1、高阶导数的计算一、 高阶导数定义定义（二阶导数） 若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为 在点 的二ff0xf0xf0x阶导数，记作 ，即)(0xf，)()()lim000 xfxffx此时称 在点 二阶可导。f0x如果 在区间 I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在 I 上的二阶可导函数，记作 ，)(xf，或记作 ， ， 。Ixfy2dx函数 的二阶导数 一般仍旧是 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，)(f)(fx称之为函数 的三阶导数，记为 ， ，或 。xfyy)(f3dy函数 的 阶导数的导数称为函数 的 阶导数，记为 ， ，或 。)(f1n)(xfn)(ny)(
2、fndxy相应地， 在 的 阶导数记为： ， ， 。)(xfy0 0)(xny)(0fn0xnd二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。1 。)()()(nnvuv2 )2(2)1()0()( vuCnn)()(1)( oknk vvC， （Leibniz 公式）NKknku0)(其中 ， 。u)0(v)(注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见：。 （这里 ） ，在形式上二noknnn vuuCu10)( 10vu者有相似之处。（6）几个初等函数的 阶导数公式n；nxxe； ；sii2ncoss2nx；（4）1!l11nnnx ()1()!lnnxx，12n nxaxa （5） ()
3、()n特别的，当 时，有.1!1nnxax（7）参数方程的高阶导数求导法则设 ， 均二阶可导，且 ，由参数方程 所确定的函数 的一、xty0xtxty()yfx二阶导数：，tdx2ytytydddxx.2 31tttytxt这里一定要注意，在求由参数方程确定的函数的导数时， 是中间变量，而符号 表t 2dyx示对 求二次导数，因此x. 2dyxt2xtyxty例 1 （1）已知 ，求 （2）已知 ，求 baxyy tsins解：（1） ， （2） ， .0 co 2it例 2 求函数 的 阶导数xyen解： ， 显然对任意正整数 ，有 x nxnye)(例 3 求 的 阶导数。siy解 ，1c
4、on()2xx， ，siy3cosin()2yxx， ，(4)4()xx(5) 5 .()sin2y同理可得 。()cos)2nxx求 节导数，通常的方法是求一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，然后仔细观察得出规律，归纳出 阶导数的表达式，因此，求 阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共同的规律。n例 4 求函数 的 阶导数xyln解： ，01()，122yx，33!()(4)34!1yx一般地，对任意正整数 有 nn)!()1)(例 5 求 次多项式 的各阶导数.n01nyaxa解 -120 -1()nyx -23-2()n nx()0 01)(!nyaa(1)(2)0ny这就是说， 次多项
5、式的一切高于 阶的导数都为 0.n例 6 已知 求 .2arctnl,xyy解 两端对 求导，得 ，)(1)(1 222 xxyx，2222 yxyy整理得 ，故 ，xy)( 上式两端再对 求导，得 2)()(1)(1xyxyy= ，将 代入上式，得2)(xy2)(y.32yxxyy32)(xy注意 在对隐函数求二阶导数时，要将 的表达式代入 中，注意，在 的最后表达式中，切y不能出现 .y例 7 求方程 所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 。cos(02)inxattb dyx2dyx解 。tsidytx。22 23()csinsibtattdy例 8 已知作直线运动物体的运动方程为 ，求在
6、 时物体运动速度和加速度。in()6tt解 ，2cos()24cos()66tt，4in8ins所以有， 。3,4ttttvsas二阶导数1.设 ，其中 为二阶可导函数，则 （ ）.)(xfey)(xf yA、 ； B、 ；)(f )()(xffexfC、 ； D、 .)(2)( xffexf 2)(f2、设 ，其中 为可微函数，则 （ ）.)(lnfy)(uf yA、 ； B、 ；x 21xC、 ； D、 .)(ln1)(l2xff )(ln)(lxff3.设 ，则 （ ）.)ln(arct2yx2dyA、 ； B、 ； C、2； D、 .21t )1(t2)1(t4、设 ，则 （ ）.)l
7、n(2xyyA、 ； B、 ； C、 ； D、 .2x23)(2x23)(x5. ，其中 是 的函数，则 .12yxyx_2dxy6.设 ，则 .2ln)(f)0(f7、试求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数.4xyy8、设 ，求 ， ；tyxlndxy210证明函数 满足关系式 ；2xy013y11、 已知函数 ，求)ln()xf)e(,2f12、 ，求 。 。xeycosy)5(解： 高阶导数1、设 ，则 （ ）.xyln)10(yA、 ； B、 ； C、 ； D、 .99x9!8x9!8x2、 ，则 .xney_)0(ny4设 ，求 。cos)5(5设 ，求 。xyin2)80(y6、
8、，求各阶导数。)1l(7、设 的 阶导数.kxysin8、设 , 求 .xey2)20(y二阶导数1、C；2、D；5、 ；6、 ；31y27、解： 方程两边同时对 求导，得x042yyxyxx2)(22 )(5)()()21( yxyxy 322)(50)(5yxyx. )(438、解： 1)(ln1lttdtxydtxtdxy1)(ln2 3)1(ln2t9、12、解： ，)sin(co)sin(coxexexy，i2(i(s eex。)cs(i2)cs2xxeyx )(os)(o)o)()cos( 2541555)5 eCCxe xxx= )sin(co5sin10)cos(10)sin(5cos xexexexex xx = i )()(435Cx= )cos4sin(xex= 。高阶导数1、C； 2、 ；1!n6、解： ， ， ， ，)l(xyxy12)1(xy 3)1(2xy，4)4()132一般地，有 nnnxy)1(!)(即 。nnnx)(!)1(l(7、解 ykcos,2iy)(22xsinkx,2sin2kxcos3k即)(ny,2inxk)(sinkx.2sinkx同理可得 )(cos.2co8、解 设 则由莱布尼兹公式知,2xeu,v)20(y )(0219)(x 0)(!)10(28xe228 xxee).950(20x
