1、第二章 数学思想古今史概要,第一节 数学教师应具有的数学史修养 第二节 数学科学的发展历程 1 数数学数学科学 2 几次重大思想方法的突破 3 影响数学发展的几大学派 4 数学文化的对思维 第三节 数学的发现,第一节 数学教师应具有的数学史修养,在现代社会中，学习数学被认为是每个人赖以立足未来社会，拓展生存空间的必要条件之一。教师如何选择内容，如何在数学教育中使学生把握有效的数学知识、经验（教什么，怎么教），是众多数学家、数学教育家所关心的问题；而学生从上学伊始到完成初等教育学业甚至到高等教育中都需不断地学习数学，应该学习什么样的数学，怎样才能学好数学（学什么，怎么学），在自主性日益提高的现代
2、教育中也是社会所广泛关注的问题。,要解决好这些问题，我们分析近现代数学教育改革的正反两方面的经验，得出的首要结论是：要根据科技进步、社会发展的需要，依据学生的身心发展特征，对数学课程的内容加以定位和定向（定位是指有关数学知识在数学发展的历史长河中所取得的特定位置，即它产生的时代背景、知识形成的来龙去脉，前后知识间的相互夫联及其应用；定向是指有关数学知识在数学教育整个过程所取得的导向，即它所处数学教育的特定阶段，当时数学教育的改革思路和发展趋向），应选择那些符合社会发展需要，适合学生年龄特征的数学作为教与学的载体。,定位的依据是数学史。定向则有赖于数学教育史，作为中学数学教师要熟悉数学史，掌握数
3、学发展史的思想和方法，洞悉千百年来数学教育的历程和成功经验，才能为改革中学数学教学，完成现阶段数学教育任务提供知识和能力上的条件。叶澜在更新教育观念，创建面向21世纪的新基础教育一文中指出：“与非教师专业人员学习同一学科相比，要求上的区别在于要增加有关学科发展实际趋势，创造学科知识的科学家的创造活动、科学精神及人格力量等方面的知识，以充分发挥学科知识的教育作用。,对数学史的学习研究可分为三个层次：了解性学习；学习掌握性学习、研究性学习。第一层次要求知道数学发展的概况，起过重要作用的数学家，影响深远的数学、思想、方法等。第二层次可以从数学史中适当提取相关内容，用于数学研究、教学、学习之中。第三层
4、次以文献资料、古籍、文物等为线索，研究不同时期数学发展、数学家活动、数学思想、方法的进展等，并对数学的发展趋势提出预见性分析。,结合中学数学教育的特点，中学数学教师应具有的数学史素养，属于第二层次，具体包括：满足数学教学活动的数学史修养为做好教学工作，作为一名中学数学教师要掌握中学主要知识产生的时代背景及其发展过程；中学数学思想的基本内容及其含义；中学阶段数学主要符号的产生与形成；从中外数学的发展过程中，感受数学家的作用和人格风范；从数学理论与实践的密切联系中，树立学生的辩证唯物主义世界观。所有这些都离不开数学史的有关知识。,首先，要了解中学数学知识的来龙去脉。每一个数学原理、概念、定理的诞生
5、，都与社会和数学学科发展密切相关，中学阶段所学习的是人类文明数千年来积累的数学知识经验，及一些为适应现代科技发展需要的数学新领域的基本观点。作为教师只有深刻领会这些数学知识的来龙去脉，才能做到有的放矢，让学生学到“活”的数学。,例如，数概念中的负数、无理数、复数等都曾有一段牵动人心的数学史话，恰当地在教学中加以应用，不仅能开阔学生的视野，还能加深学生对学习内容的理解，提高学习的兴趣。拿负数来说，人类接受负数经历了长期痛苦的历程，拒绝负数曾使希腊数学错过了再攀高峰的机遇。因此，对孩童来说，学习、理解负数决非成人所想的那样简单。只有从感性出发，结合具体的相反意义的量使学生对之有实感，在此基础上进行
6、文字式概括性定义，对他才有意义。挖掘隐含在数学知识背后数学创造的历程，将其融人数学课程的学习中，可使学生全面深刻地理解数学，体会到何谓“数学对象：思维材料的形式化抽象”，感受到数学做为人类智慧的结晶的魅力所在。,第二，要掌握中学数学思想的基本内容及意义。数学思想指的是：关于数学的本质、数学的特点、数学与客观世界的关系、数学与其他学科的关系的观点以及研究数学的方法；进一步说，它还包括：数学作为一个理论体系，它应该是什么样的理论体系。从古到今，数学思想的发展沿着算法的或逻辑的道路有过数次大的转折，从中国、埃及、巴比伦的使用数学，到希腊的“万物皆数”、“研究理念世界的不变关系”，再到笛卡尔、牛顿用数
7、学描述自然界的思想，及至非欧几何诞生，为微积分奠基，发展到康托创立集合论，为排除罗素悖论数学家们重建数学基础的努力，以及冯诺伊曼划时代的工作导致现代应用数学的蓬勃发展，都展现着数学从“抽象具体抽象具体”，不间断地循环上升的轨迹。,第三，从数学史中感受数学家的思维方式和人格风范。人们常从特定的角度、特定的思维框架出发看世界，这是思维方式的不同。数学发展史上做出突出贡献的数学家，其研究数学问题、解决数学问题的思维方式就是一笔宝贵的财富，对启迪我们的思维，教学生像数学家们那样思考是非常有益的，而众多数学家不畏困难，矢志追求科学真理和甘为人梯的崇高人格力量，又是对学生进行德育的极好索材。,“读读欧拉，
8、他是一切人的老师”。欧拉在几何、微积分、力学、天文学、数论，甚至在生物学等方面都有着重要的建树，留下了许多泽及后人的光辉思想。特别是在天灾人祸（双目失明、失火烧掉大量数学手稿等）的打击面前，欧拉仍然顽强不屈、进击不止，为我们留下了宝贵的财富，体现了他对数学真理的执著追求。那些在数学史上做出过突出贡献的数学家，都是锐意进取，创新意识非常强烈的人，了解数学家的思维方式和人格风范并将其有机地融人到日常的教学活动中去，定能充分发挥数学教育的育人功能。,第四，从数学发展中学习唯物辩证法。笛卡尔创立了坐标系，把辩证法引入了数学（恩格斯语）。的确，数学中充满了辩证法，正与负、实与虚、有穷与无穷、常量与变量，
9、数学发展的历史中也充满了辩证法，逻辑倾向与算法倾向各领风骚的发展历程，各大流派从对立论争到趋子融合。深入学习数学发展史，深刻体会其中辩证论的观点，结合教学活动，使学生在数学学习活动中潜移默化地领受到辩证法的熏陶，当是数学教育的一个高境界。满足数学研究活动的数学史修养面向新世纪，数学教师不应只是教书匠，还应是教育家，能根据教学实际提出研究课题，提供课程改革方案，进行有目的的教学实验，以服务于教学活动，不断提高教学质量。,研读数学思想史会增强教师从事数学教科研活动的文化底蕴。数学从其起源至今，有数次因思想方法的突破导致数学新分支的诞生，开创出数学发展的新领域。诸如数学家在近两千年时间内因循传统思维
10、方式，试图解决欧几里德第5公设的疑问徒劳无功，后来由高斯鲍那和罗巴切夫斯基，突破传统框架以新的思维方式创立了非欧几何。而坐标几何、微积分、计算机科学等的发展，更是从根本上影响和改变着人类社会文明的进程。以史为鉴，可以知兴衰，历史是最好的启发式，数学史是促进教师数学研究活动的必备修养。,同日益发展的学科教学论相比，数学史所提供的中学数学教学的知识背景、思想方法、德育素材更为直接，具有针对性。实效性；数学史素养，不仅是数学教师教学工作所必需的，也是其形成数学思想。科学探索信念的精神源泉。使每位数学教师了解数学发展（包括数学思想发展）的脉络，了解数学大师的卓越成就。思维方式和人格畦力，从而以此影响更
11、多的人乐于、善于学习数学，是数学史应该起到、也是可以起到的作用。,1 数数学数学科学,在人类奔腾向前的历史长河中，数的由来和发展亦经历了曲折的过程。人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。 但在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。数的概念最初不论在哪个地区都是从1、2、3、4这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。,由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义数。尽管
12、人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家族已发展得十分庞大。,只要我们睁眼看世界，就会看到许多图形，形的概念也和数的概念一样，是人的头脑经过思维，把客观世界中物体的各种形状加以比较、综合和提炼而形成的。人们把具体事物的图形抽象成典型的数学图形，再对这些图形的特征和彼此的关系一一进行研究，就产生了“几何学”。,从具体图形中抽象出点、线、面、体这些概念是对图形认识的第二次飞跃。第三次飞跃是把运动的观点反映到图形研究中来，把图形看成点在空间运动的轨迹。第四次飞跃是对空间认识的扩展。人类居住的空间是三维的，所以其中的几何图形也只能从长、宽、高这
13、三个方向度量。而德国的数学家和物理学家闵可夫斯基又提出了“四维空间”的概念，就是原来的三维再加上时间。“四维空间”概念在爱因斯坦相对论发展中成为重要的数学工具。第五次飞跃是拓扑学的诞生。,公元前300年左右的古希腊数学家欧几里得，他编撰的不朽之作几何原本是数学史上最伟大的里程碑之一，成为历史上使数学真正条理化的第一个重要标志，被誉为“数学的圣经”。这本书对后世的影响超过了任何一本其他的数学著作。,数学从蒙昧古代的源头发展到今天，就像长江、黄河一样，是由涓涓细流，一点一滴，曲曲弯弯，才汇合成蔚为壮观的大江大河。数学发展的历史也像滚滚江河一样，有时平缓，有时澎湃。但无论遇到多少曲折险滩，它永远不可
14、阻挡地奔腾向前。数学长河可划分为萌芽时期、初等数学时期、变量数学时期和现代数学时期几个大阶段，经历了由数数学数学科学的发展。,3 影响数学发展的几大学派,如前所述，为了排除集合论悖论，采用了集合论的公理化，是假定数学所用的逻辑是不存在问题的，但是在二十世纪初，就有了不再同意这个前提的几派思想。数学家们探讨数学的妥善的基础究竟是什么。,31 逻辑学派,罗素和沃特海德创立了逻辑派，其哲学称为逻辑主义。他们抱有这样的想法，即数学可以从逻辑推导出来，因而是逻辑的一种展延。他们引入了层次论， 层次论是想要避免这样的悖论，罗素和沃特海德对这个困难的解决是要求“任何牵涉着一个集合的有元素的东西，都不能成为这
15、个集合的元素。他们申明，一个（逻辑）函数不能由这个函数本身定义的东西作为变元，并说明层次论把悖论避开了。” 逻辑主义学派片面强调数学与逻辑在演绎结构上的一致性，完全抹杀了数学和逻辑学科的质的差异。尽管有批评，罗素和沃特海德也作出了贡献，它以完全符号的形式实现了逻辑的彻底的公理化，从而大大地推进了数理逻辑这门学科的发展。他们揭示了数学和逻辑之间的关系，对于当今计算机的研究有重大现实意义，另外其层次论对研究、排除悖论也卓有成效。,32 直观派,与逻辑派不同，一群被称为直观主义者的数学家，对数学采取了根本不同的研究途径。第一个直观主义者是克罗内克，他接受整数。因为它们在直观上是清楚的，它们“是神造的
16、”，其它的东西都是人造的，是可疑的。第二个强有力的倡导者是庞加莱，他因为集合论产生了悖论就反对集合论，他也不承认逻辑派挽救数学的计划。近代直观主义的系统的创立者是布劳威尔。直观主义者坚持要有构造性的定义，直观主义的无穷观、逻辑法则、构造性数学是为了排除悖论，但限制过多，只承认一部分最保险的数学，被抛弃的合理因素太多，而遭到大多数数学家的反对。但也有许多合理因素应给予肯定，构造性方法、能行性研究等都对现代数学研究和计算机发展具有重大意义。,33 形式派,数学的第三种主要的哲学，称为形式派，它的领导人是希尔伯特其动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术的相容性。因为他自己对于几何的相容性
17、的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题。他还曾企图去战胜克罗内克的必须抛掉无理数的论点 希尔伯特是一个乐观主义者，对人类的推理和理解的能力有无限的信心，认为“任何确定的数学问题总是可以解决的”。他们的贡献在于：a.形成一套完整的形式化研究方法；b.元数学和证明论的发展，成为重要的数学宝藏；c.对消除直觉主义造成的对古典数学的怀疑气氛有极大意义。形式化方法是近代人类抽象思维的伟大成果之一。 综上所述，三大派别为数学奠基的努力都未成功，亦留下了许多影响深远的思想和方法，成为现代数学研究的工具，了解这些工作对今天数学的发展和数学教育研究都是极为有益的。,4.数学文化的
18、对思维,41 直觉与数学 庞加莱说过：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地没有直觉，数学家就会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。” 直觉始终在创造性的数学中起作用，甚至推动和引导最抽象的思维过程。” 42 宏观与微观 哲学从宏观上探讨对整个世界的意义与道理，是人们对整个世界的本质观点体系，其最根本的内容就是思维对存在、精神对物质的关系问题。数学细致入微，一旦成功进入到一门学科中，它就无可争辩地获得了该学科的支配权。这种支配权实际上就是没有第二个标准。 43 抽象与具体 哲学喜欢对具体东西进行研究，它研究世界上一切
19、事物发生变化的普遍规律，以及人们认识世界的概念、意义。数学与哲学不一样，数学源于实践，但是它研究抽象。数学的定义、定理、公设，是源于实践的，但又是高度抽象的。,45 证明与非证明 大哲学家黑格尔曾说过：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的，这种研究有个前提，比如对某一结构关系，通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质；假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。哲学无需证明，也无需“假设”、“如果”。哲学的命题从来都是不含糊的、肯定的、唯一的。 46 约束与非约束 数学依赖于客观世界，经过抽象形成自己的概念。但概念一旦形成，数学本身也就把自己制约在概念中了。哲学则不然，它不受概念的限制与约束。 47 量变与质变 数学是研究事物关系的模型以及对事物运动状态进行描述的科学，其中一个非常重要的本质性问题就是量变与质变的问题。,48 有限与无限 世界上每一项知识，都与无限宇宙有着关联。数学更是如此。关于数学无限的双相性也可表述为有限与无限的统一性：任何无限性对象都既是无限的、又是有限的。 49 必然性和偶然性 世界上有两大谜使理性迷惑：一是自由与必然如何协调的问题，二是连续性与不可分割性如何统一的问题。这两个问题，既是数学的基本问题，也是哲学的重要问题。 410 先天知识与后天经验知识,
