BE=CD=5m，在RtACE中，AE=CEtan45=5 m，AB=BE+AE=（5+5 ）m,5+5,课 前 预 习,2. （2014苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该
2、船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A4km B2 km C2 km D（ +1）km,解析：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4，AD= OA=2CAB=90-15=75，在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=2，AB= AD=2 即该船航行的距离（即AB的长）为2 km,C,课 前 预 习,3. （2014怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角A= ,解析：由题意得：AB=4米，BC=2米，在RtABC中，故
3、A=30.,30,考点2 解直角三角形的应用,考 点 突 破,1. （2009广东）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： 1.732， 1414）,解析：过点P作PCAB，C是垂足AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区,考 点 突 破,答案：解：过点P作
4、PCAB，C是垂足则APC=30，BPC=45，AC=PCtan30，BC=PCtan45AC+BC=AB，PCtan30+PCtan45=100km， PC=100，PC=50（3 ）50（31.732）63.4km50km答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区,规律总结：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）度,考 点 突 破,2.（2011广东）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AC
5、到公路l，小明测量出ACD=30，ABD=45，BC=50m，请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据： 1.414， 1.732）,解析：根据AD=x，得出BD=x，进而利用解直角三角形的知识解决，注意运算的正确性,考 点 突 破,答案：解：假设AD=x，ADDC,ABD=45AD=x，BD=x，ACD=30，ABD=45，BC=50m，tan30= = ， = ，AD=25（ +1）68.3m答：小明家到公路l的距离AD约为68.3m.,考 点 突 破,3.（2012广东）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan= ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为
6、26.6，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）,解析：首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可,考 点 突 破,答案：在直角三角形ABC中， =tan= ，BC=在直角三角形ADB中， =tan26.6=0.50即：BD=2ABBDBC=CD=2002AB AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米,考 点 突 破,4.（2014广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C
7、的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A、B、D三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）（参考数据： 1.414， 1.732）,解析：首先利用三角形的外角的性质求得ABC的度数，得到BC的长度，然后在RtBDC中，利用三角函数即可求解,考 点 突 破,答案：解：CBD=A+ACB，ACB=CBDA=6030=30，A=ACB，BC=AB=10（米）在RtBCD中，CD=BCsinCBD=10 =5 51.732=8.7（米）答：这棵树CD的高度为8.7米,考 点 突 破,5.如图，热气球的探测器显示，从热气
8、球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据： 1.73）,解析：由题可知，在图中有两个直角三角形在RtABD中，利用30角的正切求出BD；在RtACD中，利用60角的正切求出CD，二者相加即可,考 点 突 破,答案：解：如图，过点A作ADBC，垂足为D根据题意，可得BAD=30，CAD=60，AD=66在RtADB中，由tanBAD= ，得BD=ADtanBAD=66tan30=66 在RtADC中，由tanCAD= ，得CD=ADtanCAD=66tan60=66 BC=BD+CD= 152.2
9、答：这栋楼高约为152.2m,考 点 突 破,6.今年“五一“假期某数学活动小组组织一次登山活动他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30已知A点海拔121米C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度,解析：（1）过C作CFAM，F为垂足，过B点作BEAM，BDCF，E、D为垂足，构造直角三角形ABE和直角三角形CBD，然后解直角三角形（2）求出BE的长，根据坡度的概念解答,考 点 突 破,答案：解：（1）如图，过C作CFAM，F为垂足，过B点作BEAM，BDCF
10、，E、D为垂足，在C点测得B点的俯角为30，CBD=30，BC=400米，CD=400sin30=400 =200（米），B点的海拔为721200=521（米）；,（2）BE=DF=521121=400米，又AB=1040米，AE= = =960米，AB的坡度iAB= = = ，故斜坡AB的坡度为1：2.4,考 点 突 破,7.如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）,解析：过点A作AFBC于点F，在RtABF中求出AF，然后在RtAEF中求出AE即可,答案：解：过点A
11、作AFBC于点F，在RtABF中，ABF=60，,考 点 突 破,8.如图，装修师傅装修一间房子，在两墙之间有一架底端在M点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在A点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D点已知AMB=60，DMC=44，且点A到地面的垂直距离为4米，试求D点到地面垂直的距离（结果保留三个有效数字）（ 1.414， 1.732,Sin440.695,cos440.729）,解析：此题求的是CD的长，隐含的等量条件是AM=DM，可根据这个条件来解题；首先在RtABM中，通过解直角三角形求得AM的长，即可得DM的长，已知了DMC的度数，利用DMC的正弦函数即可得到CD的长,考 点 突 破,答案：解：在RtAMB中，在RtDCM中，AM=DM，DMC=44，CD=DMsin443.21（米）；答：D点到地面垂直的距离是3.21米,考 点 突 破,考点归纳：本考点曾在20072009、20112012、2014年广东省考试中考查，为高频考点.考查难度中等，为中等难度题.本考点应注意：利用解直角三角形的知识解决实际问题需要我们将实际问题抽象为问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题），再根据条件的特点，适当选择锐角三角函数去解直角三角形.,谢谢！,
