1、第四章 根轨迹法,根 轨 迹 方 程根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制举例参量根轨迹的绘制,一、 根轨迹方程,闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式,1. 根轨迹概念,（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面。 （2）当00.25时，两个特征根为位于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态。 （3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5j0.5。,，,根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到，闭环特征根在s平面上移动
2、的轨迹。,闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= 1,2. 根轨迹方程,系统的闭环传递函数,模条件角条件,模值方程和相角方程分别为：,将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：,根轨迹增益,开环增益,在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可（因为根轨迹是K*从0到无穷，根位置的变化过程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，只是使特征根位于哪里的K*值不同）。当需要确定根轨迹上各点的K*值时，使用幅值条件。,例：系统的开环传递函数为,j,P1,P3,P2,S1,z1,幅值条件和相角条件图示,此点处的开环根轨迹增益,用角条件判断s1是否属于根轨迹,例 利用相角条件绘制下所示系统的根轨迹。,确定实轴
3、上的根轨迹,正实轴,在实轴外任取一点,实轴上原点与-1点之间,-1点左边,用模条件确定系数K的值,根轨迹上点,所对应的,所对应的,值,根轨迹上点,s1位于（-1， 0）的垂直平分线,系统的开环传递函数为,二、根轨迹绘制的基本规则,法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n,也就是分支数=开环极点的数目=闭环极点的数目。法则2: 根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。法则3：根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。
4、,只需做出上半s平面的根轨迹部分，然后利用对称关系即可以画出下半s平面的根轨迹部分,根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点,根轨迹的终点则是指根轨迹增益 K* 的根轨迹点。,等式两端同时乘以qn，可得,当K* 时，上式化为,这仍为n次方程，有n个根存在，即,。,令,证明：,法则4: 实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。,j,P1,0,P2,P3,Z1,Si,P5,P4,（1）位于点Si左侧的开环零、极点指向Si的矢量的相位角均为0，在相角条件中，对总相角没有贡献。 （2）一对共轭开环极点（或共轭开环零点）指向Si的矢量的相位角之和恒为2也不必考虑。 （3
5、）实轴上根轨迹的确定完全取决于点Si右侧的开环零、极点分布。由相角条件得： Si右边实轴上的开环零、极点个数之和为奇数时,法则5: 根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标和渐近线与实轴正方向的夹角分别为,证明,当S 时，上式可近似为,法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk),出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角反向,入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角反向,规则7 ： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角,分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角,两条或两条以上根轨迹分支在s
6、平面上的交点称为根轨迹的分离点或汇合点,基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的重根,。,规则7 ： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角,分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上的交点称为根轨迹的分离点或汇合点,基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的重根,分离角,。,法则8: 根轨迹与虚轴的交点：,方法一：应用劳斯判据,方法二：应用闭环特征方程直接计算(虚轴方程s=jw),当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处的K*值。利用劳斯表中s2行的系数构成辅助方程，必可解出纯
7、虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚轴交点处的w值。,例：原系统闭环特征方程为,方法一：建立劳斯表如下,由劳斯表，令2-k/3=0，得k=6。 由s2行的系数构成辅助方程，且令k=6，得,由此根轨迹与虚轴的交点为,由上方程解得：1）,方法二：令s=jw代入闭环特征方程，得,令其实部和虚部分别为零，得,此为根轨迹的一起始点,2）,此时根轨迹增益为,规则9 ： 闭环极点的和与积,开环零极点表示的特征方程,闭环极点表示特征方程,对应系数相等，得,一反馈控制系统的开环传递函数为,绘制系统的概略根轨迹。,Im,Re,0,已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,例1,n=4，m=1开环零点
8、： -2 开环极点：0，-3，-1j14条根轨迹分别起始于开环极点0，-3，-1j1终止于开环零点-2和3个无穷远点。,三、根轨迹绘制举例,已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,例1,渐近线的方向角为,渐近线与实轴的交点为,已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,例1,实轴上根轨迹分布：,已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,例1,复极点 处的出射角,已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,例1,根轨迹与虚轴的交点：将s=j带入闭环特征方程整理后得 解得,Kcr7,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,n=4，m=1开环零
9、点：-2开环极点： (注意:为二重极点,即各有两条根轨迹射出)4条根轨迹分别终止于开环零点-2及3个无穷远零点。渐近线有n-m=3条。,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,渐近线的方向角为,渐近线与实轴的交点为,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,实轴上根轨迹分布为:,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,确定复极点 处的出射角=45或-135由根轨迹的对称性： 处出射角为：- 45或135,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,求分离点和会合点：=0解得(舍弃),例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,根轨迹与虚轴的交点：将s=j
10、带入闭环特征方程整理后得 解得有意义的解为,Kcr96,例2,绘制开环传递函数为 的系统根轨迹。,j,0,Kcr96,时, 系统另外两闭环极点 的位置 因为解得,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,Ree,n=5，m=1开环零点：-0.125开环极点： 0（二重），-5，-20，-505条根轨迹分别终止于开环零点-0.125及4个无穷远零点。渐近线有n-m=4条。,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,Ree,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,Ree,实轴上根轨迹分布在,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,
11、Ree,求分离点和会合点： 作如下简化： 在绘制原点附近的根轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响； 在绘制远离原点的根轨迹时，略去原点附近的一对相距很近的零、极点的影响,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,Ree,(1). 求原点附近的根轨迹和会合点求原点附近的根轨迹时，简化的传递函数为 开环极点：0（二重极点）：开环零点：-0.125。 实轴上的根轨迹分布为 。会合点位置：由得,例3,系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。,Im,Ree,例4,已知系统的开环传递函数为 ，要求绘制根轨迹,n=3，m=1开环零点：-1开环极点：0，1，-43条根轨迹一条终止于零点-1
12、，2条终止于无穷远。渐近线有n-m=2条。,Im,Re,渐近线与实轴的交点为,渐近线的方向角为,实轴上根轨迹分布：-4,-1，0,1。,Im,Re,例4,已知系统的开环传递函数为 ，要求绘制根轨迹,Im,Re,实轴上分离点：由得有意义的分离点为0.44,例4,已知系统的开环传递函数为 ，要求绘制根轨迹,Im,Re,例4,已知系统的开环传递函数为 ，要求绘制根轨迹,增大开环比例系数不利于系统的稳定性是针对最小相位系统而言，因为它的根轨迹起点都在复平面的左半平面！,例5,分析：根轨迹方程变为所以模条件不变，角条件变为,根据角条件的变化，正反馈绘制根轨迹需要修改的规则有,(1)实轴上的根轨迹分布,(
13、2)渐近线方向角,(3)从复极点出发的根轨迹的出射角以及趋向于复零点的根轨迹的入射角。,如果右边实轴上的开环零、极点个数之和为偶数，则该区域必属于根轨迹。,已知系统的开环传递函数为 ，K0。要求绘制该系统的根轨迹。,n=3，m=0开环极点：0，-1，-23条根轨迹都终止于无穷远渐近线有n-m=3条。,例5,已知系统的开环传递函数为 ，K0。要求绘制该系统的根轨迹。,渐近线与实轴的交点为,渐近线的方向角为,实轴上根轨迹分布：-2,-1，0,+）。,例5,已知系统的开环传递函数为 ，K0。要求绘制该系统的根轨迹。,实轴上分离点：由得分离点 (舍),例5,已知系统的开环传递函数为 ，K0。要求绘制该
14、系统的根轨迹。,例6,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,令 则,角条件,当为有限值，+时,开环无穷远零点,开环无穷远极点,当为有限值，时,-1,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,开环无穷远零点,开环无穷远极点,由前述分析可知有无穷多条根轨迹分支从左方无穷远处纵坐标为 等处出发，延伸到右方纵坐标为 的无穷远处。,例6,-1,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,开环无穷远零点,开环无穷远极点,实轴上的根轨迹：s1为有限开环极点，所以实轴上根轨迹分布(，1：,例6,-1,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘
15、制其根轨迹。,开环无穷远零点,开环无穷远极点,设分离点为 ，令 满足角条件，即,取令,根轨迹在实轴上的分离点,例6,-1,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,开环无穷远零点,开环无穷远极点,绘制基本根轨迹（即角条件可的根轨迹）,过-1点作倾角为 的直线，与直线 的交点 满足角条件。,令 则,例6,-1,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,开环无穷远零点,开环无穷远极点,-1,绘制基本根轨迹（即角条件可的根轨迹）,过-1点作倾角为 的直线，与直线 的交点 满足角条件。,令 则,例6,已知含有延时单元的系统的开环传递函数为 ，要求绘制其根轨迹。,
16、开环无穷远零点,开环无穷远极点,虚轴上 0，角条件变为当1时，交点坐标 2.029 7.977,根轨迹与虚轴的交点：,2.029j,-2.029j,-7.977j,7.977j,例6,-1,在虚轴上,根位于虚轴上时，由模条件可得,四、参量根轨迹的绘制,可变参数不是根轨迹增益K,设带有测速发电机反馈的位置随动系统如图所示。用根轨迹法分析测速发电机反馈系数kh对系统动态性能的影响,系统开环传递函数为,特征方程为,可变形成为,-1,令 则,把 看作是以 为开环增益的等效开环传递函数。绘制 的根轨迹,单参量根轨迹的绘制,n=2，m=1开环零点：0开环共轭复极点：-1j3根轨迹起始于开环共轭复极点-1j3,终止于开环零点0及1个无穷远零点,渐近线,实轴上根轨迹分布：(-，0,实轴上会合点：由,从复极点-1+j3出发的出射角：,某单位反馈系统的开还传递函数为 要求绘制关于 和 的根轨迹。,多参量根轨迹的绘制,闭环系统的特征方程为,先令T=0绘制为参量的根轨迹，则特征方程成为,可画出的根轨迹如图所示,再令T0，系统的特征方程可写为,例如K=20时GO2(s)的开环极点是A、B、C三点。,T0，系统的特征方程 闭环特征根恰为GO2(s)的开环极点,对应于给定的一系列K值，当K从0变至+时可以分别画出根轨迹,
