1、1 集合的含义与表示,一,二,三,四,一、元素与集合的相关概念 一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母A,B,C,D,标记.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.常用小写字母a,b,c,d,表示集合中的元素. 【做一做1】 下列各组对象能构成集合的有( ) 2018年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;不超过10的非负奇数;立方接近零的正数;高一年级视力比较好的同学. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:中元素确定,能构成集合;中不超过10的非负奇数有:1,3,5,7,9共5个数,是确定的,故能构成集合;中“接近零”的标准不明确,故不能构成集合;中“比较好”没有明确的界
2、限,不满足元素的确定性,故不能构成集合. 答案:B,一,二,三,四,集合中元素的性质 (1)确定性:指的是给定一个集合A,任何一个元素a是不是这个集合的元素就确定了,即某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一. (2)互异性:集合中的元素必须是互异的.就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的. (3)无序性:集合中的元素是没有顺序的.也就是说,集合中的元素没有先后之分.,一,二,三,四,【做一做2】 集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( ),答案:D,一,二,三,四,三、常用数集及集合的分类 1.常用数集及符号表示,2.集合的分类,一,二,
3、三,四,解析:(1)(2)(3)(4)正确,(5)(6)错误,(5)(6)中应为 R,-1N. 答案:4 【做一做4】 下列各式正确的是( ) A.0 B.0 C.0= D.00 解析:0是一个元素;是一个集合,不含任何元素;0表示含有一个元素0,比较四个选项可知D正确. 答案:D,一,二,三,四,四、集合的常用表示方法 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法,形式为x1,x2,xn. 2.描述法:用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法,形式为xA|p(x).,在不引起混淆的情况下,为了简便,用描述法表示某些集合时,可以省去竖线及竖线左边表示元素的符号.如所
4、有奇数组成的集合,可以表示为奇数.“ ”本身就有“全部”“所有”的意思. 【做一做5】 (1)用列举法表示集合xN|-1x 为 . (2)不等式3x4在实数范围内的解集可表示为 .,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)个子很高的同学可以构成一个集合. ( ) (2)若2 018与a是集合M中的两个元素,则a2 018. ( ) (3)xR|x2+x+1=0=. ( ) (4)集合(0,1),(1,2),(2,3)中含有6个元素. ( ) (5)二次函数y=x2+1的图像上所有点的集合可表示为y|y=x2+1,xR. ( ) 答案:(
5、1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,集合的判定 【例1】 2018年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由. (1)你所在班级中全体同学; (2)班级中比较高的同学; (3)班级中身高超过178 cm的同学; (4)班级中比较胖的同学; (5)班级中体重超过75 kg的同学; (6)学习成绩比较好的同学; (7)总分排前五名的同学. 分析:根据研究对象的特征是否具有衡量、判断的标准,即是否具有确定性进行逐个判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)班级中全体同学是确定的,所
6、以可以构成一个集合; (2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合; (3)因为“身高超过178 cm”是确定的,所以可以构成一个集合. (4)“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合; (5)“体重超过75 kg”是确定的,可以构成一个集合; (6)“比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合; (7)“总分排前五名”是确定的,可以构成一个集合.,判断一组对象能否构成集合的关键在于能否找到一个明确的标准.对于任何一个对象,都能确定它是否为给定集合的元素,不存在模棱两可的情况.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1给出下列几种说
7、法: 高一数学课本中的难题; 所有的正三角形; 方程x2+2=0的实数解. 其中能够构成集合的是( ) A. B. C. D. 解析:中,任给高一数学课本中一道题,是否为难题无法客观地判断,不能构成一个集合;中,任给一个三角形,可明确判断出它是否为正三角形,因此能构成集合;x2+2=0在实数范围内无解,因此方程x2+2=0的解集为,也是一个集合,只不过是不含任何元素的集合. 综上知,能构成集合的是. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,判断元素与集合的关系 【例2】 用符号“”和“”填空:,答案:(1) (2) (3) ,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.如果集合是
8、用列举法给出的,那么可通过观察直接判断元素是否属于该集合;如果集合是用描述法给出的,那么应判断元素是否具有这个集合元素的共同属性. 2.如果是利用元素与集合的关系求参数,那么应该注意求参后要有代入检验的意识.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2(1)下列所给关系正确的个数是( ),A.1 B.2 C.3 D.4 (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合. 0是否是集合A中的元素? 若-5A,求实数a的值; 若1A,求实数a的取值范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的
9、符号判断两者的关系. (2)将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元素,则代入方程即可得到关于a的方程并求解;1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可. (3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,(1)解析:根据各个数集的含义可知,正确,不正确.故选C. 答案:C (2)解:将x=0代入方程,02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元素; 若-5A,则有(-5)2-(-5)a
10、-5=0,解得a=-4. 若1A,则12-a1-50,解得a-4.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,用列举法表示集合 【例3】 试用列举法表示下列集合. (1)满足-3x0且xZ; (2)倒数等于其本身数的集合; (3)满足x+y=3且xN,yN的有序数对; (4)方程x2-4x+4=0的解. 分析:用列举法表示集合,需要先辨析集合中元素的属性及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)xZ且-3x0,x=-3,-2,-1,0. 故满足条件的集合为-3,-2,-1,0. (2)x= ,x=1. 满足条件的集合为-1,1. (3)由x
11、+y=3且xN,yN, x=0时,y=3;x=1时,y=2;x=2时,y=1;x=3时,y=0. 满足条件的集合为(0,3),(1,2),(2,1),(3,0). (4)方程x2-4x+4=0的解为x=2, 满足条件的集合为2.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中的元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元素间的规律呈现清楚,才能用省略号. 2.要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素,从而用相应的形式写出元素表示集合.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3用列举法表示下列集合.
12、 (1)15以内质数的集合; (2)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合; (3)一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点组成的集合. 分析:(1)质数又称素数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此数自身外,不能被其他自然数整除的数;(2)中要明确方程x(x2-1)=0的实数根有哪些;(3)中要明确一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点有哪些,应怎样表示. 解:(1)2,3,5,7,11,13. (2)解方程x(x2-1)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1,故方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合为-1,0,1.,因此一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点为(1,1),
13、故所求的集合为(1,1).,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,用描述法表示集合 【例4】 用描述法表示以下集合. (1)所有不小于2且不大于20的实数组成的集合; (2)平面直角坐标系内第二象限内点组成的集合;(3)使 有意义的实数x组成的集合; (4)200以内的正奇数组成的集合; (5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合. 分析:用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“xN”等条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)集合可表示为xR|2x20. (2)第二象限内的点(x,y)满足x0, 故集合可表示为(x,y)|
14、x0.(3)要使该式有意义,需有 解得x2,且x0.故此集合可表示为x|x2,且x0. (4)x|x=2k+1,x200,kN. (5)x|x2-5x-6=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数还是点或是其他形式; (2)准确说明集合中元素所满足的特征; (3)所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号; (4)用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4给出下列说法: 在直角坐标平面内,
15、第一、三象限的点组成的集合为(x,y)|xy0; 所有奇数组成的集合为x|x=2n+1; 集合(x,y)|y=1-x与x|y=1-x是同一集合. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,忽视集合中元素的互异性 【典例】 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1A,则实数a的值为 . 错解:因为1A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1. 以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范? 错因分析:以上错解中没有注意到元素a与a2不相等,得到了错误答案1或-1.事实上,当a=1时,不满足
16、集合中元素的互异性. 正解:因为1A,所以a=1或a2=1. 当a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去. 当a2=1,即a=1时,a=1舍去. 若a=-1,集合A含有两个元素1和-1,符合集合中元素的互异性. 综上,a=-1. 答案:-1,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.分类讨论思想的运用 解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中由1A,可知a=1或a2=1. 2.集合中元素的互异性的作用 求解与集合有关的字母参数时,需要利用集合中元素的互异性来检验所求字母参数的值是否符合要求.如本例中需对所求出的1与-1分别进行检验.,探究一,探
17、究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练已知集合A=3,4,5,B=4,5,6,7,定义A*B=(a,b)|aA, bB,则A*B中元素的个数为 . 解析:本题是考查“新定义”型集合问题,首先应明确A*B是一个点集,点的横坐标为集合A中的元素,点的纵坐标为集合B中的元素,然后从A和B中分别取数确定点,所确定的点的个数即为A*B中元素的个数.所确定的点有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4), (5,5),(5,6),(5,7).故填12. 答案:12,1,2,3,4,5,1.下列各组对象中,不能组成集合的是( ) A.北京大学
18、2018年入学的全体学生 B.参加某校校庆65周年招待会的全体成员 C.清华大学建校以来毕业的所有学生 D.中国的著名数学家 答案:D,1,2,3,4,5,2.给出下列关系:,其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:正确,错误. 答案:B,1,2,3,4,5,A.0,1,2,3,4 B.1,2,3,4 C.0,1,2,3,4,5 D.-1,0,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,4.已知集合A=0,1,2,则集合B=x-y|xA,yA中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 解析:因为B中的x,y均是从0,1,2中任意取值,所以x-y能取到的值为
19、0,-1,-2,1,2. 所以B=0,-1,-2,1,2,选C. 答案:C,1,2,3,4,5,5.选择适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于3的整数组成的集合; (2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合; (3)一次函数y=x+6图像上所有的点组成的集合; (4)坐标平面内坐标轴上的点组成的集合. 解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示为-3,-2,-1,0,1,2,3.,(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点,用描述法表示为(x,y)|y=x+6. (4)由于坐标轴上的点的横坐标x与纵坐标y满足xy=0,故此集合可表示为(x,y)|xy=0,xR,yR.,
