1、收 稿 日 期 :2006 - 04 - 04作 者 简 介 :崔 宝 法 (1958 ) ,男 ,浙 江 海 盐 人 ,浙 江 海 盐 县 元 济 高 级 中 学 高 级 教 师 .椭 圆 切 线 的 几 个 典 型 性 质崔 宝 法(海 盐 县 元 济 高 级 中 学 ,浙 江 314300)中 图 分 类 号 : O123. 3 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 0488 - 7395(2006) 15 - 0029 - 02对 于 椭 圆 的 切 线 ,在 全 日 制 普 通 高 级 中 学 教科 书 (必 修 ) 数 学 第 二 册 (上 ) 中 虽 略 有 涉 及 ,
2、但 没有 作 进 一 步 的 讨 论 与 研 究 . 事 实 上 ,椭 圆 的 切 线 作为 和 椭 圆 位 置 关 系 最 特 殊 的 直 线 ,有 着 它 自 身 所独 有 的 一 些 典 型 性 质 . 下 面 给 出 其 中 几 条 性 质 ,并加 以 证 明 .性 质 1 椭 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 切 点 处 的 两条 焦 半 径 所 成 的 角 相 等 .图 1 椭 圆证 如 图 1 ,设 椭 圆 方程 为 x2a2 +y2b2 = 1 ( a b 0) , 且 椭 圆 上 任 一 点 为 P(x0 , y0 ) , F1 ( - c , 0) , F2( c ,0)
3、 为 左 右 焦 点 ,离 心 率为 e ,则 | PF1 | = a + ex0 , | PF2 | = a - ex0 .设 点 P 处 切 线 为 AB ,法 线 为 PT ( T 为 法 线 与x 轴 的 交 点 ) ,则 法 线 PT 的 方 程 为a2 y0 x - b2 x0 y = ( a2 - b2 ) x0 y0 ,令 y = 0 ,得 x = c2a2 x0 ,故 点 T 的 坐 标 为( c2a2 x0 ,0) .从 而 | F1 T| = c + c2a2 x0 =c ( a2 + cx0 )a2 ,| F2 T| = c - c2a2 x0 =c ( a2 - cx
4、0 )a2 , | F1 T| F2 T|= a2 + cx0a2 - cx0 .又 | PF1 | PF2 |= a + ex0a - ex0= a2 + cx0a2 - cx0 , | F1 T| F2 T|= | PF1 | PF2 |. PT 平 分 F1 PF2 ,即 F1 PT = F2 PT.又 APT = B PT = 90 , APF1 = B PF2 .即 椭 圆 的 切 线 与 切 点 处 的 两 条 焦 半 径 所 成 的角 相 等 .性 质 2 自 椭 圆 外 任 一 点 引 椭 圆 的 两 条 切线 ,则 该 点 与 一 个 焦 点 的 连 线 平 分 该 焦 点
5、与 两 切点 连 线 段 所 夹 的 角 .图 2 椭 圆证 如 图 2 , F1 ,F2 是 椭 圆 x2a2 +y2b2 =1 ( a b 0) 的 两 个焦 点 , P 为 椭 圆 外 任一 点 , PQ , PQ 为 椭圆 的 两 条 切 线 , T , T 为 切 点 .作 点 F1 关 于 直 线 PT 的 对 称 点 F1 , 则 F1 TQ = F1 TQ. 又 根 据 性 质 1 ,有 PTF2 = QTF1 , F1 TQ = F2 TP , F2 , T , F1 三点 共 线 , | F2 F1 | = | F2 T| + | TF1 |= | F2 T| + | TF
6、1 | = 2 a.922006 年 第 15 期 数 学 通 讯同 理 ,作 点 F2 关 于 直 线 PT 的 对 称 点 F2 ,可得| F1 F2 | = | F1 T | + | T F2 |= | F1 T | + | T F2 | = 2 a , | F2 F1 | = | F1 F2 | .又 因 为 直 线 PQ 是 线 段 F1 F1 的 垂 直 平 分 线 ,所 以 | PF1 | = | PF1 | ,同 理 | PF2 | = | PF2 | , PF2 F1 PF1 F2 (三 边 对 应 相 等 ) , PF2 F1 = PF2 F1 , 而 PF2 F1 = P
7、F2 T , PF2 T = PF2 T ,即 PF2 平 分 TF2 T , 同 理 可 得 PF1 平 分 T F1 T.性 质 3 椭 圆 的 一 条 动 切 线 介 于 从 椭 圆 外 一定 点 引 出 的 两 条 切 线 间 的 部 分 ,在 一 个 焦 点 的 视角 是 常 量 .图 3 椭 圆证 如 图 3 ,设 PA ,PB 为 从 椭 圆 外 一 定 点 P所 引 的 两 条 定 切 线 , A , B为 切 点 , F2 为 椭 圆 的 一 个焦 点 ,动 切 线 QR 分 别 交PA , PB 于 点 Q , R , S 为 切点 .设 AF2 B = 2 ,因 为 PA
8、 , PB 为 定 切 线 ,所 以2 为 常 量 .连 PF2 ,则 由 性 质 2 可 知 PF2 A = PF2 B = .又 因 为 QA , QS 也 是 椭 圆 的 两 条 切 线 , QF2 A = QF2 S ;同 理 , RB , RS 也 是 切 线 , SF2 R = RF2 B . QF2 R = QF2 S + SF2 R= 12 ( AF2 S + SF2 B)= 12 ( AF2 P + PF2 B) = (常 量 ) .性 质 4 自 椭 圆 的 两 焦 点 向 椭 圆 的 任 一 切 线所 引 的 两 条 垂 线 段 长 的 积 是 定 值 .证 设 椭 圆
9、x = acosy = bsin( a b 0) 上 的 任 意一 点 为 P( acos , bsin ) ,两 焦 点 的 坐 标 为 F1 ( c ,0) , F2 ( - c ,0) ,则 P 点 处 的 切 线 方 程 为 cosa x +sinb y = 1 ,故 两 焦 点 到 切 线 的 垂 线 段 长 的 积 为| ccosa - 1|(cosa ) 2 + ( sinb ) 2| - ccosa - 1|(cosa ) 2 + ( sinb ) 2= | bc cos - ab| | - bc cos - ab|b2 cos2 + a2 sin2= b2 | c2 cos2
10、 - a2 |b2 cos2 + a2 (1 - cos2 )= b2 a2 - c2 cos2( b2 - a2 ) cos2 + a2= b2 a2 - c2 cos2a2 - c2 cos2 = b2 (定 值 ) .性 质 5 椭 圆 长 轴 端 点 处 的 两 条 切 线 被 椭 圆上 任 一 点 处 的 切 线 截 得 的 两 切 线 段 之 积 为 定 值 .证 设 椭 圆 方 程 为 x2a2 +y2b2 = 1 ( a b 0) ,M ( x0 , y0 )为 椭 圆 上 任 意 一 点 ,则 点 M 处 的 切 线 l的 方 程 为 :x0 xa2 +y0 yb2 = 1
11、(1)而 长 轴 端 点 A ( - a ,0) , A ( a ,0) 处 的 两 切 线m , n 的 方 程 分 别 为 x = - a 和 x = a ,综 合 起 来 即 :x2 - a2 = 0 (2)从 (1) , (2)消 去 x ,得a2 y0 2 y2 - 2 a2 b2 y0 y + a2 b4 - b4 x0 2 = 0 (3)设 切 线 l 与 切 线 m , n 分 别 交 于 点 N ( - a ,y1 ) , N ( a , y2 ) ,则 由 方 程 (3)可 得y1 y2 = b2 ( a2 b2 - b2 x02 )a2 y0 2 = b2 ,所 以 l 被 长 轴 端 点 处 的 两 切 线 m , n 所 截 得 的两 切 线 段 长 的 积 .| A N| | AN| = | y1 y2 | = b2 (定 值 ) .值 得 指 出 的 是 :性 质 1 的 证 明 过 程 实 际 上 说明 了 椭 圆 上 任 意 一 点 处 的 法 线 一 定 平 分 此 点 处 两条 焦 半 径 的 夹 角 ,这 一 性 质 在 光 学 、 声 学 上 均 有 重要 应 用 .03 数 学 通 讯 2006 年 第 15 期
