1、第 2 讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式 的充要条件是：对于一个任意的 x=a 值，都有 ；或者两个多()fxg ()fxg项 式各关于 x 的同类项的系数对应相等2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1 ）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组） ；（3 ）解方程（组） ，从而使问题得到解决 .例如：“已知 ，求 a， b， c 的值 ”225xaxbc解答此题，并不困难只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到
2、a， b， c 的值这里的 a， b， c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是： 2axbc(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是： 2105abc(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.105abc二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题 1】已知多项式 能被 整除.43227xaxb2x（1 ）求 a，b（2）分解因式： 432【答案】（1） （2） 16ab和 43222176 53xxxx【解析】试题分析：（1）由条件可知 是该多项式的一
3、个二次因式，而该多项式次数为 4，故可设2x，可解出 m、n，最后代入即可求出 a、b432227xabxxn的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）多项式 能被 整除43227xaxb2x设 ，mn整理，得 432432422xxxxnmx27mnab解得53126naba、b 的值分别为 .6和（2） 4322217 53xxxx考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，
4、最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题 2】分解因式： 22535xyxy【答案】 2 132xy xy（ ） （ ）【解析】试题分析：方法一 因为 ，因此,如果多项式能分解成两个关于 x、y2253xyxy（ ） （ ）的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是 ,其中 m、n 为待定系数. 然后展3mxy（ -+） （ ）开，利用多项式的恒等，求出 m、n 的值.试题解析：解： ，22533xyxy（ ） （ ）设 523xymxyn（ ） （ ）即 22 23 xyxy xmny（ ） （ ）对比系数，得： 352mn由、解得： 1n代入式也成立. 225352132xyxyx
5、yxy（ ） （ ）试题分析：方法二 前面同思路 1，因为是恒等式，所以22xyxyxymnxymn对任意 的值，等式都成立，所以给 取特殊值，即可求出 的值., , ,试题解析：解： ，22533xyxy（ ） （ ）设 523xymxyn（ ） （ ）即 22 23xyxy xmny（ ） （ ）该式是恒等式，它对所有使式子有意义的 x，y 都成立，那么令 02xymn， 得 ：令 1330， 得 ：解、组成的方程组，得 或12n-把它们分别代入恒等式检验，得 m 225352132xyxyxyxy（ ） （ ）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知
6、数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题 3】 将分式 拆分成两个分式的和的形式.21()x【答案】 221()()()x【解析】试题分析：设 ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b、c 的值即可.221()1axbcx试题解析：解：设 22()xcx而 22()()11abcabxc即 22()()()xx比较分子，得 01acb解得 ， .2a1c 221()()()xx考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候
7、，分母含二次项，则设分子为 形式，分母只含一次项，则设AxB分子为常数【难度】较难【例题 4】计算： 111.2390aaaa【答案】 10a【解析】试题分析：本题的 10 个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设 11ABa而 1()1aA比较分子得： ，解得： 0ABB所以 11aa所以，原式= 11.2390aa10a考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式拆分.11nn【难度】较难类型三 利用待定系数法解决
8、多项式中不含某项问题【例题 5】 已知 的积中不含 的二次项，则 的值是（ ）232xmxxmA. 0 B. C. D. 32【答案】C【解析】试题分析：将多项式 展开、合并，按 的降幂排列，根据积中不含 的二次项等价于232xmxxx项的系数为零列方程即可求得 的值.2试题解析：解： 2 32232 96xxmxx积中不含 x 的二次项， ，320m解得 .故选 C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式 能被 整除，则 .22359xyxyn34xy_n【答案】 4【解析】试题分
9、析：此题可通过因式分解得到：被除式=商除式（余式为 0） ，其除式为 34xy即 可试题解析：解：设原式 342xyym2235+8xymm比较系数，得：1894n 由 ， 解得 ， 1m代入 得考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商除式（余式为 0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式： 4321xx【答案】 =43222515()()xx【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为 1，
10、尾项也是 1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设 =432xx22()(1)mxn而 2(1)mn432322xnxx()()()1mn 12mn解得 或512n152n 43221515()()xxxx考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式： 223914320abab【答案】 435xab（ ）【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解 ，再设原式 ，展开后，利22393abab23mabn用多项式恒等列方程组即可
11、求解.试题解析：方法一解： 22可设原式 3abmn原式= 2293abmn即 *2214093anbm比较左右两个多项式的系数，得：21430mn解得45mn 2239132345ababxba（ ）方法二 对于方法一中的恒等式（* ）因为对 a、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求 m、n 的值.令 020abmn， ， 得令 114， ， 得令 ， ， 得解、组成的方程组，得 5n当 时，成立45n 22391320345ababxba（ ）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定
12、系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值. 【难度】较难4. 已知 表示关于 x 的一个五次多项式，若()f，求 的值.210124360ffff， ， 4f【答案】 8【解析】试题分析：因为 ，所以这个多项式中必有因式 ，2101ffff 21xx、 、 、而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为 ，利用待定系数法求出 a、b 的21xxab值最后代入原多项式，即可求出 的值.4f试题解析：解： ，2101ffff设 ()xxaxb由 ，可得方程组436ff，2()50ab213ab整 理 得 ：解
13、得： -b 212() 3fxxx 6543(8)0考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5. 为何值时，多项式 能被 整除？mn、 4251xxmn21x【答案】 ，1n【解析】试题分析：由于多项式 能被 整除，可设商为 ，再利42xx2x2xab用逆运算，除式商式= 被除式，利用等式的对应相等，可求出 .,ab试题解析：解：设原式= 221xxab= 43322xab= 21x对比系数，得：5abmn解得：341abn故 ， .m考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式
14、往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式 能被 和 整除，那么 .该多项式因式分解32xab5x6_ab为： . _【答案】【解析】试题分析：因为多项式 能被 和 整除，则说明 和 都是多项式32xab5x65x6的一个因式，故设 ，展开即可求解.32 326abxm试题解析：解：设 3256xabxm2130x3 30x对比系数，得： 013abm解得: 0mab故, ，1,3多项式因式分解为： 213056xxx考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如 A 被 B 整除，另外一层意思就是 B 是 A 的因式7. 分解因式： 4325
15、xx【答案】 2215x【解析】试题分析：本题是关于 x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设 43252215xaxb43265abx由恒等性质有：16453ab解得： ，代入 中，成立.12bab 4322515xxxx说明：若设 23ab由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程无解，故 43222515xxxx考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于 的二次三项式中，当 ，其值为 0；当 时，其值为 0；当 时，其值为x1x3x2x10，求这个二次三项式.【答案】 24
16、6【解析】试题分析：思路 1 先设出关于 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒x等式的性质。试题解析：解：法 1 先设出关于 的二次三项式 ，2axbc把已知条件分别代入，得 ，093421c解得246abc故所求的二次三项式为 246x思路 2 根据已知 时，其值为 0 这一条件可设二次三项式为 ，然后求出1,3x 13ax的值.a法 2 由已知条件 时，这个二次三项式的值为 0，,故可设这个二次三项式为 13ax把 代入上式，得 ，2x510a故所求的二次三项式为 ，即23x246x考点：多项式点评：选用待定系数法,利用已知条件求多项式是解题关键.【难度】一般
17、9.已知多项式 的系数都是整数，若 是奇数，证明这个多项式不能分解为32xbcdbdc两个整系数多项式的乘积.【答案】见解析【解析】试题分析：先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的.试题解析：证明： 3232 ,xbcdxmnxrxmnr都 是 整 数 比较系数得： r因为 是奇数，则 都是奇数，那么 也是奇数，由奇数的性质bcd与得出 也都是奇数.,m在 式中令 ，得 1x1mnr 由 是奇数，得 是奇数。而 为奇数，故 是偶数，bcd与 bcd1m所以 是偶数.这样 的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的.nr因此题中多项式不能分解为
18、两个整系数多项式的乘积.考点：多项式除法.点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.【难度】容易10.将分式 拆分成两个分式的和的形式.1(6)y【答案】 61()5()()y【解析】试题分析：设 ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b 的值即可.1(6)61abyy试题解析：解：设 1(6)61abyy而 ()()ab即 1(6)()(6)1ayby比较分子，得 0ba解得 . 651b 61(6)5()()yy考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 形式，分母只含一次项，则设 AxB分子为常数【难度】一般11.将分式 拆分成两个分
19、式的和的形式.35(1)2x【答案】 =()x12x【解析】试题分析：设 = ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b 的值即可.35(1)2x12abx试题解析：方法一 解：设 =35(1)2x12abx而 =abx()()即 =35(1)2()(2)1axb比较分子，得 325ab解得 . 1b =35()2x12x方法二 分式 还可以先变形为：(1)x363(2)131=() ()2xxxx易知 =1()所以 = ( )=35()2x12x12x考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 Ax + B 形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】容易1
20、2. 计算 111234xxxx【答案】 4【解析】试题分析：本题的 4 个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若 a是整数），利用 ，进行拆分即可.11nn试题解析：解：原式= 1 11234xxxx= 4= 4x考点：分式计算点评：利用公式 拆分，是解题关键，而原理就是设 ，求11nn11ABnn出 ,熟练后可直接运用公式.,AB【难度】容易13. 将分式 拆分成两个分式的和的形式.1(6)y【答案】 =()615()()y【解析】试题分析：设 = ，将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b 的值即可.1(6)y61aby试题解析：解：设 =()yy而
21、 =61ab(6)()1ab即 =()y()()y比较分子，得 601ab解得 . 5b =1(6)y615()()y考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 Ax + B 形式，分母只含一次项，则设分子为常数.【难度】一般14. 将分式 拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式.4231x【答案】 22x【解析】试题分析: 由于要将分式 拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式，可设4231x422xab试题解析：解：由于分母为 ，可设21x42231xxab 443ab22xx对于任意 x，上述等式均成立， 13ab1a 242xx2211
22、xx221x这样分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和.4231x22考点：分式的加减法点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题关键.【难度】一般15.已知 的计算结果中不含 x3 的项，则 m 的值为（ ）235361xmxA. 3 B. -3 C. D. 0【答案】B【解析】试题分析：将多项式 展开、合并，按 x 的降幂排列，根据积中不含 x3 项等价于235361xmxx3 项的系数为零列方程即可求得 m 的值.试题解析：方法一解： 23 2345361 5136612xmxxmxx（ ） （ ）结果中不含 x3 的项， ，解得 .0故选 B.方法二由于 x3 项可由
23、x 项与 x2 项相乘或 x3 与常数项相乘得到，故展开式中只需计算 x 项乘以 x2 项及 x3 乘以常数项即可.解： 233361 2 62 6mmx（ ）又结果中不含 的项，x ，解得 .0故选 B.考点：多项式乘法.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般16. 如果 的乘积中不含 项，则 a 为( )215xax2xA. 5 B. C. D. 51【答案】B【解析】试题分析：将多项式 展开、合并，按 x 的降幂排列，根据积中不含 x2 项等价于 x2 项的系215xax数为零列方程即可求得 a 的值.试题解析：解：原式 .3
24、2232154xxaxax不含 项， .150a解得 .故选 B.考点：多项式乘多项式点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般17.若 的乘积中不含 y 的一次项，则 a 的值为（ ）7yay（ ） 与 （ ）A. 7 B. -7 C. 0 D. 14【答案】A【解析】试题分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开，并且把 a 看作常数，合并关于 y 的同类项，令 y 的系数为0，得出关于 a 的方程，求出 a 的值试题解析：解： .22777yyyya又乘积中不含 y 的一次项， . 0a解得 a=7故选 A.考点：多项式乘法点评：多
25、项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般18.要使 与关于 的二项式 的积中不含 x 的二次项，则231xxaxb:_ab【答案】 :【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式，可得整式，根据整式不含二次项，可得关于 的二元一次方程，根据等,式性质，可得答案.试题解析：解： 2 323123xaxbbaxbax 积 中 不 含 的 二 次 项 ， 0.b两边都除以 2b 得： 3故答案为： .:考点：多项式乘以多项式.点评：本题考查了多项式乘以多项式，利用了多项式乘以多项式法则，整式不含二次项，得出关于的二元一次方程是解题关键.ab、【难度】一般
26、19. 若 的乘积中不含 x2和 x 项，则 p，q 的值分别是多少？223xpqx【答案】 ，674【解析】试题分析：将多项式 展开、合并，按 x 降幂排列，根据不含 x2 和 x 项，则 x2 项和223xpqxx 项的系数为零，从而列出关于 p，q 的方程组，解之即可求得 p，q 的值.试题解析：解: 22xx4323223xpxpxq,由不含 x2 和 x 项，得： 230pq解得： 674pq考点：1.多项式乘法 2.二元一次方程组.点评：此题考查了多项式的乘法以及解二元一次方程组，利用了多项式乘以多项式的运算法则，整式不含 x2和 x 项，得出关于 的二元一次方程组是解本题的关键.
27、pq，【难度】一般20.已知 中不含 x 的一次项，求 p 的值.1p一变：已知 ，求 a，k 的值.238236axk（ ） （ ）二变：k 是什么数时， 可以写成 的形式？6x2x（ ）【答案】 ；一变： ；二变： .1p105ak， 9k【解析】试题分析：将多项式 展开、合并，并且按 x 降幂排列，根据不含 x 的一次项，x 项的系数为零，x从而列出关于 p 的方程，解之即可求得 p 的值；一变：将 展开、合并，再由多项式恒等列方程组即可求 a，k 的值；236k一变：将 展开、合并，再由多项式恒等列方程组亦可求 a，k 的值xa（ ）试题解析：解: ，2211() ()ppxpx因为不含 x 的一次项，所以 .0 ， 即一变： ，22238383)8(1akxkxkx 1,5k；，0.a即 ，二变：设 2226xkxa，,39a则即当 时， 可以写成 的形式.9k2xk2x（ ）考点：1.多项式乘以多项式 2.完全平方式点评：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运输法则是解本题的关键.【难度】一般
