1、北京吉利大学 GM1000 倪健毓1运输问题的解决方法一、问题背景：这类问题的典型提法是，为了把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，已知每个产地的供应量和每个销地的需求量，如何在许多可行的调运方案中，确定一个总运输费或总运输量最少的方案。运输型问题具有上述特点的线性规划问题通常被称为运输型问题。现已发现的运输型问题有以下 6 类:一般运输问题,又称希契科克运输问题，简称 H问题。网络运输问题，又称图上运输问题,简称 T 问题。最大流量问题,简称 F 问题。 最短路径问题 ,简称 S 问题。任务分配问题，又称指派问题 ,简称 A 问题。生产计划问题，又称日程计划问题, 简称 CPS 问题。其中
2、一般运输问题、任务分配问题和生产计划问题通常都可以用表上作业法求解，而网络运输问题、最大流量问题和最短路径问题一般可用图上作业法或网络技术求解。对于规模不太大的运输问题可用图上作业法或表上作业法求解。生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少往往都要用到运输问题。二、例题：某架货机有三个货舱：前仓、中仓和后仓。三个货舱所能装载货物的最大重量和体积都有所限制，如下表所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱实际装载的重量必须与允许最大的重量成比例。表2-1三个货舱最大允许装
3、载的货物的重量和体积前仓 中仓 后仓重量限制（吨） 10 16 8北京吉利大学 GM1000 倪健毓2体积限制（ ）3米 6800 8700 5300现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表2-2，最后一列指装运后所获得的利润。表2-2四类装运货物的信息重量(吨) 空间(米 3/吨) 利润(元/吨)货物1 18 480 3100货物2 15 650 3800货物3 23 580 3500货物4 12 390 2850应如何安排装运，使该货机本次飞行获利润最大?模型假设：问题中没有对货物装运提出其它要求，我们可作如下假设：1) 每种货物可以分割到任意小；2) 每种货物可以在一个或多个货舱
4、中任意分布；3) 多种货物可以混装，并保证不留空隙。模型建立：决策变量：用 xij 表示第 i 种货物装入第 j 个货舱的重量(吨)，货舱 j = l, 2 ,3 分别表示前仓、中仓、后仓.决策目标是最大化总利润，即Max Z = 3100(x11 + x12 + x13) + 3800(x21 + x22 + x23)+3500(x3l + x32 +x33)+2850(x41+x42+x43) (1) 北京吉利大学 GM1000 倪健毓3约束条件包括以下4个方面：1) 供装载的四种货物的总重量约束，即x11 + x12 + x1318(2)x21 + x22 + x2315(3)x31 +
5、 x32 + x3323 (4)x41 + x42 + x4312 (5)2) 三个货舱的重量限制，即x11 + x21 + x31 + x4110(6)x12 + x22 + x32 + x4216 (7)x13+ x23 + x33 + x438(8) 3) 三个货舱的空间限制，即480x11 +650x21+580x31+ 390x416800(9)480x12+650x22+580x32+ 390x428700(10)480x13+650x23+580x33+390x435300 (11)4) 三个货舱装入重量的平衡约束，即5)x11x43这12个变量都为非负数才有实际意义，即x11x
6、430(13)将（1）至（13）组合就得到了本次问题的的标准线性规划模型。1213412324016xxxx13234()8北京吉利大学 GM1000 倪健毓4三、模型求解：3.1 说明：线性规划为min fval = f *x (输入时 f 为行向量或列向量都行 )s.t A*x b, Aeq*x = beq, lb x ub设置 linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 中参数时，若后面全空缺可不写，中间有空缺时用 代替，如 linprog(f, A, b, , ,lb), linprog(f, A, b)等.3.2matlab 程序：f=-3100 3100
7、3100 3800 3800 3800 3500 3500 3500 2850 2850 2850; Aeq=8 -5 0 8 -5 0 8 -5 0 8 -5 0;8 0 -10 8 0 -10 8 0 -10 8 0 -10;beq=0 0;A=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1;480 0 0
8、 650 0 0 580 0 0 390 0 0; 0 480 0 0 650 0 0 580 0 0 390 0;0 0 480 0 0 650 0 0 580 0 0 390;b=18 15 23 12 10 16 8 6800 8700 5300;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 北京吉利大学 GM1000 倪健毓53.3 运行结果：运行后，要知道结果，则Optimization terminated.x =0.00000.00000.00008.62270.00006.37731
9、.377312.94741.62270.00003.05260.0000fval =-1.2152e+005exitflag =1output = iterations: 8algorithm: large-scale: interior pointcgiterations: 0北京吉利大学 GM1000 倪健毓6message: Optimization terminated.lambda = ineqlin: 10x1 doubleeqlin: 2x1 doubleupper: 12x1 doublelower: 12x1 double实际上，不妨将所得最优解作四舍五入，结果为货物 2 装入前仓 9 吨、装入后仓 6 吨；货物 3 装入前仓 1 吨、装入中仓 13 吨、装入后仓 2 吨; 货物 4 装入中仓 3 吨。最大利润约 121500 元.四、评注4.1本例在解题决时，为了简化问题引用了很多假设。但在实际问题中，往往这些假设只是理想状态，具体情况还需具体分析。4.2初步看来，本例与运输问题类似，似乎可以把 4 种货物看成 4 个供应点，3 个货舱看成 3 个需求点(或者反过来，把货舱看成供应点，货物看成需求点)。但是，这里对供需量的限制包括两个方面：重量限制和空间限制，且有装载均匀要求。因此它只能看成是运输问题的一种变形和扩展!
