1、,63 平面曲线的弧长,一、平面曲线的弧长的概念,二、直角坐标情形,三、参数方程情形,四、极坐标情形,一、平面曲线的弧长的概念,定理 光滑曲线弧是可求长的,设A，B 是曲线弧的两个端点,AM0，M1，M2， ，Mi1，Mi， ，Mn1，MnB ，,并依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加,极限存在，,是可求长的,则称此极限为曲线弧AB的弧长，,M0,=Mn,如果此折线的长 |Mi1Mi|的,二、直角坐标情形,设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数,曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为，,弧长元素(即弧微分)为,已
2、知曲线的弧长为,s ,讨论：,(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r()在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？,解,因此，所求弧长为,yx 3/2，,从而弧长元素,例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度,ds,，,s,，,解,从而弧长元素为,ds,因此，所求弧长为,s,长度,例2 计算悬链线 上介于xb与xb之间一段弧的,三、参数方程情形,设曲线弧由参数方程,其中(t)、(t)在，上具有连续导数,给出，,dx(t)d t ，,所以弧长元素为,所求弧长为,( t ),，,解,所求弧长为,8a ,弧长元素为,x ( )a (1cos )，y ( )a sin ,ds,s,四、极坐标情形,设曲线弧由极坐标方程,给出，其中r()在，上具有连续导数,由直角坐标与极坐标的关系可得,r = r() ( ),于是得弧长元素为,从而所求弧长为,解,ds,于是所求弧长为,例4 求阿基米德螺线ra (a0)相应于 从0到2 一段的弧 长,s,弧长元素为,r( ) a,，,
