1、3.2 导数的应用,第三章 导数及其应用,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.函数的单调性 如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x) 0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x) 0，则在这个区间上，函数yf(x)是减少的. 2.函数的极值 如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是 ，f(x0)是 . 如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是 ，f(x0)是 .,知识梳理,极大值点,极大值,极小值,极小值
2、点,3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a，b上是增加的，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上是减少的，则 为函数的最大值，为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的各 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,端点,极值,1.在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x
3、)在此区间是增加的或减少的充分不必要条件. 2.可导函数f(x)在(a，b)上是增加的或减少的的充要条件是对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零. 3.对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)上是增加的，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (4)对可导函
4、数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,4,5,6,答案,3,题组二 教材改编 2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下面判断正确的是 A.在区间(2,1)上f(x)是增加的 B.在区间(1,3)上f(x)是减少的 C.在区间(4,5)上f(x)是增加的 D.当x2时，f(x)取到极小值,解析,解析 在(4,5)上f(x)0恒成立， f(x)是增加的.,7,8,1,2,4,5,6,答案,解析,3.设函数f(x) ln x，则 A.x 为f(
5、x)的极大值点 B.x 为f(x)的极小值点 C.x2为f(x)的极大值点 D.x2为f(x)的极小值点,当02时，f(x)0， x2为f(x)的极小值点.,3,7,8,4.函数f(x)x36x2的递减区间为_.,解析 f(x)3x212x3x(x4)， 由f(x)0，得0x4， 函数f(x)的递减区间为(0,4).,解析,1,2,4,5,6,3,(0,4),答案,7,8,5.函数yx2cos x在区间 上的最大值是_.,解析 y12sin x，,解析,1,2,4,5,6,3,答案,7,8,题组三 易错自纠 6.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x) A.无极大
6、值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析,1,2,4,5,6,解析 导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点.,3,答案,7,8,7.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_.,解析,1,2,4,5,6,解析 令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)21. 不等式的解集为(1，).,3,(1，),答案,7,8,8.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a
7、的取值范围是_.,解析,1,2,4,5,6,解析 yexax，yexa. 函数yexax有大于零的极值点， 方程yexa0有大于零的解， 当x0时，ex1，aex1.,3,(，1),答案,7,8,几何画板展示,题型分类 深度剖析,第1课时 导数与函数的单调性,题型一 不含参数的函数的单调性,自主演练,答案,解析,2.已知函数f(x)xln x，则f(x) A.在(0，)上是增加的 B.在(0，)上是减少的,解析,答案,解析 因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)， 所以f(x)ln x1(x0)，,3.(2018开封调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(
8、x)的递增区间是_.,解析,答案,解析 f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令f(x)xcos x0，,确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f(x). (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递增区间. (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递减区间.,典例 已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0)，讨论函数yf(x)的单调区间.,解答,题型二 含参数的函数的单调性,师生共研,当a1时，f(x)0，得(1a)(ex1)1，,由f(x)0，得(1a)(ex1)1，,当a(0,1)时，,综上，当a1，)时，f(x)在R上是减少的
9、；,(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.,跟踪训练 已知函数f(x)ex(ax22x2)(a0).试讨论f(x)的单调性.,解答,解 由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，,当a1时，f(x)在(，)内是增加的；,命题点1 比较大小或解不等式,解析,题型三 函数单调性的应用问题,多维探究,答案,解析,(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集是_.,答案,(，2)(0,2),在(0，)上，当且仅当00， 此时x2f(x)0. 又f
10、(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).,解答,命题点2 根据函数单调性求参数 典例 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x) ax22x(a0). (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在递减区间，求a的取值范围；,又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，).,解答,(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是减少的，求a的取值范围.,几何画板展示,解 因为h(x)在1,4上是减少的，,1.本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是增加的，求a的取值范围.,解 因为h(x)在1,4上是增加的， 所以
11、当x1,4时，h(x)0恒成立，,解答,所以a1，即a的取值范围是(，1.,2.本例(2)中，若h(x)在1,4上存在递减区间，求a的取值范围.,解 h(x)在1,4上存在递减区间， 则h(x)0在1,4上有解，,解答,所以a1，又因为a0， 所以a的取值范围是(1,0)(0，).,根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)是增加的的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个
12、区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.,跟踪训练 已知函数f(x) 2x2ln x在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围.,解答,典例 (12分)已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性.,用分类讨论思想研究函数的单调性,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： 方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.,规范解答,函数g(x)的定义域为(0，)，,由g(x)0，得01. 4分,综上可得：
13、当a0时，函数g(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，)上是减少的；,课时作业,1.函数f(x)x22ln x的递减区间是 A.(0,1) B.(1，) C.(，1) D.(1,1),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增加的.,解析,答案,2.(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是 A.f(b)f(c)f(d) B.f(b)f(a)f(e) C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d),答案,1,2,3,4,5,6,7
14、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得，当x(，c)时，f(x)0， 所以函数f(x)在(，c)上是增加的， 因为af(b)f(a)，故选C.,解析,3.已知m是实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则函数f(x)的递增区间是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析 f(x)3x22mx， f(1)32m1，解得m2， 由f(x)3x24x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x) x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上是增加的” A.充分
15、不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故“a0”是“f(x)在R上是增加的”充分不必要条件.,5.若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是 A.(，2 B.(，1 C.2，) D.1，),解析,答案,因为f(x)在区间(1，)上增加的，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018重庆质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，b
16、，cf(3)，则 A.abc B.cba C.cab D.bca,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得，当x0，f(x)在(，1)上是增加的.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.若函数f(x)x3bx2cxd的递减区间为(1,3)，则bc_.,12,解析 f(x)3x22bxc， 由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解， 1,3是f(x)0的两个根， b3，c9，bc12.,8.(2018昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)
17、，则不等式f(x2) 的解集为_.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x|x1,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即函数F(x)在R上是减少的.,F(x2)1，即不等式的解集为x|x1.,解析,答案,由已知得g(x)0在1,2上恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
18、0,11,12,13,14,15,16,(，1)(0,1),答案,解析 因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0， 所以f(1)f(1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.,故g(x)在(0，)上是减少的，在(，0)上是增加的. 所以在(0，)上，当0x1时，由g(x)g(1)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)0. 综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是 (，1)(0,1).,11.(2018大理质检)已知函数f(x) (k为常数)，曲线yf
19、(x)在点 (1，f(1)处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的单调区间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以h(x)在(0，)上是减少的. 由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，所以f(x)0； 当x1时，h(x)0，所以f(x)0. 综上，f(x)的递增区间是(0,1)， 递减区间是(1，).,解答,12.(2018届信阳高级中学考试)已知函数f(x) 1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2).讨论
20、函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,解 因为f(0)b1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得xln a. 故当a0时，函数F(x)在R上是减少的； 当a0时，函数F(x)在(，ln a)上是减少的， 在(ln a，)上是增加的.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,13.(20
21、17承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f(x)e2 017f(0) B.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) C.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) D.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以g(1)g(0)，g(2 017)g(0)，,故f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0).,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
22、4,15,16,15.已知函数f(x) x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_.,拓展冲刺练,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,(0,1)(2,3),由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内， 函数f(x)在区间t，t1上就不单调， 由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.,16.已知函数f(x)aln xax3(aR). (1)求函数f(x)的单调区间；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 函数f(x)的定义
23、域为(0，)，,当a0时，f(x)的递增区间为(0,1)， 递减区间为(1，)； 当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1)； 当a0时，f(x)为常函数.,(2)若函数yf(x)的图像在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g(x)在区间(t,3)上有变号零点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当g(t)0时， 即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立， 由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0， 即m5且m9，即m9；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,
