1、1系统响应的划分 自然响应（自由响应）与受迫响应（强迫响应） 根据数学上对系统微分方程的求解过程划分。零输入响应与零状态响应 根据引起响应的不同原因划分。暂态响应（瞬态响应）与稳态响应输入是阶跃信号或有始周期信号时可作如此划分。 3 零输入响应与 零状态响应2自然响应与受迫响应按 照 数 学 上 对 系 统 微 分 方 程 的 求 解 过 程 ， 将 完 全 响 应分 解 为 齐 次 解 和 特 解 两 部 分 ， 分 别 对 应 系 统 的 自 由 响应与受迫响应。 自然响应（自由响应） 也称固有响应，指 无输入激励 时系统的响应。对应于齐次解（只含自然频率的项）。其函数形式由系统本身特性决
2、定，与外加激励形式无 关；系数值与输入信号有关。受迫响应（强迫响应） 有输入激励 时系统的响应。对应于特解（只含外加激励频率项） 。形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定。3零输入响应与零状态响应一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原 因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。零输入响应 无输入激励信号 （激励为零） 时仅由初始条件（起始时刻系统储能）引起的响应。 与零状态响应不考虑原始时刻系统储能的作用（ 起始状态等于零 ），仅由外加激励信号引起的响应。4瞬态响应与稳态响应 如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统 响应分解为暂态响应和稳态响应。暂态响应（瞬态响应） 激
3、励信号接入一段时间内完全响应中暂时存在的分量。随时间增长 而它将 衰减 为零。 稳态响应完全响应中减去暂态响应分量后剩余的 随时间增长 继续存在且趋于稳定 的分量。通常也由阶跃信号或周期信号组成。5响应与初始状态零输入响应零状态响应外加激励源 引起的响应系统的 全响应 起始状态等效激励源 （ 储能元件 电容电感等效源）引起的响应 = +0 状态 状态用 用 0+状态， 状态， 状态为零 状态为零6响应与初始状态 经典法 求全响应的积分常数 用 0 状态初始值。求系统 零输入响应 用 0 状态初始值。求系统 零状态响应 用 0 状态初始值，此时的零状态指 0 状态为零。7零输入响应与 零状态响应
4、的求解零输入响应的求法 求齐次解直接解方程，再利用初始条件确定待定系数。 =ni tizi ieAtr 1)( i为特征根 iA由初始值确定零状态响应的求法 求非齐次解直接求解法 求非齐次方程，注意 使用正确的零状态初始值叠加积分法 冲激响应或阶跃响应变换域法 )()( 1 treAtr pnj tjzs j += = 次 解 特 解 j为特征根 jA由零状态初始值确定8零输入响应、 零状态响应与自然响应、受迫响应的关系 系 统 的 完 全 响 应 即 可 分 解 为 自 由 响 应 和 强 迫 响 应 ， 也可分解为零输入响应和零状态响应， 它们的关系为： +=+= +=+= = )()()
5、( )()()()( 111 treAeAtrtr treAtrtrtr ptni zstni zizszi ptni iph iii i 自然响应 受迫响应零输入响应 零状态响应自然响应 =零输入响应 +零状态响应中的齐次解自然响应的 Ai由初始状态和激励共同决定；零输入响应的 zi由初始状态决定。9例解： (1)零输入响应 ，特征根为 ： 2,121 =ttzi eAeAty 221)( += = =+ 23121212121 AAA代入初始值，得 023)( 2 = teety ttzi描述某线性非时变系统的方程为 描述某线性非时变系统的方程为 )(2)()(2)(3)( tftftyt
6、yty +=+试求：当 试求：当 时 的 时 的 零 零 输 入 响 应 输 入 响 应和零状态响应 和零状态响应 。 。 1)0(,1)0(,)(2 = yyttf10例 解： (2)零 状态响应 ，特 解 求法同前 ：描述某线性非时变系统的方程为 描述某线性非时变系统的方程为 )(2)()(2)(3)( tftftytyty +=+试求：当 试求：当 时 的 时 的 零 零 输 入 响 应 输 入 响 应和零状态响应 和零状态响应 1)0(,1)0(,)(2 = yyttf 22)()()(2221 +=+= tteAeAtytyty ttphzs将初始条件（ 零状态 ）代入上式，得： =
7、 = =+= 02022)0( 02)0(212121 AAAyy 0)( 2 + tttety tzs对于零状态响应 ,在 t0-时刻激励尚未接入，故应有 y(0-)=01例 221)( 2 +=ppppH H H H已知系统的转移算子 ，初始条件为2)0(,1)0( =rr , 试求系统的零输入响应 rzi(t)。 并画出草图。( ) )cos(sincos)( 21)1(2)1(1 +=+=+= + tCetBtBeeAeAtr tttjtjzi0)3cos(10)( 1 = ttgtetr tzi )(tr t00222 =+pp jp+=11 jp=12解：令 得：= = 3102s
8、incos)0( 1cos)0( 1tgCCCrr 代入初值得：12例 12)( 2 +=ppppH H H H已知系统的转移算子 已知系统的转移算子 ，初始条件为 ，初始条件为2)0(,1)0( =rr , 试求系统的零输入响应 试求系统的零输入响应 rzi(t)。 。 并画出草图。 并画出草图。tzi etCCtr += )()( 210)31()( += tettr tzi解：令 解：令 得： 得：0122 =+pp 121 =pp= =+= = 312)0( 1)0(21211 CCCrr代入初值得： 代入初值得：)(tr t0132323e13课堂练习题 2-1 已 知 系 统 的
9、微 分 方 程 为 ， 且初 始 条 件 为 y(0)=3和 y(0)=4。 求 系 统 的 自 由 响 应 、 强 迫响 应 、 零 输 入 响 应 、 零 状 态 响 应 及 全 响 应 。 并 弄 清 楚 几种响应之间的关系。 tetytyty 34)(2)(3)( =+解： (1)求齐次解，特征根为：tth eAeAtypp 221212 )(,1023 +=+14这里， B是待定系数。 代入方程后有： () () 。可选时当 tt Btrte 33 e ,e = tttt BBB 3333 e4e2e9e9 =+2= 。于是，特解 tpty 32e )( (2)求 特 解 (强迫响应
10、 )：tttph eeAeAtytyty 3221 2)()()( +=+= (3)全 解的通解为：将初始条件代入上式，得： = = + 1112462)0( 32)0(212121 AAAyy得全解 (全响应 )为： 021112)( 32 += teeety ttt得 齐次解 (自由响应 )为： 0112)( 2= teety tt15(4)零输入响应 ，特征根为 ： 2,121 =ttzi eAeAty 221)( += = =+ 107423212121 AAA代入初始值，得 0710)( 2 = teety ttzi16(5)零 状态响应 ，特 解 求法同前 ： tttphzs ee
11、AeAtytyty 3221 2)()()( +=+=将初始条件（ 零状态 ）代入上式，得： = = + 42062)0( 02)0(212121 AAAyy 042)( 32 + teeety tttzs (6)全解 ： 021112)()()(32 +=+= teee tytyty ttt zszi自然响应 受迫响应零输入响应 零状态响应17小结系统响应 自由响应和受迫响应 经典解方程法零输入 响应和 零状态 响应零输入响应 经典解齐次方程法零状态响应经典解非齐次方程法叠加积分法：通过冲激响应或阶跃响应变换域法18作业 P782.4 2.62.4(1) 2.6（1）做在作业 本上（要求交）
12、19关于初始状态 0 状态和 0 状态 状态称为 零输入时的初始状态 。时间 t由 负值趋于零 的瞬时，即激励施加前一瞬的初始状态。由系统的储能产生，即该状态指的是系统中储能元件的 储能情况。0 状态称为 加入输入后的初始状态 。时间 t由 正值趋于零 的瞬时，即激励施加后一瞬的初始状态。受系统的储能和外加激励信号双方的影响。“初始状态 ”或 “初始条件 ”一般指 0 时的状态或条件。O0 +0t+0t20换路定则在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统 内部 储能的连续性 电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性即， 一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变，若换路
13、发生在 t=t0时刻，则有()()()()+ = 0000 , tititvtv LLCC 21当有 冲激电流（或阶跃电压） 强迫作用于 电容 或有 冲激电压（或阶跃电流） 强迫作用于 电感 ， 0 到 0 状态就会 发生跳变 。 产生冲激或阶跃函数的信号源为理想化的假定具有无限功率的信号源 ，可在一瞬间改变系统的储能状态，使电容电压或电感电流发生突变。当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有否跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t)及其各阶导数项 。包含有 (t)及其各阶导数 相应的 0 状态到 0 状态发生了跳变。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储
14、能看作是激励源 。初始状态的跳变2一 .冲激响应的定义 定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h(t)表示。)(t)(t0t )(th)1( LTI )(th)(t 0 t零状态 4 冲激响应和阶跃响应)(t )(th冲激响应的一般形式：23冲激响应的求法 直接求解法间接求解法转移算子法拉普拉斯变换24直接求解法 确定冲激响应的形式； 将冲激响应代入原方程； 用待定系数法确定其系数。冲激响应 冲激响应 的形式？ 的形式？25响应及其各 阶导数 (最高阶为 n次 ) )()()()( )()()()( 01111 01111 tebdttdebdtt
15、edbdttedb tradttdradttrdadttrda m m m mm m m mm m m mm m m mm m m mm m m m nnnnnn + =+ LL对于线性时不变系统 ,可以用一高阶微分方程表示 () () ()() () () )()()( )()() 01111 01111 tbtbtbtb thathathatha m m m mm m m mm m m mm m m m nnnn += + L激励及其各 阶导数 (最高阶为 m m m m 次 )令 e(t)=(t) 则 r(t)h(t)26设特征根为简单根（无重根的单根） )()( 1 tKthni ti
16、i =e由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与 齐次解的形式相同。 ()t +0t() ()() ()() ()及其各阶导数。应包含时，当；中应包含时，当及其各阶导数；不含时，当tthm m m mn tthm m m mn tthm m m mn 与 n, m m m m 相对大小有关 与特征根有关27当 nm m m m 时：当 n=m m m m 时：当 n 0时，因 0)(=t 0)()( =+taytydtd冲激响应的形式为： )()( tAeth at=特征方程： 0=+ap 特征根： ap=29)(1)()(1 )(1)(1)()()(d)(d 1teRCtvthRCp tRCtvRCtpvttvttvRC tRCC CCCC = =+=+列系统微分方程：)(t C+)(tvC)(tiCR求右图 RC电路的冲激响应。（条件： ）()00=Cv冲激 在 时转为系统的储能（由 体现），t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。 ()t 0=t )0(+Cv例30() )(1)( 1tRCtvth tRCC = e )(1)(1d)()(12 tRtCRttvCti tRCCC +=e)()( thtvC=tRC1OtR1CR21)(tiCO电容器的电流在 t =0时有一冲激，这就是电容电压突变的原因 。
