1、11994 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间120 分钟第卷（选择题共 65 分）一、选择题：本大题共 15 小题；第（1）（10）题每小题 4 分，第（11）（15）题每小题 5 分，共 65 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 奎 屯王 新 敞新 疆1设全集 ，集合 ，集合 ，则0,1234I0,123A2,34BABA B C D,401,【答案】C【解析】由于 ，所以 4,0,10,12如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是2xkyykA B C D （(0,)(
2、0,2)(1,)(0,1)【答案】D【解析】 化为 ，则 且 ，所以 2xky2xyk2k(,)k3极坐标方程 所表示的曲线是cos()4A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆【答案】D【解析】 ，即 22cos()(cosin)()4xy2()0xyxy24设 是第二象限的角，则必有A Btancot2tancot2C Dsi si【答案】A【解析】 ， ，所以22()kkZ()42kkZtan1cot5某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个） 经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成A511 个 B512 个 C1023 个 D1024 个【答案】B【解析】 180925
3、6在下列函数中，以 为周期的函数是2A Bsincos4yxsin2co4yxC D【答案】D【解析】A、B、C 中函数周期均为 ；而 ，周期为 1sin2cosin4yxx27已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为A B C D32283303【答案】B【解析】上下底面的面积分别为 11()(6243VSSh下 下上 上243)838设 和 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，1F2214xyP1290FP则 的面积是12PA1 B C2 D55【答案】A【解析】由题设 则 ，可得 ，22211,PFFa2210,4PF12PF面积为 12S9如果复数
4、 满足 ，那么 的最小值是ziz1ziA1 B C2 D 5【答案】A【解析】本题考查复数的几何意义满足 的复数 对应的点表示以点2ziz以及 为端点的线段， 表示该线段上的点到点 的距离，从而知(0,1)(,)1(1,)距离的最小值为 110有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有A1260 种 B2025 种 C2520 种 D5040 种【答案】C【解析】按分步计数原理考虑：第一步安排甲任务有 种方法，第二步安排乙任务有210种方法，第三步安排丙任务有 种方法，所以总共有 种18 17 187C11对于直线 和
5、平面 ， 的一个充分条件是,mn,A B/,mn4C D/,mn/,mn【答案】C【解析】略12设函数 ，则函数 的图像是2()1(0)fxx1()yfx【答案】B【解析】当 时， ，所以易知 ，10x2()1(0,1)fxx12()fxx(0,)x13已知过球面上 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且,ABCABC，则球面面积是2CA B C D169834649【答案】D【解析】如图，设球的半径为 ， 是 的外心，外接圆半径为 ，则 面ROABrO在 中， ，则 ，所以BCRt3D23，则 ，所以球22()(O43R面面积为 2649SR514函数 的值域是2arcos(in)3yx
6、A B C D65， 650， 32， 326，【答案】B【解析】由已知 ，因余弦函数在 上递减，所以值域是 3sin12x0,50，15定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数(,)()fx()gx之和，如果 ，那么)hx(lg10,)fxA (,)2)xgB 1),(12x xhC (,()lg01)2xD )(xg【答案】C【解析】根据题意 )()(22fxfxf，()lg10l12xxfxg l(10)l() l()2xxxh第卷（非选择题共 85 分）二、填空题 （本大题共 5 小题，共 6 个空格；每空格 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上） 16在 的展开
7、式中， 的系数是 （用数字作答）7(3)x5x6【答案】 189【解析】 ， 的系数是 773()13rrrrrTCxCx5575(1)3189C17抛物线 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相284yx切的圆的方程是 【答案】 23,()1y【解析】原方程化为 ，其顶点为 ，准线方程是 ；圆的方程是4()x(2,0)3x2()1xy18已知 ，则 的值是 sinco,(0,)5cot【答案】 43【解析】 ，则21112sinco(sinco)(sinco555，(,)2从而得 解得 ，故 7sinco543sin,cos5cos3tin419设圆锥底面圆周上两点 间的距离为 2
8、，圆锥顶点到直线 的距离为 ，,ABAB3和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为 AB【答案】 32【解析】根据题意可得圆锥的底面半径和高均为 ，则圆锥的体积为 23220在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 次测量分别得到n7，共 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” 是这样一个量：12,.na a与其他近似值比较， 与各数据的差的平方和最小依此规定，从 推出a 12,.n的 【答案】 12()nn【解析】本题考查构建二次函数求最值由已知即求的最小值，上式化简为2221()().()nyaaa22 22121)(.nnn a ，当 时， 取最小值2)na12na y三、
9、解答题（本大题共 5 小题，共 61 分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21 （本小题满分 11 分）已知 1zi（）设 ，求 的三角形式；234z（）如果 ，求实数 的值iba12 ,ab【解】本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力（）由 ，有1zi，2234()3(1)423(1)4iiiii的三角形式是 5cosn（）由 ，有1zi2212()aibaiab abiii由题设条件知 ()i根据复数相等的定义，得 解得21,().ab.2,1ba822 （本小题满分 12 分）已知函数 若 ，且 ，证明()tan,(0)2fx12,(0,)x12x1()fx122
10、()fx【证明】本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力1212121212 sinsinisincositantco coxxxxx 12iscsxx ， ，12,(0,)x12 ，且 ，sin,cos0x12cosx从而有 ，1212由此得 ，1212sintantcoxx ，即 12(tt)ta21212()()xfxff23 （本小题满分 12 分）如图，已知 是正三棱柱， 是 中点1ABCDAC（）证明 平面 ；/1（）假设 ，求以 为棱， 与11B为面的二面角 的度数1CB【解】本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力（）证明： 是正三棱柱，1AC
11、B四边形 是矩形9连结 交 于 ，则 连结 1BC1E1BCDE在 中， ， AD1/A又 平面 ， 平面 ，11 平面 /BC（）作 ，垂足为 ，则 面 ，连结 ，则 是 在平DFFD1BCEFD面上的射影1BC ，由（）知 ， ，则 ，1A1/ABE1BC1EF 是二面角 的平面角DEF设 ，则 C2 是正三角形，AB在 中， RtF31sin,cos44DCFDC取 中点 ， CGEGB在 中， ，又 ，tB2 3,G ，即 2314F34F tan134DE45DEF故二面角 为 524 （本小题满分 12 分）已知直线 过坐标原点，抛物线 顶点在原点，焦点lC在 轴正半轴上若点 和点
12、 关于 的对称x)0,1(A(,8)Bl10点都在 上，求直线 和抛物线 的方程ClC【解】本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力解法一：依题设抛物线 的方程可写为 ，2(0)ypx且 轴和 轴不是所求直线，又 过原点，因而可设 的xyll方程为 ） (0)k设 分别是 关于 的对称点，因而 ，直线 方程为,AB,lAl1xky由、联立解得 与 的交点 的坐标为AlM122k，又 为 的中点，从而点 的坐标为M 22 221,0111A Akkxykk 同理得点 的坐标为 B2268(),BBxk 又 均在抛物线 上，由得 ，,A2(0)y
13、p1212kpk由此知 ，即 1k142k同理由得 即 6822pkp122从而 = ，整理得 解得 124kk220k12515k，但当 时，由知 ，55Ax这与 A在抛物线 上矛盾，故舍去 2(0)yp251k11设 ，则直线 的方程为 251klxy251将 代入，求得 p所以直线方程为 xy251抛物线方程为 4解法二：设点 关于 的对称点分别为 ，则,ABl12(,)(,)AxyB18OO设由 轴正向到 的转角为 ，则 x22cos,8inxy因为 为 关于直线 的对称点，而 为直角，故 为直角，因此,AB,lBOABA， 1 1cos()sin,si()cs22xy由题意知 ，故
14、为第一象限角10,x因为 都在抛物线 上，将、代入得,AB2ypx2cossin,64i8cosp ， ，解得 338ic2si52cos1in，将 代入 得 ，5o1sin， 2cosipsi2抛物线 C 的方程为 xy42因为直线 平分 ，故 的斜率lBOlsin1 cos152224in21coktgtg 12直线 的方程为 lxy21525 （本小题满分 14 分）设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 ， 与 2nannSna的等差中项等于 与 2 的等比中项nS（）写出数列 的前 3 项；（）求数列 的通项公式（写出推证过程） ；na（）令 ，求 Nnbnn12
15、12lim()nnb【解】本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力（）由题意，当 时有 ， ， ，解1n12Sa1a12a得 12a当 时有 ， ，将 代入，整理得n22Sa12a12()16a由 ，解得 2026a当 时有 ， ，将 代入，3n33S123a12,6a整理得 23()64a由 ，解得 0310故该数列的前 3 项为 2,（）解法一：由（）猜想数列 有通项公式 na42na13下面用数学归纳法证明数列 的通项公式是 na42()naN当 时，因为 ，又在（）中已求出 ，所以上述结论成1n4121立假设 时结论成立，即有 由题意，
16、有 ，k42kakkSa2将 代入上式，得 ，解得 42kakS2k由题意，有 ， ，11kk 1kka将 代入，得 ，整理得2kS2211()kka221460kka由 ，解得 所以 014ka124(1)2kak这就是说，当 时，上述结论成立n根据、，上述结论对所有的自然数 成立n解法二：由题意，有 ，整理得 ，2nnaSN21()8nSa由此得 ，11()8nnS ，221()8naaa整理得 ，11()(4)0nn由题意知 ， 1n即数列 为等差数列，其中 ，公差 na2a4d ，即通项公式为 1()4()d2na（）令 ，则ncb，1122112 2nnannn14121211352nnbccn 12 1limlim2nn nb
