1、 1勾股定理经典例题透析学习改变命运 思考成就未来! （培优专用）知识点一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9 ，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.举一反三 如图B=ACD=90, AD =13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?知识点二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC 的长. 举一反三【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60， AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。知识点三
2、：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?2勾股定理经典例题透析学习改变命运 思考成就未来! （培优专用）（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某
3、地有四个村庄A、B、C 、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程类型四：利用勾股定理作长为 的线段5、作长为 、 、 的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。作法：如图所示（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（
4、2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 。斜边为 ；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是、 、 、 。举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚 （正确）2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 （正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等 （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相
5、等的点，在这条线段的垂直平分线上 （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （正确）延伸训练：如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC ，P 是ABC 内的一点，且 PB=1，PC=2 ，PA=3，求BPC 的度数3勾股定理经典例题透析学习改变命运 思考成就未来! （培优专用）7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4 ，CD=12，AD=
6、13，求四边形 ABCD 的面积。【变式 2】已知:ABC 的三边分别为 m2n 2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn), 判断ABC 是否为直角三角形.【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长
7、分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40【变式 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么
8、学校受影响的时间为多少秒？ 4勾股定理经典例题透析学习改变命运 思考成就未来! （培优专用）举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草。【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60， ，求 、 、 的值。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF的长。
