1、直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定FlF点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线Fl要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，
2、一定点 F（即焦点） ，一定直线（即准线） ，一定值 1（即动点 M 到定点 F 的距离与定直线 l 的距离之比） .要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：， ， ，2ypx2ypx2y2xpy(0)图像方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦点 ,2F,2F,2F,2F准线 pxpxpypy要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、 “定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“ 形”设抛物线方程的具体形式； “定值”是指用定义法或待定系数法确定 p 的值.要点三、抛物线的几
3、何性质范围： ， ，0xyR抛物线 y2=2px（p0）在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点 M 的坐标（x，y）的横坐标满足不等式 x0；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于 x 轴对称抛物线 y2=2px（p0）关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线 y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0） 。离心率： .1e抛物线 y2=2px（p0）上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用 e 表示
4、，e=1。抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。要点三、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程 与抛物线的方程 y2=2px（p0）联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的一ykxm元二次方程，其判别式为 .20kyp若 ，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；0k若 0 直线和抛物线相交，有两个交点； 0 直线和抛物线相切，有一个公共点； 0 直线和抛物线相离，无公共点直线与抛物线的相交弦设直线 交抛物线 于点 两点，则ykxm21xyab(0,)b12(,)(,)Pxyy221211|()()P= =2
5、121yxx12|kx同理可得 12122|(0)Pyk这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12|,x12|,1|()4x21212|yyy抛物线的焦点弦问题已知过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点。2(0)px设 A(x1,y1)，B(x 2,y2)，则：焦点弦长 12| |()sinpABAB或 为 的 倾 斜 角2211-4pxy， ，其中|AF| 叫做焦半径，|FAB1|2pFAx焦点弦长最小值为 2p。根据 时，即 AB 垂直于 x 轴时，弦 AB 的长2|sinpB可 见 ， 当 为最短，最短值为 2p。要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线
6、一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.【典型例题】类型一：抛物线的方程与性质例 1 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(4，8) 的抛物线有几条?求出它们的标准方程.【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 ，所以可设它的标准方程(4,8)M为 因为点 M 在抛物线上，所以 即 ，因此，所求22(0)ypxyp或 64816p或 1p或抛物线有两条，它们的标准方程是 ，2216yxy或【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.举一反三：【变式 1】若抛物线通过直线 与圆 x2y 2
7、6x 0 的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛1y物线的方程【答案】由 得 ，或 ，260yxxy4512y根据题意可设抛物线的方程为 x22my(m0)或 y22px( p0)，则 在抛物线上，m ，p ，41(,)5453方程为 或28xy26x【变式 2】已知定点 F(0,2)，若动点 M(x，y )满足|MF |y2，则点 M 的轨迹方程为_【答案】由已知得点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 y2 的距离，故点 M 的轨迹方程为 x28y.类型二：直线与抛物线的位置关系例 2过定点 P(0,2)作直线 l，使 l 与抛物线 y24x 有且只有一个公共点，这样的直线 l 共有_
8、条【答案】3【解析】如图，过点 P 与抛物线 y24x 仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与 x 轴平行的直线【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.举一反三：【变式】已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _【答案】|AF| BF|x Ax B 3，12x Ax B .52线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .524ABx类型三：抛物线的弦例 3.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于点 A、B，求线段 A、B 的长【解析】如图 83
9、1，y 2=4x 的焦点为 F (1，0)，则 l 的方程为 y=x1由 消去 y 得 x26x +1=042xy设 A (x1，y 1)，B (x 2，y 2) 则 x1+x2=6又 A、B 两点到准线的距离为 ， ，则AB8262121 【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。举一反三：【变式】顶点在原点，焦点在 x 轴的抛物线截直线 y2x1 所得的弦长|AB| ，求抛物线的方53程【答案】y 220x 或 y212 x.例 4.若直线 l：y kx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，且 AB 的中点为 M(2，y 0)，求 y0 及弦 AB
10、 的长【解析】把 ykx2 代入 y28x ，得 k2x2(4k8)x40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点 M(2，y 0)，x 1x 24，即 4，2k解得 k2 或 k1.又 16k 264k 6416k 20，k1，k 2，此时直线方程为 y2x 2，M(2，y 0)在直线上，y 02，|AB| .22124|515k【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.举一反三：【变式】过抛物线 y24 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则|AB|等于_
11、【答案】8【解析】抛物线的准线方程为 x1，则 AB 中点到准线的距离为 3(1)4.由抛物线的定义得|AB|8.类型四：抛物线的综合问题例 5.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 P(x1，y 1)、Q(x 2，y 2)两点，求证：； 12p【解析】证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为 。(,0)2pF（1）当直线 PQ 斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 ，)ykx由 2()pykx消去 x 得：ky 22pykp 2=0 （）当 k=0 时，方程（）只有一解，k0，由韦达定理得：y 1y2=p 2。当直线 PQ 斜率不存在时，得两交点坐标为 ， ，(,)2p(
12、,)py 1y2=p 2。综上两种情况：总有 y1y2=p 2。【总结升华】韦达定理在解决抛物线综合问题中有着非常重要的作用，注意它的合理应用.举一反三：【变式 1】 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB 的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标【答案】如图，设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则 x= , y= ,21x21又设点 A，B，M 在准线 :x=1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交点为 N，l则|AF|=|AA /|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,44x= (
13、x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )=145等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x )1由 得 16k2x28(k2+2)x+k2=0xyk2)4(依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2k162kk 2=1/2, 此时 x= (x1+x2)= = 2)(845y= 即 M( , ), N( , )45【变式 2】已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影是M，点 A( ，4)，则| PA| PM|的最小值是( )72A. B4 C. D592【答案】 C【解析】 设抛物线 y22x 的焦点为 F，则 F( ，0)，又点 A( ，4) 在抛物线的外侧，抛物线的准线172方程为 x ，12则|PM |d ，又| PA|d|PA| |PF|AF|5，所以| PA| PM| .故选 C.92
