1、第三节 函数极限的定义 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 函数极限的性质.sin 时的变化趋势当观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放.0sin)(, 无限接近于无限增大时当 xxxfx =通过上面演示实验的观察:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.描述性定义:函数 )(xfy = 在 x 的过程中,对应函数值 )(xf 无限趋近于确定值 A. 那么 A叫做函数f(x)当 x 时的极限. ( ) ( ) ;f x A f x A xXx2( ) ( )x f x A说法 ：只要 足够大，很小很小（想要多小就有多小）.定义1 如果对于任意给定的正数
2、 (不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式 Xx 的一切 x,所对应的函数值 )(xf 都满足不等式 AxfXxX 恒有时使当=Axfx)(lim几何解释:xxy sin=X XA.2,)(, 的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时当AyxfyXx=例 .0sinlim = xxx证明证 xxxx sin0sin = x1 ,1 x只要,0sin x注：有时需区分x 趋于无穷大的符号 。xxxx2lim 2lim .+例 +=0=Axfx=)(lim :性质 .)(lim)(lim Axfxfxx=+1 23 2 4. .lim ; ( )lim arctan ;( )
3、lim ; ( ) lim arccotx xxx xxxx +练习 考察下列极限并说明理由(1)2 2; ( ) ;pi解：(1)03 0 4 0( ) ; ( )lim ( ) ,( ) .= =一般地说，如果 则直线水平渐近是 线函数 的图形的xf x c y cy f x二、自变量趋向有限值时函数的极限描述性定义:函数 )(xfy = 在 0xx 的过程中,对应函数值 )(xf 无限趋近于确定值 A. 称 A 为函数)(xfy = 当 0xx 时的极限. 0( ) Ax xf x说法(2)：只要 充分接近 ，与 的距离就很小很小(要多小有多小)0 0( ) ( ).x x x xf x
4、 A Axfxx恒有时使当几何解释:)(xfy =+AAyA0x +0x0x xo002, ( ), .x x y f xy Axf xx xx f x0 0lim ( ) lim 1 1x xf x = =解：lim ( ) lim 0f x x= =f(x)=xyf(x)=110 0x x+ + . )(lim . 0不存在所以但不相等左右极限都存在，xfx0 x三、函数极限的性质01 ( ) lim ( ) .x xf x定理 函数极限的唯一性如果 存在，那么这极限唯一002 ( ) lim ( ) 00 0 | | | ( ) | .x xf x A Mx x f x M = 0, (
5、n=1,2, ).2. lim ( ) A0, ( ) 0.3. lim ( ) A M0= =midhorizellipsis若 收敛，则存在 使得若 则若 ，则存在 ，在 的任一n nx xx x Mf x f xf x x0( ) .4. . 邻域内，有若 发散，则 无界x xn nf x Mx x答案：正确；错误；错误；错误0004 ( )lim ( ) ( )( ) ( ) lim ( ) lim ( ).nx xnf x x f xxx x n Nf x f x f x+ =定理 函数极限与数列极限的关系如果极限 存在， 为函数 的定义域内任一收敛于 的数列，且满足：，那么相应的函
6、数值数列必收敛，且0n nn x x -该定理的逆否命题经常用于证明函数的极限不存在.例如01limsin不存在x x102nx x n =取 的子序列 pi ( ) sin2 0nf x npi= =则102 2nx yn pipi =+再取 的子序列( ) sin(2 ) 12nf y n pipi= + =则两函数列极限不相等，故原函数的极限不存在.四、小结函数极限的统一定义;)(lim Anfn=;)(lim Axf = ;)(lim Axfx =+ ;)(lim Axfx =x ;)(lim0Axfxx=;)(lim0Axfxx=+.)(lim0Axfxx=.)(,0)(lim=Ax
7、fAxf恒有从此时刻以后时刻作业“ “ “ “X一、用 (或 )语言 二、P37 6；9(证明可选做).写出两种函数极限的定义1. 若极限 )(lim0xfxx 存在,)()(lim 00xfxfxx=是否一定有思考题2. 设函数 =)(xf 且 )(lim1 xfx 存在, 则. =a 31,121,2+xxxxa.sin 时的变化趋势当观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin 时的变化趋势当观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin 时的变化趋势当观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin 时的变化趋势当观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限
