1、第四章,变额年金,主要内容,标准递增型年金 标准递减型年金 虹式年金 平顶虹式年金 几何级数年金 每年结转k次利息的变额年金 每年支付m次的变额年金 连续变额年金,一、标准递增型年金,1、n年期年金 1）期末付各年末支付如下：1，2，3，-，n 现值：,两边同乘(1+i):,两式相减：,终值,1）期初付各年初支付如下：1，2，3，-，n 现值：,两边同乘V:,两式相减：,终值,2、永续年金,期末付,期初付,例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的现值和终值。,解：1）现值为：,2）终值为：,例2、某人希望购买一项年金，该年金在第
2、一年末的付款为1，000元，以后每年末比前一年增加100元，共付10年，设i=5%，求该年金的现值。,解：该年金的现值为：,二、标准递减型年金,n年期年金 1）期末付各年末支付如下：n，n-1，n-2，n-3，-，1 现值：,两边同乘(1+i):,两式相减：,终值,2、期初付,终值：,现值：,三、虹式年金,各年末的给付如下1，2，3，-n，n-1，-3，2，1 现值：,.,四、平顶虹式年金,各年末的给付如下1，2，3，-n，n，n-1，-3，2，1 现值：,.,五、几何级数年金,各年末给付如下1，(1+r)，(1+r)2，-，(1+r)n-1 现值：,两边同乘(1+r)v，得：,两式相减得：,
3、讨论,1）若i=r,2)当ri时，收敛，有永续年金。,例、一项年金在第一年末付款为1，000元，以后每年增长10%，共计10年，i=5%，求该年金的现值。,解：r=10% n=10 i=5% 年金现值为：,六、每年结转k次利息的变额年金,1、n年期递增型年金 1）期末付：每次的利率为i，各年末的给付如下1，2，3，-，n 现值,两边同乘(1+i)k,得：,两式相减,永续年金,2）期初付,永续年金,2、n年期递减型,1）期末付：每次的利率为i，各年末的给付如下n，n-1，n-2，-，2，1 现值,两边同乘(1+i)k,得：,两式相减,2）期初付,七、每年支付m次的变额年金,等差跳跃式递增年金 等
4、差均匀递增年金,（一）、等差跳跃式递增年金,1、期末付 设年利率为i，第一年内每次给付1/m；第二年内每次给付2/m；-；第n年内每次给付n/m。则： 第一年给付现值为 第二年给付现值为 - 第n年给付现值为,该年金的现值为：,2、期初付,3、终值,4、永续年金,（二）、等差均匀递增年金,第一次末给付1/m2; 第二次末给付2/m2 第三次末给付3/m2- 第mn次末给付mn/m2 1、现值,两边同乘,两式相减：,2、终值,3、永续年金,4、对于期初付年金,。,例：某期末付年金，每年支付4次，共支付5年，每年利息结转1次，年利率为4%，现采用两种方式付款。 （1）第一年每次支付1000元，以后
5、每年各次支付额比前一年各次支付增加1000元；（2）首次支付1000元，以后每次支付额比前次付款增加1000元。 求两种付款方式下的年金现值与终值。,已知：n=5 m=4 i=4%,解：i(4)=0.039414 1),2）,八、连续变额年金,1、连续均匀递增年金,。,或：,。,2、一般连续递增年金 付款率 ：单位时间的付款额。,例：一项期限为6年的连续变额年金，支付率均匀递增，已知,求该年金的现值 解：因支付率连续递增，可设则：,所以：,例：设连续年金的期限为n，利息强度为 ，在时刻t的支付率为 ，确定年金现值的表达式。,.,1、在第1年末付款1，000元，第2年末付款2，000元，第3年末
6、付款3，000元，-，如此一直支付下去，假设年实际年利率为5%，试计算该项年金的现值。 2、第一年末付款1元，从第二年开始每年末增付1元，直至第10年末付款10元，然后保持在每年末付款10元的水平，一直到第20年末为止。写出该项年金的现值表达式。,。,3、一项年金共有20次付款。第1年末的付款为1，000元，以后每年末比上一年末增付4%，如果年实际利率为7%，试计算该项年金的现值。 4、一项永续年金在第3年末付款1元，在第6年末付款2元，在第9年末付款3元，-，在第3n年末付款n元，试写出该项年金的现值表达式。,。,5、一项年金在每半年初支付一次，一共支付5年，第一次付款为1，000元，以后每
7、次付款为前一次的95%。如果每季度结转一次利息的年名义利率为10%，试计算该项年金的现值。 6、一项永续年金在第5年和第6年末付款1元，在第7年和第8年末付款2元，在第9年和第10年末付款3元，-，如此一直支付下去。试证明该年金的现值为：,。,7、某期末付永续年金的付款额依次为： 1，3，7，-，若第六第七次付款额的现值相等，计算该年金的现值。 8、某人每年初在银行存款，共存10年，前5年每年存入1000元，后5年每年存款比前一年增长5%，年利率为8%，计算第10年末该存款的积累值。,1、,解：,2、,解：,3、,解：已知 ：r=4% i=7%,4、,解： 乘v-3相减：得：,5、,解：已知：i(4)=10% r=-0.05 n=5 m=2 年实际利率为：半年的实际利率为,。,6、,设年实际利率为i，两年的实际利率为i0,1 1 2 2 3 3-,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -,。,
