1、3.1.2 指数函数,一,二,一、指数函数的定义 【问题思考】 1.填空. 函数y=ax(a0,a1,xR)叫做指数函数,其中x是自变量. 2.函数y=4-x是指数函数吗?函数y=4x+9呢? 提示:函数y=4-x= 是指数函数,函数y=4x+9不是指数函数,判断一个函数是否为指数函数关键是看是否能化为y=ax(a0,且a1)的标准形式. 3.在指数函数的定义中,为什么规定a0,且a1? 提示:,一,二,4.做一做:下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=x; (2)y=x4; (3)y=-2x; (4)y=3x-1; (5)y=(-10)x. 解:(1)是指数函数; (2)x位于底数位置,因
2、而不是指数函数; (3)2x的系数为-1,不为1,因而不是指数函数; (4)指数是x-1,不符合要求,不是指数函数; (5)底数为-10,小于0,不是指数函数. 故(1)是指数函数,(2)(3)(4)(5)均不是指数函数.,一,二,二、指数函数的图象和性质 【问题思考】 1.在同一平面直角坐标系中,用初中所学“取值、列表、连线”的方法画出下列函数的图象:,观察四个函数图象,它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?,一,二,一,二,2.指数幂ax(a0,且a1)与1的大小关系如何? 提示:当x0,a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”
3、. 当x1或x0,0a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”.因此简称为“同大异小”.,一,二,3.填写下表:,一,二,归纳提高指数函数y=ax(a1)在R上为增函数,在闭区间s,t上存在最大值、最小值,当x=s时,函数有最小值as;当x=t时,函数有最大值at.指数函数y=ax(0a1)在R上为减函数,在闭区间s,t上存在最大值、最小值,当x=s时,函数有最大值as;当x=t时,函数有最小值at.,一,二,4.做一做:(1)函数 在R上是( ) A.增函数 B.奇函数 C.偶函数 D.减函数 (2)如图是指数函数y=ax,y=b
4、x,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc 答案:(1)D (2)B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)指数函数y=mx(m0,且m1)是R上的增函数. ( ) (2)指数函数y=ax(a0,且a1)是非奇非偶函数. ( ) (3)所有的指数函数过定点(0,1). ( ) (4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图象是相同的. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,指数函数的概念 【例1】 函数y=(a2-
5、3a+3)ax是指数函数,求a的值. 分析:只需让解析式符合y=ax这一形式即可. 解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法: (1)看形式:即看是否符合y=ax(a0,a1,xR)这一结构形式. (2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数. 2.已知某个函数是指数函数求参数值的步骤 (1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组). (2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,
6、求指数型函数的定义域、值域 【例2】求下列函数的定义域与值域:,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟求函数的定义域问题,即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求函数的值域问题主要是借助指数函数的性质,先求出指数位置上的表达式的取值范围,再求原函数的值域.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,答案:(1)A (2)(0,1,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,利用指数函数的性质比较大小 【例3】 比较下列各组数的大小:,分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比较大小;若不同底,一般用中间值法.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探
7、究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟利用指数函数的性质比较大小的方法: (1)先把这两个数看作指数函数的两个函数值,再利用指数函数的单调性比较; (2)若两个数不是同一个函数的两个函数值,则寻求一个中间量,中间量常选1,两个数都与这个中间量进行比较; (3)当底数a的情形不确定时,要分类讨论,有些底数不相同的,需先利用幂的性质化归为同底,再利用单调性得出结果.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,指数函数的图象问题 【例4】 函数y=ax-1+2(a0,且a1)的图象恒过定点 . 解析:方法一:指数函数y=ax(a0,a1)的图象过定点(0,
8、1), 函数y=ax-1+2中令x-1=0,即x=1,则y=1+2=3. 函数图象恒过定点(1,3). 方法二:函数可变形为y-2=ax-1,把y-2看作x-1的指数函数, 则当x-1=0,即x=1时,y-2=1,即y=3. 函数图象恒过定点(1,3). 方法三:由图象变换可知: 指数函数y=ax(a0,且a1)的图象过定点(0,1), y=ax-1的图象恒过定点(1,1). y=ax-1+2的图象恒过点(1,3). 答案:(1,3),探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,【例5】先作出函数y=2x的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象: (1)y=2x-2,y=2x+1; (2)y=2
9、x+1,y=2x-2; (3)y=-2x,y=2-x,y=-2-x. 分析:先作出y=2x的图象,再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象;由y=2x的图象作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,解:列表:,根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,(1)函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向右平移2个单位长度得到,函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.图象如图所示. (2)函数y=2x+1的图象可以由y=2x的
10、图象向上平移1个单位长度得到,函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到.图象如图所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,(3)函数y=2-x的图象由y=2x的图象关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图象由y=2x的图象关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图象由y=2x的图象关于原点对称后得到.图象如图所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,反思感悟1.牢记指数函数y=ax(a0,a1)的图象恒过定点(0,1),分布在第一和第二象限. 2.明确影响指数函数图象特征的关键是底数. 3.平移变换(0),如图(1)所示.,4.对称变换,如图(2)所示.,
11、探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,变式训练2方程2-x2=2x的根的个数为 . 解析:根据方程的两端分别设函数f(x)=2x,g(x)=2-x2,在同一直角坐标系中画出函数f(x)=2x与g(x)=2-x2的图象,如图所示.由图可以发现,二者仅有两个交点,方程2-x2=2x的根的个数为2. 答案:2,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,指数型函数的综合应用 【典例】 设函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)是奇函数. (1)求k的值. (2)若f(1)0,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(x-4)0. (3)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在1,
12、+)内的最小值为-2,求m的值. 思路点拨(1)根据f(x)是R上的奇函数,利用f(0)=0求k即可; (2)先利用f(1)0求得实数a的范围,再根据函数的单调性解关于x的不等式即可; (3)先利用f(1)= 求出实数a的值,再利用换元法将问题转化为二次函数的最值问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,规律总结1.特值法主要用在解选择题上,在解答题中有时也起到很重要的作用,如本例中利用奇函数在原点有意义的特殊性求解,比利用奇函数的定义求解简单. 2.对指数函数的性质要记准记牢,特别是指数函数的单调性在解题中的应用要掌握,如本例中就需要根据函数
13、的单调性得到关于x的不等关系. 3.在解含有字母的问题时要重视分类讨论思想的应用,如本例中在求二次函数的最值时,就需要根据字母m的范围确定顶点的位置.,1.函数y=2-x的图象是( ),答案:B,2.函数f(x)= ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数,3.如果a1,b-1,那么函数y=ax+b的图象在( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 解析:取a=2,b=-2,则y=ax+b=2x-2,它的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,如图所示,结合图象,应选B.答案:B,4.对于任意实数a,函数y=ax-3+3的图象恒过定点 . 解析:因为函数y=ax-3的图象过定点(3,1), 所以函数y=ax-3+3的图象恒过定点(3,4). 答案:(3,4),
